Chi-Quadrat-Anpassungstest

Grundbegriffe

Anpassungstest, Verteilungstest oder Goodness-of-fit-Test

Bei diesem Test wird eine Hypothese über die unbekannte Verteilung der Zufallsvariablen $X\;$ in der Grundgesamtheit geprüft, woraus sich der Name Anpassungstest, Verteilungstest oder Goodness-of-fit-Test ergibt.

Anpassungstests gehören zu den nichtparametrischen Tests.

Es gibt eine ganze Reihe von Anpassungstests, von denen hier nur der Chi-Quadrat-Anpassungstest behandelt wird.

Die generelle Vorgehensweise bei Anpassungstests ist im Prinzip wie bei den Parametertests.

Es wird eine Teststatistik konstruiert, die die Information über die hypothetische Verteilung sowie die Verteilung in der Zufallsstichprobe enthält und auf deren Basis eine Aussage über die Nullhypothese möglich ist.

Die Verteilung der Teststatistik muss unter der Nullhypothese (zumindest approximativ) bekannt sein.

Auch bei Anpassungstests wird stets die Nullhypothese statistisch geprüft und in Abhängigkeit von der Testentscheidung besteht die Möglichkeit, einen Fehler 1. Art mit der Wahrscheinlichkeit $P({\mbox{''}}H_{1}{\mbox{''}}|H_{0})=\alpha$ bzw. einen Fehler 2. Art mit der Wahrscheinlichkeit $P({\mbox{''}}H_{0}{\mbox{''}}|H_{1})=\beta$ zu begehen.

Mit dem vorgegebenen Signifikanzniveau $\alpha$ kann die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art niedrig gehalten werden; die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 2. Art ist dagegen in der Regel nicht bekannt.

Man wird deshalb bestrebt sein, die Nullhypothese abzulehnen, da dann die statistische Sicherheit einer Fehlentscheidung bekannt ist.

Wenn die hypothetische Verteilung die wahre Verteilung in der Grundgesamtheit ist, dann ist zu erwarten, dass diese Verteilung im Prinzip auch in der Stichprobe zu beobachten ist.

Im Prinzip bedeutet dabei, dass Abweichungen zwischen der beobachteten Verteilung in der Stichprobe und der unter der Verteilungsannahme erwarteten Verteilung in der Stichprobe in der Regel immer auftreten werden.

Zu entscheiden ist, ob die Abweichungen noch zufallsbedingt sind oder ob es sich um signifikante Abweichungen handelt.

Um die erwartete Verteilung in der Stichprobe ermitteln zu können, muss unter der Nullhypothese angenommen werden, dass genau die hypothetische Verteilung die wahre Verteilung in der Grundgesamtheit ist.

Damit lautet das Hypothesenpaar stets:

$H_{0}:$ Die Zufallsvariable $X\;$ in der Grundgesamtheit weist die hypothetische Verteilung auf.

$H_{1}:$ Die Zufallsvariable $X\;$ in der Grundgesamtheit weist eine andere als die hypothetische Verteilung auf.

Große Abweichungen zwischen der beobachteten Verteilung und der erwarteten Verteilung in der Stichprobe deuten tendenziell auf eine falsche Verteilungsannahme hin, d.h. man wird die Nullhypothese ablehnen.

Chi-Quadrat-Anpassungstest

Der Chi-Quadrat-Anpassungstest basiert auf einer einfachen Zufallsstichprobe vom vorgegebenen Umfang $n$. Das Signifikanzniveau $\alpha$ ist vor der Testdurchführung festzulegen.

Gegeben ist eine Zufallsvariable $X\;$ in der Grundgesamtheit mit der Verteilung $F(x)$, wobei an das Skalenniveau von $X\;$ keine Voraussetzungen gestellt werden.

Die Verteilung $F(x)$ ist unbekannt. Es existiert jedoch eine Annahme, dass $X\;$ die hypothetische Verteilung $F_{0}(x)$ besitzt.

Ist $X\;$ eine diskrete Zufallsvariable (darunter werden im weiteren summarisch nominalskalierte, ordinalskalierte sowie diskrete Zufallsvariablen mit sehr wenigen Ausprägungen verstanden), kann sie die Werte $x_{1},\ldots ,x_{k}$ annehmen.

Es bezeichne:

• $h\left(x_{j}\right)=h_{j}$ die beobachtete absolute Häufigkeit des Wertes $x_{j}$ in der Stichprobe, $j=1,\ldots ,k$,

• $P\left(X=x_{j}\right)$ die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable $X\;$ den Wert $x_{j}$ annimmt, $j=1,\ldots ,k$.

