Test auf Mittelwert

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Testtheorie

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Grundbegriffe

Test auf Mittelwert

Bei diesen Tests handelt es sich um Parametertests, d.h. Tests, mit denen eine Hypothese über einen unbekannten Parameter der Grundgesamtheit geprüft wird.

Der unbekannte Parameter der Zufallsvariablen ist hier der Erwartungswert in der Grundgesamtheit.

Die Tests basieren auf einer einfachen Zufallsstichprobe vom vorgegebenen Umfang mit den Stichprobenvariablen und werden auf dem Signifikanzniveau durchgeführt.

Je nach Problemstellung können die Tests als zwei- oder einseitige Tests formuliert werden.

Bei der Formulierung eines einseitigen Tests (rechts- bzw. linksseitiger Test) wird in der Regel diejenige Annahme als Alternativhypothese festgelegt, die "statistisch bestätigt" werden soll.

Oftmals werden auch in einer Risikobetrachtung die beiden möglichen Fehlentscheidungen gegenübergestellt und dann diejenige Fehlentscheidung mit den schwerwiegenderen Konsequenzen als der mögliche Fehler 1. Art gesetzt, weil die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art durch die Vorgabe des Signifikanzniveaus klein gehalten werden kann.

Daraus ergibt sich dann die Entscheidung für einen rechts- oder linksseitigen Test. Da jeder Test auf einer Zufallsstichprobe basiert, benötigt man zunächst eine Größe, die die Informationen aus der Stichprobe enthält.

Dazu wird bei einem Parametertest eine Schätzfunktion verwendet. Es wurde bereits gezeigt, dass der Stichprobenmittelwert

ein geeigneter Punktschätzer für den unbekannten Erwartungswert der Grundgesamtheit ist, da der Schätzer erwartungstreu und konsistent ist.

Die Varianz und die Standardabweichung von sind im Falle einer einfachen Zufallsstichprobe (siehe Abschnitt Stichprobenverteilungen) gegeben mit

Der Stichprobenmittelwert bildet den Ausgangspunkt für die Bestimmung der Teststatistik.

Annahme:

Für die weiteren Betrachtungen wird von der Annahme ausgegangen, dass

Es gelte somit:

ist (zumindest approximativ) normalverteilt mit dem Erwartungswert und der Varianz .

Um die Verteilung von konkret angeben zu können, muss der Parameter numerisch spezifiziert werden. Die einzige verfügbare Information über ist jedoch der hypothetische Wert .

Es wird nun unterstellt, dass der wahre Erwartungswert in der Grundgesamtheit ist, d.h. gilt. Dies entspricht bei einem zweiseitigen Test exakt der Nullhypothese .

Bei einem einseitigen Test ist stets als Grenzwert der Bereichshypothese unter enthalten.

Damit folgt:

Bei Gültigkeit der Nullhypothese ist (zumindest approximativ) normalverteilt mit dem Erwartungswert und der Varianz :

.


Die Konstruktion der Teststatistik hängt nunmehr entscheidend davon ab, ob die Standardabweichung der Zufallsvariablen in der Grundgesamtheit und damit die Standardabweichung des Stichprobenmittelwertes bekannt ist oder nicht.

Hierzu werden zwei Testverfahren vorgestellt: