Zufallsvariable

Grundbegriffe

Zufallsvariable

Eine Zufallsvariable $\,X$ ist eine Variable, die den möglichen Ereignissen eines Zufallsexperimentes reelle Zahlen zuordnet.

Der einzelne Wert $x_{i},\,i=1,\dots ,n$, den die Zufallsvariable $X$ annimmt (Realisation), tritt mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit auf.

Zur Generierung von Zufallsvariablen erfolgt eine Abbildung in dem Sinne, dass jedem Elementarereignis $E_{j\in J}$ als Element von $S$ eine reelle Zahl zugeordnet wird, wobei $S$ als Ereignisraum des Zufallsexperimentes den Definitionsbereich der Abbildung darstellt und die Menge der reellen Zahlen der Wertebereich der Abbildung ist.

formal schreibt man für die Abbildung des Definitionsbereiches $S$ in den Wertebereich $\mathbb {R}$:

$X:E_{j}\rightarrow X(E_{j})=x_{j}$

Zufallsvariablen werden mit großen Buchstaben gekennzeichnet, da vor der Durchführung des Zufallsexperimentes nicht bekannt ist, welches Ereignis und damit welcher Wert der Zufallsvariablen eintreten wird. Alle möglichen Werte der Zufallsvariablen bilden ihren Wertebereich $\mathbb {R}$.

Die Zufallsvariable nimmt erst nach der Durchführung des Zufallsexperimentes einen konkreten Wert aus ihrem Wertebereich an. Der im Zufallsexperiment realisierte Wert der Zufallsvariablen liegt nun als gegeben vor.

Diskrete Zufallsvariable

Eine Zufallsvariable heisst diskret, wenn ihr Wertebereich nur endlich oder abzählbar unendlich viele Werte $x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n}$ annehmen kann.

Stetige Zufallsvariable

Eine Zufallsvariable heisst stetig, wenn sie jeden beliebigen Wert $x_{i}$ eines vorgegebenen endlichen oder unendlichen Intervalls der reellen Zahlen annehmen kann.

Realisation

Den einzelnen Wert, den eine Zufallsvariable $X$ annimmt, nennt man Realisation.

Sie wird mit dem gleichen kleinen Buchstaben $x_{i},\,i=1,\dots ,n$ bezeichnet.

Beispiele

Münzwurf

Beim einmaligen Werfen einer idealen Münze können zwei mögliche Realisationen auftreten: Kopf $(K)$ bzw. Zahl $(Z)$.

Mit einer idealen Münze wird z.B. dreimal geworfen $(k=3)$ und das Interesse ist auf die Anzahl des Auftretens von $Z$ gerichtet.

Hierbei sind acht verschiedene Variationen möglich, die im Ereignisraum $S$ abgebildet werden $\,(V^{W}(n;k)=n^{k}$ und damit ist $\,V^{W}(2;3)=2^{3}=8)$:

$\,S=\left\lbrace KKK,KKZ,KZK,ZKK,KZZ,ZKZ,ZZK,ZZZ\right\rbrace$

Anhand der Anzahl der Realisationen „Zahl" in den Elementarereignissen („Zahl" wird null-, ein-, zwei- oder dreimal geworfen) werden mittels einer Abbildung jedem Element des Ereignisraumes reelle Zahlen $(0,1,2,3)$ zugeordnet.

Die zugehörige Zufallsvariable $X$, ist wie folgt definiert:

$X=\{{\mbox{Anzahl von 'Zahl' beim dreimaligen Werfen einer idealen Münze}}\}$.

Sie kann 4 mögliche Werte annehmen: $x_{1}=0;\;x_{2}=1;\;x_{3}=2;$ und $\,x_{4}=3$ die ihren Wertebereich bilden.

Haushaltsgröße

Um Aufschlüsse über veränderte Lebensgewohnheiten zu erhalten, interessiert bei sozio-ökonomischen Untersuchungen vielfach die Größe der Privathaushalte. Die einzelnen Ereignisse seien wie folgt festgelegt:

$E_{1}=\{{\mbox{Privathaushalt mit einer im Haushalt lebenden Person}}\}$

$E_{2}=\{{\mbox{Privathaushalt mit zwei im Haushalt lebenden Personen}}\}$

$E_{3}=\{{\mbox{Privathaushalt mit drei im Haushalt lebenden Personen}}\}$

$E_{4}=\{{\mbox{Privathaushalt mit vier und mehr im Haushalt lebenden Personen}}\}$

Der Ereignisraum setzt sich aus diesen vier Ereignissen zusammen

$S=\{E_{1},\;E_{2},\;E_{3},\;E_{4}\}$.

Jedem Ereignis $E_{j}\in S$ wird mittels einer Abbildung eine reelle Zahl zugeordnet.

$S$		$R$
$E_{1}$	$\rightarrow$	$1$
$E_{2}$	$\rightarrow$	$2$
$E_{3}$	$\rightarrow$	$3$
$E_{4}$	$\rightarrow$	$4$

Die zugehörige Zufallsvariable $X\;$ ist inhaltlich als "Haushaltsgröße" definiert.

Ihr Wertebereich ist {1, 2, 3,4} und damit sind die möglichen Realisationen: $x_{1}=1,\;x_{2}=2,\;x_{3}=3,\;x_{4}=4$.