Ist $X\;$ eine stetige Zufallsvariable (darunter werden im weiteren auch die diskreten Zufallsvariablen mit sehr vielen bzw. unendlich vielen Ausprägungen, d.h. die genannten quasi-stetigen Zufallsvariablen, gefasst), muss eine Intervallbildung der beobachteten Werte in disjunkte, aneinander angrenzende Klassen erfolgen.

Mit $k$ als Anzahl der Klassen $(k\geq 2)$ können die Klassen allgemein wie folgt geschrieben werden:

$(x_{0}^{*},x_{1}^{*}),\;(x_{1}^{*},x_{2}^{*}),\;\ldots ,(x_{k-1}^{*},x_{k}^{*})\;{\mbox{ bzw. }}\;(x_{j-1}^{*},x_{j}^{*})$, für $j=1,\ldots ,k$.

Es bezeichne im stetigen Fall:

• $h\left(x_{j-1}^{*}<X\leq x_{j}^{*}\right)=h_{j}$ die beobachtete absolute Häufigkeit der j-ten Klasse in der Stichprobe, $j=1,\ldots ,k$,

• $P\left(x_{j-1}^{*}<X\leq x_{j}^{*}\right)$ die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable $X\;$ einen Wert aus der Klasse $\left(x_{j-1}^{*},x_{j}^{*}\right)$ annimmt $j=1,\ldots ,k$.

Die Nullhypothese lautet beim Anpassungstest immer, dass die Zufallsvariable $X\;$ in der Grundgesamtheit die hypothetische Verteilung aufweist. Die Alternativhypothese enthält das logische Pendant.

Das dem Chi-Quadrat-Anpassungstest zugrundeliegende Hypothesenpaar lautet speziell:

• wenn $X\;$ diskret ist

$H_{0}:\;P\left(X=x_{j}\right)=p_{j}\quad \forall j=1,\ldots ,k$

$H_{1}:\;P\left(X=x_{j}\right)\neq p_{j}\quad$ für mindestens ein $j$

• wenn $X\;$ stetig ist

$H_{0}:\;P\left(x_{j-1}^{*}<X\leq x_{j}^{*}\right)=p_{j}\quad \forall j=1,\ldots ,k$

$H_{1}:\;P\left(x_{j-1}^{*}<X\leq x_{j}^{*}\right)\neq p_{j}\quad$ für mindestens ein $j$

Dabei bezeichnet $p_{j}\;(j=1,\ldots ,k)$ sowohl im diskreten als auch im stetigen Fall die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable $X\;$ den Wert $x_{j}$ annimmt bzw. in die j-te Klasse $\left(x_{j-1}^{*},x_{j}^{*}\right)$ fällt, wenn die hypothetische Verteilung $F_{0}(x)$ zugrundegelegt wird, d.h. wenn die Nullhypothese $H_{0}$ gilt:

$p_{j}=P\left(X=x_{j}|H_{0}\right)\;{\mbox{bzw.}}\;p_{j}=P\left(x_{j-1}^{*}<X\leq x_{j}^{*}|H_{0}\right)$

Die $p_{j}$ können bestimmt werden durch die Vorgabe

• einer vollständig spezifizierten theoretischen Verteilung, d.h. Verteilungstyp inklusive sämtlicher Parameter.

Beispiel: Die Annahme besagt, dass die Zufallsvariable $X\;$ eine Poisson-Verteilung $PO(\lambda )$ mit vorgegebenem Parameter $\lambda$ besitzt.

• einer theoretischen Verteilung mit unbekannten Parametern, d.h. nur der Verteilungstyp ist in der Annahme vorgegeben, die Parameter müssen aus der Stichprobe geschätzt werden.

Beispiel: Die Annahme besagt, dass die Zufallsvariable $X\,$ eine Normalverteilung $N(\mu ,\sigma )$ mit unbekanntem Erwartungswert $\mu$ und unbekannter Standardabweichung $\sigma$ aufweist, so dass diese beiden Parameter erst aus der Stichprobe zu schätzen sind.

• einer Häufigkeitsverteilung

Beispiel: Die Zufallsvariable $X\;$ habe vier mögliche Realisationen. Es wird angenommen, dass diese mit den fest vorgegebenen Wahrscheinlichkeiten bzw. relativen Häufigkeiten $p_{1}=0,2$, $p_{2}=0,4$, $p_{3}=0,1$ und $p_{4}=0,3$ auftreten.

Teststatistik des Chi-Quadrat-Anpassungstests

Der Chi-Quadrat-Anpassungstests basiert auf dem Vergleich der in der Stichprobe beobachteten Verteilung und der bei Gültigkeit der Nullhypothese in der Stichprobe erwarteten Verteilung.

Für die Bestimmung der Teststatistik des Chi-Quadrat-Anpassungstests wird von den absoluten Häufigkeiten ausgegangen.

Für die konkrete Stichprobe wird die Anzahl $h_{j}$ festgestellt, dass das Ereignis $\left\{X=x_{j}\right\}$ bzw. $\left\{x_{j-1}^{*}<X\leq x_{j}^{*}\right\}$ eingetreten ist.

Mit den absoluten Häufigkeiten $h_{j}$ für alle $j=1,\ldots ,k$ ist die in der Stichprobe beobachtete Verteilung gegeben. Da die absoluten Häufigkeiten $h_{j}$ Ergebnis eines Zufallsexperimentes sind, können sie von Stichprobe zu Stichprobe unterschiedliche Werte annehmen, d.h. sie sind Realisationen von Zufallsvariablen $H_{j}\;$.

Wenn die Nullhypothese gilt, sind die in der Stichprobe erwarteten relativen Häufigkeiten durch die Wahrscheinlichkeiten $p_{j}$ gegeben.

Für die erwarteten absoluten Häufigkeiten folgt: $n\cdot p_{j}$.

Der Vergleich zwischen beobachteter und erwarteter Verteilung baut auf den Differenzen $H_{j}-n\cdot p_{j},\;(j=1,\ldots ,k)$ auf. Große Differenzen sprechen tendenziell gegen die Nullhypothese und deuten auf eine falsche Verteilungsannahme hin.

Eine summarische Größe, die die Abweichung von der Nullhypothese bewertet, ist die Teststatistik

$V=\sum _{j=1}^{k}{\frac {\left(H_{j}-n\cdot p_{j}\right)^{2}}{n\cdot p_{j}}}$

Bei Gültigkeit der Nullhypothese ist die Teststatistik $V\;$ approximativ Chi-Quadrat-verteilt mit $f=k-m-1$ Freiheitsgraden. Dies gilt unabhängig davon, welche Verteilung unter $H_{0}$ angenommen wurde.

Approximationsvoraussetzungen:

Die Approximation an die Chi-Quadrat-Verteilung ist hinreichend, wenn

• $n\cdot p_{j}\geq 1$ für alle $j$ und

• $n\cdot p_{j}\geq 5$ für mindestens 80% der erwarteten absoluten Häufigkeiten

gilt.

Sind diese Bedingungen nicht erfüllt, müssen vor der Anwendung des Tests benachbarte Werte bzw. Klassen zusammengefasst werden.

Da die $p_{j}\;(j=1,\ldots ,k)$ unter $H_{0}$ vorgegeben sind, folgt außerdem aus den Approximationsvoraussetzungen, dass die Approximation um so besser ist, je größer der Stichprobenumfang $n$ ist.

Bei der Bestimmung der Anzahl der Freiheitsgrade ist zu berücksichtigen, dass:

• $k$ die Anzahl der verbliebenen Werte bzw. Klassen nach einer eventuell notwendigen Zusammenfassung ist,

• $m$ die Anzahl der unbekannten und aus der Stichprobe zu schätzenden Parameter der hypothetischen Verteilung bezeichnet (wenn unter $H_{0}$ eine vollständig spezifizierte Verteilung vorgegeben wurde, ist $m=0$).

Da in der Teststatistik die Terme ${\frac {\left(H_{j}-n\cdot p_{j}\right)^{2}}{n\cdot p_{j}}}$ nur positive Werte annehmen können, nimmt die Teststatistik $V\;$ ebenfalls nur positive Werte an.

Große Abweichungen $H_{j}-n\cdot p_{j}$ zwischen beobachteter und erwarteter Verteilung führen zu großen Werten von $V\;$.

Somit führen nur große Werte von $V\;$ zur Ablehnung der $H_{0}$, während kleine Werte von $V\;$ nicht gegen die Nullhypothese sprechen, sondern auf eine gute Übereinstimmung hindeuten.

Der Chi-Quadrat-Anpassungstest ist somit ein rechtsseitiger Test.

Der kritische Wert $c$ wird für $P(V\leq c)=1-\alpha$ und die Anzahl der Freiheitsgrade $f$ aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der Chi-Quadrat-Verteilung entnommen.

Entscheidungsbereiche des Chi-Quadrat-Anpassungstests

Die Entscheidungsbereiche des Chi-Quadrat-Anpassungstests sind:

• Ablehnungsbereich der $H_{0}:\left\{v|v>\chi _{1-\alpha ;f}^{2}\right\}$.

• Nichtablehnungsbereich der $H_{0}:\left\{v|v\leq \chi _{1-\alpha ;f}^{2}\right\}$.

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Teststatistik $V\;$ eine Realisation aus dem Ablehnungsbereich der $H_{0}$ annimmt, entspricht dem vorgegebenen Signifikanzniveau $\alpha =P\left(V>\chi _{1-\alpha ;k-m-1}^{2}|H_{0}\right)$.

