Gütefunktion

Grundbegriffe

Gütefunktion oder Macht eines Tests

Die Wahrscheinlichkeit der Ablehnung der Nullhypothese in Abhängigkeit von allen unter der Null- und Alternativhypothese zulässigen Parameterwerten wird als Gütefunktion oder Macht eines Tests bezeichnet und mit $G(\vartheta )$ symbolisiert:

$G(\vartheta )=P\left(V{\mbox{ ist Element des Ablehnungsbereiches der }}H_{0}\;|\;\vartheta \right)=P\left(H_{1}|\vartheta \right)$

Gehört der wahre Parameterwert $\vartheta$ zu den zulässigen Parameterwerten unter der Alternativhypothese $H_{1}$, so wurde im Ergebnis der Testdurchführung eine richtige Entscheidung getroffen $({\mbox{''}}H_{1}{\mbox{''}}|H_{1})$.

Die Gütefunktion gibt in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit für die berechtigte Ablehnung der Nullhypothese (berechtigte Annahme der Alternativhypothese) an:

$G(\vartheta )=P\left(H_{1}|H_{1}\right)=1-\beta \left(\vartheta \right)\quad$ für alle $\vartheta$ Element von $\theta _{1}$,

wobei $\theta _{1}$ den Parameterraum unter $H_{1}$ bezeichnet.

Gehört der wahre Parameterwert $\vartheta$ zu den zulässigen Parameterwerten unter der Nullhypothese $H_{0}$, so wurde im Ergebnis der Testdurchführung eine falsche Entscheidung getroffen $({\mbox{''}}H_{1}{\mbox{''}}|H_{0})$.

Die Gütefunktion gibt in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art an:

$G(\vartheta )=P\left(H_{1}|H_{0}\right)\leq \alpha$ für alle $\vartheta$ Element von $\theta _{0}$,

wobei $\theta _{0}$ den Parameterraum unter $H_{0}$ bezeichnet.

Operationscharakteristik (OC-Kurve)

Mittels der Gütefunktion kann die Trennschärfe eines Tests beurteilt werden, d.h. die Fähigkeit, eine falsche Nullhypothese zuverlässig aufzudecken.

$1-G(\vartheta )$ wird als Operationscharakteristik (OC - Kurve) eines Tests bezeichnet und gibt in Abhängigkeit von $\vartheta$ die Wahrscheinlichkeit für die Nichtablehnung der Nullhypothese an:

$1-G(\vartheta )=P({\mbox{V ist Element des Nichtablehnungsbereiches der }}H_{0}|\vartheta )=P({H}_{0}|\vartheta )$

Gehört der wahre Parameterwert $\vartheta$ zu den zulässigen Parameterwerten unter der Alternativhypothese $H_{1}$, so wurde im Ergebnis der Testdurchführung eine falsche Entscheidung getroffen $({\mbox{''}}H_{0}{\mbox{''}}|H_{1})$.

Die Operationscharakteristik gibt in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art an:

$1-G(\vartheta )=P(H_{0}|H_{1})=\beta (\vartheta )$ für alle $\vartheta$ Element von $\theta _{1}$,

Gehört der wahre Parameterwert $\vartheta$ zu den zulässigen Parameterwerten unter der Nullhypothese $H_{0}$, so wurde eine richtige Entscheidung getroffen $({\mbox{''}}H_{0}{\mbox{''}}|H_{0})$.

Die Gütefunktion gibt in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit für die berechtigte Beibehaltung der $H_{0}$ an:

$1-G(\vartheta )=P(H_{0}|H_{0})\geq 1-\alpha$ für alle $\vartheta$ Element von $\theta _{0}$,

Zusatzinformationen

Der Verlauf der Gütefunktion bzw. der Operationscharakteristik hängt

• von der verwendeten Teststatistik und deren Verteilung ab, die zur Bestimmung von $G(\vartheta )$ bzw. $1-G(\vartheta )$ nicht nur unter $H_{0}$, sondern für alle zulässigen Parameterwerte (zumindest approximativ) bekannt sein muss;

• vom vorgegebenen Signifikanzniveau und

• im Allgemeinen vom Stichprobenumfang $n$ ab.