Test auf Anteilswert

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Grundbegriffe

Test auf Anteilswert

Vorausgesetzt wird eine dichotome Grundgesamtheit, in der ein unbekannter Anteil $\pi$ von Elementen eine interessierende Eigenschaft aufweist und ein Anteil $1-\pi$ diese Eigenschaft nicht besitzt.

Über $\pi$ existiert eine Annahme (hypothetischer Wert) $\pi _{0}$. Diese Annahme soll mittels eines statistischen Tests geprüft werden, wobei es sich um einen Parametertest handelt.

Es wird im Weiteren vorausgesetzt, dass der Test auf einer einfachen Zufallsstichprobe vom vorgegebenen Umfang $n$ basiert, womit die Stichprobenvariablen $X_{1},\ldots ,X_{n}$, die nur die Werte 0 oder 1 annehmen können, unabhängig und identisch Bernoulli-verteilt sind.

Geprüft wird auf dem Signifikanzniveau $\alpha$.

Je nach Problemstellung können die Tests als zwei- oder einseitige Tests formuliert werden.

• Zweiseitiger Test

$H_{0}:\;\pi =\pi _{0},\quad H_{1}:\;\pi \neq \pi _{0}$

• Rechtsseitiger Test

$H_{0}:\;\pi \leq \pi _{0},\quad H_{1}:\pi >\pi _{0}$

• Linksseitiger Test

$H_{0}:\pi \geq \pi _{0},\quad H_{1}:\pi <\pi _{0}$

Für die Wahl der Hypothesenformulierung gelten die Ausführungen zum "Test auf Mittelwert" in analoger Weise.

Teststatistik des Tests auf Anteilswert

Der Stichprobenanteilswert

${\widehat {\pi }}={\frac {X}{n}}={\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}X_{i}$

ist eine geeignete Schätzfunktion für $\pi$.

Eine gleichwertige Stichprobenfunktion ist die Zufallsvariable $X\;$

$X=\sum _{i=1}^{n}X_{i}$

als Anzahl der Elemente mit der interessierenden Eigenschaft in der Zufallsstichprobe, denn sie unterscheidet sich nur durch den konstanten Faktor ${\frac {1}{n}}$ vom Stichprobenanteilswert.

Wie bereits gezeigt (siehe Abschnitt "Verteilung des Stichprobenanteilswertes" und "Binomialverteilung"), ist $X\;$ binomialverteilt mit den Parametern $n$ und $\pi :\;X\sim B(n;\pi )$.

Da der Stichprobenumfang $n$ vorgegeben ist, muss zur konkreten Angabe der Binomialverteilung noch $\pi$ festgelegt werden.

Die einzige verfügbare Information über $\pi$ ist der hypothetische Wert $\pi _{0}$.

Es wird nun unterstellt, dass $\pi _{0}$ der wahre Anteilswert in der Grundgesamtheit ist, d.h. $\pi =\pi _{0}$ gilt.

Damit folgt:

Die Schätzfunktion $X\;$ kann unmittelbar als Teststatistik verwendet werden, die bei Gültigkeit der Nullhypothese $H_{0}$ binomialverteilt ist mit den Parametern $n$ und $\pi _{0}$.

$V=X{\mbox{ ist unter }}H_{0}\sim B(n;\;\pi _{0}){\mbox{-verteilt}}$

Entscheidungsbereiche des Tests auf Anteilswert

Der Ablehnungsbereich der Nullhypothese beinhaltet alle Realisationen der Teststatistik $V\;$, deren aufsummierte Wahrscheinlichkeiten maximal $\alpha$ betragen.

Die kritischen Werte findet man aus der Tabelle der Verteilungsfunktion $F_{B}$ der $B(n;\pi _{0})$ wie folgt:

Zweiseitiger Test

Der untere kritische Wert $x_{u}$ ist diejenige Realisation von $X\;$, für die $F_{B}(x)$ den Wert ${\frac {\alpha }{2}}$ gerade überschreitet, so dass gilt:

$F_{B}(x_{u}-1)\leq {\frac {\alpha }{2}}$ und $F_{B}(x_{u})>{\frac {\alpha }{2}}$.

Der obere kritische Wert $x_{o}$ ist diejenige Realisation von $X\;$, für die $F_{B}(x)$ den Wert $1-{\frac {\alpha }{2}}$ gerade erreicht oder überschreitet, so dass gilt:

$F_{B}(x_{o}-1)<1-{\frac {\alpha }{2}}$ und $F_{B}(x_{o})\geq 1-{\frac {\alpha }{2}}$.

Der Ablehnungsbereich der $H_{0}$ ist gegeben durch

$\left\{v|v<x_{u}{\mbox{ oder }}v>x_{o}\right\}$ mit $P\left(V<x_{u}|\pi _{0}\right)+P\left(V>x_{o}|\pi _{0}\right)\leq \alpha$.

Für den Nichtablehnungsbereich der $H_{0}$ erhält man:

$\left\{v|x_{u}\leq v\leq x_{o}\right\}$ mit $P\left(x_{u}\leq V\leq x_{o}|\pi _{0}\right)\geq 1-\alpha$.

Rechtsseitiger Test

Der kritische Wert $x_{c}$ ist diejenige Realisation von $X\;$, für die $F_{B}(x)$ den Wert $1-\alpha$ gerade erreicht oder überschreitet, so dass gilt:

$F_{B}\left(x_{c}-1\right)<1-\alpha$ und $F_{B}\left(x_{c}\right)\geq 1-\alpha$.