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Teststatistik $V\;$ eine Realisation aus dem Nichtablehnungsbereich der $H_{0}$ annimmt, ist $P\left(V\leq \chi _{1-\alpha ;k-m-1}^{2}|H_{0}\right)=1-\alpha$.

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Nichtablehnungsbereich der $H_{0}$ | Ablehnungsbereich der $H_{0}$

Prüfwert des Chi-Quadrat-Anpassungstests

Wenn die Zufallsstichprobe vom Umfang $n$ gezogen wurde, können die absoluten Häufigkeiten $h_{j}$ ermittelt, gegebenenfalls unbekannte Parameter der hypothetischen Verteilung geschätzt und die erwarteten Häufigkeiten $n\cdot p_{j}$ berechnet werden.

Einsetzen in die Teststatistik führt zu einem Prüfwert des Chi-Quadrat-Anpassungstests $v$.

Entscheidungssituationen des Chi-Quadrat-Anpassungstests

• Wenn $v$ in den Ablehnungsbereich der $H_{0}$ fällt, wird die Nullhypothese auf dem Signifikanzniveau $\alpha$ und basierend auf der Zufallsstichprobe vom Umfang $n$ abgelehnt $({\mbox{''}}H_{1}{\mbox{''}})$.

Es konnte statistisch gezeigt werden, dass die Verteilung der Zufallsvariablen $X\;$ in der Grundgesamtheit nicht der hypothetischen Verteilung $F_{0}(x)$ entspricht.

Bei dieser Entscheidung besteht die Möglichkeit, einen Fehler 1. Art (${\mbox{''}}H_{1}{\mbox{''}}|H_{0}$) zu begehen, wenn in Wirklichkeit die Nullhypothese richtig ist.

Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art entspricht dem vorgegebenen Signifikanzniveau $\alpha$.

• Wenn $v$ in den Nichtablehnungsbereich der $H_{0}$ fällt, wird die Nullhypothese basierend auf der Zufallsstichprobe vom Umfang $n$ nicht abgelehnt $({\mbox{''}}H_{0}{\mbox{''}})$.

Es konnte statistisch nicht gezeigt werden, dass die wahre Verteilung in der Grundgesamtheit von der hypothetischen Verteilung $F_{0}\left(x\right)$ abweicht.

Das bedeutet jedoch nicht, dass die wahre Verteilung tatsächlich die hypothetische Verteilung $F_{0}(x)$ ist. Das Stichprobenergebnis gibt nur keine Veranlassung, $H_{0}$ zu verwerfen.

Bei dieser Entscheidung besteht die Möglichkeit, einen Fehler 2. Art $({\mbox{''}}H_{0}{\mbox{''}}|H_{1})$ zu begehen, wenn in Wirklichkeit die Alternativhypothese richtig ist.

Zusatzinformationen

Notwendigkeit der Klassierung bei stetigen Zufallsvariablen

Das dem Chi-Quadrat-Anpassungstest zugrundeliegende Hypothesenpaar enthält die Wahrscheinlichkeiten $p_{j}\left(j=1,\ldots ,k\right)$, die aus der hypothetischen Verteilung zu bestimmen sind.

Ist $X\;$ eine diskrete Zufallsvariable, erhält man $p_{j}=P\left(X=x_{j}|H_{0}\right)$ aus der vorgegebenen Wahrscheinlichkeitsfunktion.

Für eine stetige Zufallsvariable $X\,$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass $X\;$ einen bestimmten Wert $x$ annimmt, jedoch stets Null.

Daraus folgt die Notwendigkeit einer Klassierung der beobachteten Werte. Die Wahrscheinlichkeit $p_{j}=P\left(x_{j-1}^{*}<X\leq x_{j}^{*}|H_{0}\right)$, dass die stetige Zufallsvariable $X\;$ einen Wert aus der Klasse $\left(x_{j-1}^{*},x_{j}^{*}\right)$ annimmt, kann dann mittels der vorgegebenen Verteilungsfunktion bestimmt werden.

Es sei jedoch angemerkt, dass auch für eine diskrete Zufallsvariable eine Klassierung vorgenommen werden kann, falls es die Problemstellung erfordert.

Herleitung der Teststatistik des Chi-Quadrat-Anpassungstests

Die Tatsache, dass die beobachteten absoluten Häufigkeiten $h_{j}$ Zufallsvariablen $H_{j}$ sind, lässt sich wie folgt zeigen, wobei es keine Rolle spielt, ob $X\;$ diskret oder stetig ist, so dass nur auf eine diskrete Zufallsvariable $X\;$ Bezug genommen wird.

