Wahrscheinlichkeitsrechnung

Grundbegriffe

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung beschäftigt sich mit dem Ausgang von Zufallsexperimenten.

Zufallsexperiment

Unter einem Zufallsexperiment versteht man ein tatsächliches oder gedachtes Experiment,

• das beliebig oft unter gleichartigen Bedingungen wiederholt werden kann und
• dessen Ausgang nicht mit Sicherheit vorherzusagen ist.

Um Zufallsexperimente mathematisch untersuchen zu können, müssen ihre Merkmale beschrieben werden.

Man stelle sich hierfür das Experiment "Würfelwurf" vor. Ein wichtiges Merkmal dieses Experiments ist sicherlich sein Ergebnis. Wie kann dieses Ergebnis aussehen?

Viele Antworten sind möglich: $\{1\}$, $\{2\}$, $\{{\mbox{1 oder 2}}\}$, $\{{\mbox{gerade}}\}$, $\{{\mbox{mindestens 3}}\}$, $\{{\mbox{alles außer 6}}\}$ usw.

Ereignis

Alle Tatbestände, die das Ergebnis eines Zufallsexperiments sein können, werden Ereignisse genannt.

Am Würfelbeispiel sieht man, wie unübersichtlich die Menge der Ereignisse sein kann: $\{1\}$, $\{2\}$, $\{{\mbox{1 oder 2}}\}$, $\{{\mbox{gerade}}\}$, $\{{\mbox{mindestens 3}}\}$, $\{{\mbox{alles außer 6}}\}$ usw.

Elementarereignis

Das Elementarereignis $\ E$ ist ein Ereignis, dass nicht mehr in andere Ereignisse zerlegbar ist.

Elementarereignisse schließen sich gegenseitig aus.

Jedes Ereignis setzt sich aus einem oder mehreren Elementarereignissen zusammen.

Ereignisraum

Die Menge aller möglichen Elementarereignisse bildet den Ereignisraum $\ S$.

Man kann ein Zufallsexperiment viel übersichtlicher beschreiben, indem man den Ereignisraum angibt, anstatt alle möglichen Ereignisse aufzuschreiben.

Aus den Definitionen folgt sofort, dass jedes mögliche Ereignis eine bestimmte Teilmenge des Ereignisraums ist.

Unmögliches Ereignis

Ereignisse, die auf keinen Fall eintreten und daher nicht Teilmengen des Ereignisraums sind, werden als unmögliche Ereignisse bezeichnet.

Sicheres Ereignis

Ein Ereignis ist ein sicheres Ereignis, wenn es in jedem Fall eintritt. Ein sicheres Ereignis ist also identisch mit dem Ereignisraum $\ S$.

Komplementärereignis

Als Komplementärereignis $\,{\bar {A}}$ wird die Menge aller Elementarereignisse eines Ereignisraumes $\,S$, die nicht im betrachteten Ereignis $\,A$ enthalten sind, bezeichnet.

Das Komplementärereignis zum Ereignisraum $\,S$ ist das unmögliche Ereignis: $\;{\bar {S}}=\emptyset$.

Beispiele

Würfelexperiment 1

Die Elementarereignisse des Würfelexperiments sind $\left\lbrace 1\right\rbrace ,\left\lbrace 2\right\rbrace ,\left\lbrace 3\right\rbrace ,\left\lbrace 4\right\rbrace ,\left\lbrace 5\right\rbrace ,\left\lbrace 6\right\rbrace$.

Der Ereignisraum beim einmaligen Würfelwurf ist $\ S=\left\lbrace 1,2,3,4,5,6\right\rbrace$.

Würfelexperiment 2

Experiment: einmaliges Werfen eines Würfels

Ereignis $A$: "Werfen einer geraden Augenzahl"

$\,A=(2,4,6)$

Komplementärereignis:

$\,{\bar {A}}=(1,3,5)$

Münzwurf

Experiment: zweimaliges Werfen einer Münze

Elementarereignisse: $\left\lbrace WW\right\rbrace ,\left\lbrace WZ\right\rbrace ,\left\lbrace ZW\right\rbrace ,\left\lbrace ZZ\right\rbrace$, wobei $W$ für Wappen und $Z$ für Zahl steht.

Ereignisraum: $S=\left\lbrace WW,WZ,ZW,ZZ\right\rbrace$