Der Ablehnungsbereich der $H_{0}$ ist gegeben durch

$\left\{v|v>x_{c}\right\}$ mit $P\left(V>x_{c}|\pi _{0}\right)\leq \alpha$.

Für den Nichtablehnungsbereich der $H_{0}$ erhält man:

$\left\{v|v\leq x_{c}\right\}$ mit $P\left(V\leq x_{c}|\pi _{0}\right)\geq 1-\alpha$.

Linksseitiger Test

Der kritische Wert $x_{c}$ ist diejenige Realisation von $X\;$, für die $F_{B}(x)$ den Wert $\alpha$ gerade überschreitet, so dass gilt:

$F_{B}\left(x_{c}-1\right)\leq \alpha$ und $F_{B}\left(x_{c}\right)>\alpha$.

Der Ablehnungsbereich der $H_{0}$ ist gegeben durch

$\left\{v|v<x_{c}\right\}$ mit $P\left(V<x_{c}|\pi _{0}\right)\leq \alpha$.

Für den Nichtablehnungsbereich der $H_{0}$ erhält man:

$\left\{v|v\geq x_{c}\right\}$ mit $P\left(V\geq x_{c}|\pi _{0}\right)\geq 1-\alpha$.

Prüfwert des Tests auf Anteilswert

Wenn die einfache Zufallsstichprobe vom Umfang $n$ gezogen wurde, liegen die konkreten Stichprobenwerte $x_{1},\ldots ,x_{n}$ vor und der Prüfwert $v$ der entsprechenden Teststatistik $V\;$ kann ermittelt werden.

Entscheidungssituationen des Tests auf Anteilswert

Testentscheidung und Interpretation erfolgen in gleicher Weise wie beim "Test auf Mittelwert".

Gütefunktion des Tests auf Anteilswert

Für die Teststatistik $V$ bei genügend großem Stichprobenumfang (Approximation durch die Normalverteilung - siehe unten)

$V={\cfrac {{\widehat {\pi }}-\pi _{0}}{\sigma _{0}\left({\widehat {\pi }}\right)}}={\cfrac {{\widehat {\pi }}-\pi _{0}}{\sqrt {\cfrac {\pi _{0}\left(1-\pi _{0}\right)}{n}}}}$

lassen sich für die verschiedenen Testvarianten die Formeln für die Berechnung der Gütefunktion in ähnlicher Weise wie beim Test auf Mittelwert herleiten, worauf an dieser Stelle verzichtet wird.

Wenn $V=X\;$ die Teststatistik ist, muss auch zur Berechnung der Gütefunktion $G(\pi )$ die Binomialverteilung verwendet werden, d.h. $B(n;\pi )$ für alle zulässigen Werte $0=\pi =1$ und festes $n$.

Für

$G\left(\pi \right)=P\left(V=X\in {\mbox{ Ablehnungsbereich der }}H_{0}|\pi \right)$

folgt

• beim zweiseitigen Test

$G\left(\pi \right)=P\left(V<x_{u}|\pi \right)+P\left(V>x_{o}|\pi \right)=P\left(V\leq x_{u}-1|\pi \right)+\left[1-P\left(V\leq x_{o}|\pi \right)\right]$

• beim rechtsseitigen Test

$G\left(\pi \right)=P\left(V>x_{c}|\pi \right)=1-P\left(V\leq x_{c}|\pi \right)$,

• beim linksseitigen Test

$G\left(\pi \right)=P\left(V<x_{c}|\pi \right)=P\left(V\leq x_{c}-1|\pi \right)$.

Die Wahrscheinlichkeiten sind aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der $B(n;\pi )$ zu entnehmen.

Die Gütefunktion an der Stelle $\pi =\pi _{0}$ entspricht stets dem exakten Signifikanzniveau $\alpha _{exakt}$.

Zusatzinformationen

Approximation durch die Normalverteilung

Da $V=X\;$ eine diskrete Zufallsvariable ist, gilt für alle Testvarianten, dass das vorgegebene Signifikanzniveau $\alpha$ nicht notwendig ausgeschöpft und somit nur mit dem sich ergebenden exakten Signifikanzniveau $\alpha _{exakt}$ getestet wird.

Für genügend großen Stichprobenumfang $n$ wird, ausgehend von der Schätzfunktion ${\widehat {\pi }}$ die standardisierte Zufallsvariable

$V={\cfrac {{\widehat {\pi }}-\pi _{0}}{\sigma _{0}\left({\widehat {\pi }}\right)}}={\cfrac {{\widehat {\pi }}-\pi _{0}}{\sqrt {\cfrac {\pi _{0}\left(1-\pi _{0}\right)}{n}}}}$

als Teststatistik verwendet, wobei $\sigma _{0}\left({\widehat {\pi }}\right)$ die Standardabweichung der Schätzfunktion ${\widehat {\pi }}$ unter $H_{0}$ bezeichnet.

$V\;$ ist bei Gültigkeit der Nullhypothese approximativ standardnormalverteilt (siehe Abschnitt Verteilung des Stichprobenanteilswertes). Für das vorgegebene Signifikanzniveau $\alpha$ können die kritischen Werte aus der Tabelle der Standardnormalverteilung entnommen werden.

Für die einzelnen Testmöglichkeiten ergeben sich die Entscheidungsbereiche analog zum approximativen Einstichproben-t-Test. Da $E\left[{\widehat {\pi }}\right]=\pi$ gilt, wird deutlich, dass eine Hypothese über den Anteilswert $p$ einer Hypothese über den Erwartungswert entspricht.