Aus der Grundgesamtheit wird ein Element zufällig gezogen und festgestellt, ob der Wert $x_{j}$ aufgetreten ist, d.h. ob das Ereignis $\{X=x_{j}\}$ eingetreten ist oder nicht.

Es gibt somit nur zwei mögliche Ergebnisse des Zufallsexperimentes. Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses $\{X=x_{j}\}$ beträgt bei Gültigkeit der Nullhypothese $p_{j}$ und die Wahrscheinlichkeit für das Nichteintreten $1-p_{j}$.

Das Zufallsexperiment wird $n$-mal wiederholt, wobei die einzelnen Versuche unabhängig voneinander (da eine einfache Zufallsstichprobe vorausgesetzt wird) und die Wahrscheinlichkeiten konstant sind. Es liegt somit ein Bernoulli-Experiment vor.

Bei $n$-maliger Durchführung der Versuche interessiert die Gesamtzahl des Eintretens von ${\left\{X=x_{j}\right\}}$, d.h. die absolute Häufigkeit von $x_{j}$ in der Stichprobe.

Diese Häufigkeit kann von Stichprobe zu Stichprobe unterschiedlich sein, so dass $H_{j}:=\{$Anzahl des Auftretens von $X=x_{j}$ in einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang $n\}$ eine diskrete Zufallsvariable ist, die die Werte $0,\ldots ,n$ annehmen kann.

Die Zufallsvariable $H_{j}\;$ ist binomialverteilt und zwar bei Gültigkeit von $H_{0}$ mit den Parametern $n$ und $p_{j}:H_{j}\sim B(n;p_{j})\;$.

Der Erwartungswert von $H_{j}\;$ ist $E\left[H_{j}\right]=n\cdot p_{j}$ und damit die bei Gültigkeit der $H_{0}$ erwartete absolute Häufigkeit des Wertes $\left\{X=x_{j}\right\}$ in der Stichprobe.

Die Variation der absoluten Häufigkeiten für $\left\{X=x_{j}\right\}$ wird durch die Varianz $Var\left(H_{j}\right)=np_{j}\left(1-p_{j}\right)$ erfasst.

Für die Konstruktion der Teststatistik wird die Abweichung der Zufallsvariablen von ihrem Erwartungswert gebildet: $H_{j}-n\cdot p_{j}$.

Zur Vermeidung, dass sich positive und negative Abweichungen aufheben, erfolgt eine Quadrierung: $\left(H_{j}-n\cdot p_{j}\right)^{2}$.

Mit der Division durch die erwartete Häufigkeit $n\cdot p_{j}$ wird der Einfluss des Stichprobenumfanges $n$ und der Wahrscheinlichkeit $p_{j}$ berücksichtigt und der unterschiedlichen Bedeutung der Abweichungen Rechnung getragen.

Eine Differenz $h_{j}-n\cdot p_{j}=5$ fällt bei $n\cdot p_{j}=10$ stärker ins Gewicht als bei $n\cdot p_{j}=100$.

Diese Herleitung gilt für alle $j=1,\ldots ,k$ gleichermaßen

$V=\sum _{j=1}^{k}{\frac {\left(H_{j}-n\cdot p_{j}\right)^{2}}{n\cdot p_{j}}}$

Da die $H_{j}\;$ Zufallsvariablen sind, ist auch $V\;$ eine Zufallsvariable. Bei Gültigkeit der Nullhypothese, hinreichend großem Stichprobenumfang $n$ und Einhaltung der Approximationsbedingungen ist die Teststatistik $V\;$ approximativ Chi-Quadrat-verteilt mit $f=k-m-1$ Freiheitsgraden.

Dies gilt unabhängig davon, welche Verteilung unter $H_{0}$ angenommen wurde.

Sind die Approximationsbedingungen nicht erfüllt, müssen vor der Anwendung des Tests benachbarte Werte bzw. Klassen zusammengefasst werden, was dann auch im diskreten Fall mit einer Klassierung verbunden ist.

Bei der Ermittlung der Freiheitsgrade ist zu berücksichtigen, dass ein Freiheitsgrad grundsätzlich verloren geht, weil die beobachteten absoluten Häufigkeiten nicht unabhängig voneinander sind.

Für vorgegebenen Stichprobenumfang $n$ und aufgrund der Bedingung $\sum \nolimits _{j}h_{j}=n$ folgt, dass jede Häufigkeit $h_{j}$ durch die anderen $k-1$ Häufigkeiten bestimmt ist.

Weitere Freiheitsgrade gehen verloren, wenn die hypothetische Verteilung $F_{0}\left(x\right)$ nicht mit allen ihren Parametern bekannt ist, sondern diese Parameter aus der Stichprobe geschätzt werden müssen.

