Arithmetisches Mittel

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Univariate Statistik

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Grundbegriffe

Arithmetisches Mittel

Das arithmetische Mittel ist der Wert, der sich ergibt, wenn die Summe aller beobachteten Merkmalsausprägungen gleichmäßig auf alle statistischen Einheiten aufgeteilt wird.

Die Berechnung des arithmetischen Mittels ist nur für metrisch skalierte Merkmale sinnvoll.

Im Gegensatz zu anderen Parametern (z.B. Modus) ist es empfindlich gegenüber Ausreißern, d.h. Extremwerte "ziehen" das arithmetische Mittel in ihre Richtung.

Arithmetisches Mittel, unklassierte Variablen

 \bar{x}= \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n} x_{i}

Arithmetisches Mittel, klassierte und diskrete Variablen

 \bar{x} = \frac{1}{n} \sum\limits_{j=1}^{k} x_{j}^m
h(x_{j}) = \sum\limits_{j=1}^{k} x_{j}^m f(x_{j})

Bei klassierten Daten kann nur eine näherungsweise Berechnung des arithmetischen Mittels nach der obigen Formel vorgenommen werden, wobei die Klassenmitten  x_{j}^m verwendet werden.

Arithmetisches Mittel, gewogen

\bar{x}=\cfrac{\sum\limits_{i=1}^n x_i \cdot g_i}{\sum\limits_{i=1}^{n} g_i}

Arithmetisches Mittel, gepoolt

Sind die Beobachtungswerte in disjunkten Gruppen  D_{1}, D_{2}, \dots , D_{r} gegeben und ist für jede Gruppe das arithmetische Mittel  \bar x_{p} bekannt, kann das arithmetische Mittel für den aus allen r Gruppen zusammengefassten (gepoolten) Datensatz  D=D_{1}\cup\dots\cup D_{r} , d.h. für alle Beobachtungswerte, mit der folgenden Formel berechnet werden:

 \bar{x}=\frac{1}{n}\sum\limits_{p=1}^{r}\bar{x}_{p}n_{p} \quad \mbox{mit} \quad n=\sum\limits_{p=1}^{r}n_{p}

wobei  n_{p} die Anzahl der Beobachtungswerte der p-ten Gruppe (p = 1, \dots , r) ist.

Zusatzinformationen

Null- oder Schwerpunkteigenschaft

Die Summe der Abweichungen aller beobachteten Merkmalsausprägungen vom arithmetischen Mittel ist gleich Null.

 \sum\limits_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})=0

 \sum\limits_{j=1}^{k}(x_{j}-\bar{x}) \cdot h(x_{j})=0

Quadratische Minimumeigenschaft

Die Summe der quadratischen Abweichungen aller beobachteten Merkmalsausprägungen vom arithmetischen Mittel ist kleiner als die von einem anderen beliebigen Wert c.

 \sum\limits_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}<\sum\limits_{i=1}^{n}(x_{i}-c)^{2}

 \sum\limits_{j=1}^{k}(x_{j}-\bar{x})^{2}h(x_{j})<\sum\limits_{j=1}^{k}(x_{j}-c)^{2}h(x_{j})

Lineare Transformation

 y_{i}=a+bx_{i} \Rightarrow \bar{y}=a+b\bar{x}

Additivität

 z_{i} = x_{i} + y_{i} \Rightarrow \bar{z} = \bar{x} + \bar{y}

Beispiele

Haushaltsnettoeinkommen

Von Bis unter Anteil Befragte
0 800 4,4%
800 1400 16,6%
1400 3000 47,1%
3000 5000 24,3%
5000 25000 7,6%

Berechnung des arithmetischen Mittels mit  x_{j} als Klassenmitte:

 \bar{x}=400\cdot0.044+1100\cdot0.166+2200\cdot0.471+4000\cdot0.243+15000\cdot
0.076=17.6+182.6+1036.2+972+1140=3348.4\mbox{ DM.}

Das arithmetische Mittel ist mit 3348,4 DM größer als der weiter oben berechnete Median (2385,14 DM). Eine Erklärung dafür liefert ein Blick in die Tabelle. Die relative Häufigkeit ist bei den höheren Einkommen größer als bei den geringeren Einkommen. Durch diese Tatsache wird das arithmetische Mittel in Richtung der höheren Einkommen "gezogen".

Monatliches persönliches Einkommen

 \bar{x} 1881,40 DM
 x_{0,25} 1092,50 DM
 x_{0,50} 1800,00 DM
 x_{0,75} 2400,00 DM
 x_{D} 2000,00 DM

Monatliches persönliches Einkommen von 716 befragten Personen