Mit $m$ als Anzahl der zu schätzenden Parameter ergibt sich die Anzahl der Freiheitsgrade zu: $f=k-m-1$.

Beispiele

Produktnachfrage (1. Version)

Eine Vertriebsgesellschaft führt eine umfassende Analyse ihrer Geschäftsaktivitäten durch, worunter auch die tägliche Nachfrage nach einem ihrer Spezialprodukte fällt.

In diesem Zusammenhang ist von besonderem Interesse, welche Verteilung die Anzahl der täglich nachgefragten Produkte aufweist.

Bei der Nachfrage nach dem Produkt handelt es sich um ein Ereignis, dass wiederholt, jedoch zufällig und unabhängig voneinander in einem Kontinuum (hier: Zeit) vorgegebenen Umfangs (hier: Tag) auftreten kann.

Die Zufallsvariable $X\;$ bezeichne die Anzahl der täglich nachgefragten Produkte und ist diskret.

Es wird somit vermutet (vgl. Abschnitt "Poisson-Verteilung"), dass die Poisson-Verteilung ein adäquates Verteilungsmodell ist: $X\sim PO(\lambda )\;$.

Der Test soll auf einem Signifikanzniveau von $\alpha =0,05$ durchgeführt werden. Eine einfache Zufallsstichprobe von $n=50$ Tagen lieferte die beobachteten Daten, die in den Spalten 2 und 3 der Tabelle 1 enthalten sind.

Ein langjähriger Mitarbeiter der Firma vermutet aufgrund seiner Erfahrung, dass im Mittel neun Produkte an den 5 Werktagen einer Woche nachgefragt werden.

Da für den Erwartungswert der Poisson-Verteilung $E[X]=\lambda$ gilt und als Zeitintervall ein Tag betrachtet wird, ist $\lambda =1,8$ und es wird folgendes Hypothesenpaar formuliert:

$H_{0}:X\;$ ist Poisson-verteilt mit dem Parameter $\lambda =1,8$, d.h. $X\sim PO\left(1,8\right)$

$H_{1}:X\;$ ist nicht $PO\left(1,8\right)$-verteilt.

In den Spalten 4 und 5 der Tabelle 1 sind die unter $H_{0}$ erwarteten Wahrscheinlichkeiten $P(X=x_{j}|H_{0})=p_{j}$ (die aus der Tabelle der $PO(1,8)$ entnommen wurden) sowie die erwarteten absoluten Häufigkeiten $n\cdot p_{j}$ enthalten.

Tabelle 1

$j\;$	Anzahl nachgefragter Produkte ($x_{j})$	Anzahl der Tage mit $x_{j}$ nachgefragten Produkten $(h_{j})$	$p_{j}=P\left(X=x_{j}|H_{0}\right)$	$n\cdot p_{j}|H_{0}$
1	0	3	0,1653	8,265
2	1	9	0,2975	14,875
3	2	14	0,2678	13,390
4	3	13	0,1607	8,035
5	4	6	0,0723	3,615
6	5	5	0,0260	1,300
7	6 und mehr	0	0,0104	0,520

Teststatistik und Entscheidungsbereiche

Es wird die Teststatistik des Chi-Quadrat-Anpassungstests

$V=\sum _{j=1}^{k}{\frac {\left(H_{j}-n\cdot p_{j}\right)^{2}}{n\cdot p_{j}}}$

verwendet. Sie ist bei Gültigkeit der Nullhypothese approximativ Chi-Quadrat-verteilt mit $f=k-m-1$ Freiheitsgraden.

Überprüfung der Approximationsbedingungen:

Wie aus der Spalte 5 der Tabelle 1 ersichtlich, ist für die Realisationen $x_{5}=4$ und $x_{6}=5$ die Approximationsbedingung $n\cdot p_{j}\geq 5$ und für die Realisation $x_{7}=6$ und mehr sogar die Bedingung $n\cdot p_{j}\geq 1$ nicht erfüllt, so dass diese 3 Realisationen zusammengefasst werden.

Bestimmung der Anzahl der Freiheitsgrade:

Nach der Zusammenfassung verbleiben noch $k=5$ Klassen. Die Poisson-Verteilung wurde als eine vollständig spezifizierte Verteilung vorgeben, d.h. es ist kein Parameter aus der Stichprobe zu schätzen, womit $m=0$ ist. Damit ist $f=5-1=4$.

Unter $H_{0}$ ist die Teststatistik $V\;$ approximativ Chi-Quadrat-verteilt mit $f=4$ Freiheitsgraden.

Für $P(V\leq c)=0,95$ und $f=4$ findet man in der Tabelle der Verteilungsfunktion der Chi-Quadrat-Verteilung den kritischen Wert $c=\chi _{1-\alpha ;k-m-1}^{2}=\chi _{0,95;4}^{2}=9,49$.

Die Entscheidungsbereiche sind damit:

Ablehnungsbereich der $H_{0}:\;\left\{v|v>9,49\right\}$

Nichtablehnungsbereich der $H_{0}:\;\left\{v|v\leq 9,49\right\}$.

Prüfwert und Testentscheidung

Die Tabelle 2 enthält alle notwendigen Zwischenergebnisse für die Berechnung des Prüfwertes.

Tabelle 2

$x_{j}\;$	$h{j}\;$	$n\cdot p_{j}$	$h_{j}-n\cdot p_{j}$	$\left(h_{j}-n\cdot p_{j}\right)^{2}$	${\frac {\left(h_{j}-n\cdot p_{j}\right)^{2}}{n\cdot p_{j}}}$
0	3	8,265	-5,265	27,7202	3,3539
1	9	14,875	-5,875	34,5156	2,3204
2	14	13,390	0,610	0,3721	0,0278
3	13	8,035	4,965	24,6512	3,0680
4 und mehr	11	5,435	5,565	30,9692	5,6981

Der Prüfwert ergibt sich als Summe der Werte in der letzten Spalte: $v=14,4682$.

Da $v$ in den Ablehnungsbereich der $H_{0}$ fällt, wird die Nullhypothese abgelehnt $({\mbox{''}}H_{1}{\mbox{''}})$.

Auf einem Signifikanzniveau von $\alpha =0,05$ und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang $n=50$ konnte statistisch bewiesen werden, dass die Verteilung der Zufallsvariablen $X\;$: "Anzahl der täglich nachgefragten Produkte" nicht eine $PO(1,8)$ ist.

Das bedeutet jedoch nicht, dass das Verteilungsmodell der Poisson-Verteilung damit grundsätzlich verworfen wird, sondern nur dass die spezielle Poisson-Verteilung $PO(1,8)$ nicht als die geeignete Verteilung anzusehen ist.

Bei dieser Entscheidung für $H_{1}$ besteht die Möglichkeit, einen Fehler 1. Art $({\mbox{''}}H_{1}{\mbox{''}}|H_{0})$ zu begehen, wenn in Wirklichkeit die Nullhypothese richtig ist.

Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art entspricht dem vorgegebenen Signifikanzniveau $\alpha =0,05$.

Produktnachfrage (2. Version)

Eine Vertriebsgesellschaft führt eine umfassende Analyse ihrer Geschäftsaktivitäten durch, worunter auch die tägliche Nachfrage nach einem ihrer Spezialprodukte fällt.

In diesem Zusammenhang ist von besonderem Interesse, welche Verteilung die Anzahl der täglich nachgefragten Produkte aufweist.

Bei der Nachfrage nach dem Produkt handelt es sich um ein Ereignis, dass wiederholt, jedoch zufällig und unabhängig voneinander in einem Kontinuum (hier: Zeit) vorgegebenen Umfangs (hier: Tag) auftreten kann.

Die Zufallsvariable $X\;$ bezeichne die Anzahl der täglich nachgefragten Produkte und ist diskret.

Es wird somit vermutet (vgl. Abschnitt "Poisson-Verteilung"), dass die Poisson-Verteilung ein adäquates Verteilungsmodell ist: $X\sim PO(\lambda )\;$.

Der Test soll auf einem Signifikanzniveau von $\alpha =0,05$ durchgeführt werden. Eine einfache Zufallsstichprobe von $n=50$ Tagen lieferte die beobachteten Daten, die in den Spalten 2 und 3 der Tabelle 1 enthalten sind.

Es wird auch bei dieser Version vermutet, dass die Poisson-Verteilung ein adäquates Verteilungsmodell ist: $X\sim PO(\lambda )$.

Es liegen jedoch keine Erkenntnisse bzw. Erfahrungen über den Parameter $\lambda$ vor. Der unbekannte Parameter $\lambda$ muss aus der Stichprobe geschätzt werden.

Es wird die Zufallsstichprobe vom Umfang $n=50$ aus der 1. Version verwendet. Wegen $E[X]=\lambda$ ist der Stichprobenmittelwert

${\bar {X}}={\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}X_{i}$

eine geeignete Schätzfunktion. Als gewogenes arithmetisches Mittel aus der Stichprobe resultiert: ${\bar {x}}=125/50=2,5$.

Das Hypothesenpaar lautet damit:

$H_{0}:X\;$ ist Poisson-verteilt mit dem Parameter $\lambda =2,5$, d.h. $X\sim PO\left(2,5\right)$

$H_{1}:X\;$ ist nicht $PO\left(2,5\right)$-verteilt.

In den Spalten 4 und 5 der Tabelle 3 sind die unter $H_{0}$ geschätzten hypothetischen Wahrscheinlichkeiten $P(X=x_{j}|H_{0})=p_{j}$ (die aus der Tabelle der $PO(2,5)$ entnommen wurden) und absoluten Häufigkeiten $n\cdot p_{j}$ enthalten.

Tabelle 3

$j\;$	Anzahl nachgefragter $x_{j}$ Produkte $(x_{j})$	Anzahl der Tage mit $x_{j}$ nachgefragten Produkten $h{j}$	$p_{j}=P\left(X=x_{j}|H_{0}\right)$	$n\cdot p_{j}|H_{0}$
1	0	3	0,0821	4,105
2	1	9	0,2052	10,260
3	2	14	0,2565	12,825
4	3	13	0,2138	10,690
5	4	6	0,1336	6,680
6	5	5	0,0668	3,340
7	6 und mehr	0	0,0420	2,100

Teststatistik und Entscheidungsbereiche

Es wird wieder die Teststatistik

$V=\sum _{j=1}^{k}{\frac {\left(H_{j}-n\cdot p_{j}\right)^{2}}{n\cdot p_{j}}}$

verwendet, die bei Gültigkeit der Nullhypothese approximativ Chi-Quadrat-verteilt mit $f=k-m-1$ Freiheitsgraden ist.

Überprüfung der Approximationsbedingungen:

Wie aus der Spalte 5 der Tabelle 3 ersichtlich, ist für die Realisation $x_{1}=0$ die Approximationsbedingung $n\cdot p_{j}\geq 5$ nicht erfüllt, so dass sie mit $x_{2}$ zusammengefasst wird.

Weiterhin ist für die Realisationen $x_{6}=5$ und $x_{7}=6$ und mehr die Approximationsbedingung $n\cdot p_{j}\geq 5$ nicht erfüllt, so dass diese beiden Realisationen zusammengefasst werden.

Bestimmung der Anzahl der Freiheitsgrade:

Nach der Zusammenfassung verbleiben noch $k=5$ Klassen. Da der Parameter $\lambda$ aus der Stichprobe geschätzt werden musste, ist $m=1$ und somit $f=5-1-1=3$.

Unter $H_{0}$ ist die Teststatistik $V\;$ approximativ Chi-Quadrat-verteilt mit $f=3$ Freiheitsgraden.

Für $P(V\leq c)=0,95$ und $f=3$ findet man in der Tabelle der Verteilungsfunktion der Chi-Quadrat-Verteilung den kritischen Wert $c=\chi _{1-\alpha ;f}^{2}=\chi _{0,95;3}^{2}=7,81$.

Die Entscheidungsbereiche sind damit:

Ablehnungsbereich der $H_{0}:\;\left\{v|v>7,81\right\}$

Nichtablehnungsbereich der $H_{0}:\;\left\{v|v\leq 7,81\right\}$.

Prüfwert und Testentscheidung

Die Tabelle 4 enthält alle notwendigen Zwischenergebnisse für die Berechnung des Prüfwertes

Tabelle 4

$x_{j}\;$	$h{j}\;$	$n\cdot p_{j}$	$h_{j}-n\cdot p_{j}$	$\left(h_{j}-n\cdot p_{j}\right)^{2}$	${\frac {\left(h_{j}-n\cdot p_{j}\right)^{2}}{n\cdot p_{j}}}$
0-1	12	14,365	-2,365	5,5932	0,3894
2	14	12,825	1,175	1,3806	0,1076
3	13	10,690	2,310	5,3361	0,4992
4	6	6,680	-0,680	0,4624	0,0692
5 und mehr	5	5,440	-0,440	0,1936	0,0356

Der Prüfwert ergibt sich als Summe der Werte in der letzten Spalte: $v=1,101$.

Da $v$ in den Nichtablehnungsbereich der $H_{0}$ fällt, wird die Nullhypothese nicht verworfen $({\mbox{''}}H_{0}{\mbox{''}})$.

Basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang $n=50$ konnte statistisch nicht bewiesen werden, dass die Zufallsvariable $X:\;$ "Anzahl der täglich nachgefragten Produkte" nicht einer $PO(2,5)$ folgt.

Bei dieser Entscheidung für $H_{0}$ besteht die Möglichkeit, einen Fehler 2. Art $({\mbox{''}}H_{0}{\mbox{''}}|H_{1})$ zu begehen, wenn in Wirklichkeit die Nullhypothese richtig ist.

Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art $P({\mbox{''}}H_{0}{\mbox{''}}|H_{1})=\beta$ ist jedoch unbekannt.