Zweistichproben-Gauß-Test

Grundbegriffe

Zweistichproben-Gauß-Test

Der Zweistichproben-Gauß-Test ist ein Test auf Differenz zweier Mittelwerte, wobei die Standardabweichung $\sigma$ als bekannt vorrausgesetzt wird.

Im Folgenden gelten alle Voraussetzungen wie unter "Test auf Differenz zweier Mittelwerte" diskutiert.

Teststatistik des Zweistichproben-Gauß-Tests

Bei bekannten Standardabweichungen und Gültigkeit der Nullhypothese ist die Normalverteilung von $D$ vollständig spezifiziert, liegt jedoch für $\omega _{0}$ und $\sigma _{D}$ nicht tabelliert vor.

Es wird die standardisierte Version

$V={\frac {D-\omega _{0}}{\sigma _{D}}}={\frac {\left({\overline {X}}_{1}-{\overline {X}}_{2}\right)-\omega _{0}}{\sqrt {{\cfrac {\sigma _{1}^{2}}{n_{1}}}+{\cfrac {\sigma _{2}^{2}}{n_{2}}}}}}$

als Teststatistik verwendet.

Bei Gültigkeit der Nullhypothese $H_{0}$ ist $V\;$ (zumindest approximativ) standardnormalverteilt. Für das vorgegebene Signifikanzniveau $\alpha$ können die kritischen Werte aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung entnommen werden.

Entscheidungsbereiche des Zweistichproben-Gauß-Tests

Für die einzelnen Testvarianten erhält man die nachstehenden Entscheidungsbereiche bei Gültigkeit der Nullhypothese $H_{0}$ und vorgegebenem Signifikanzniveau $\alpha$:

Testvariante	Ablehnungsbereich der $H_{0}$	Nichtablehnungsbereich der $H_{0}$
zweiseitig	$\left\{v|v<-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}{\mbox{ oder }}v>z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\right\}$	$\left\{v|-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\leq v\leq z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\right\}$
rechtsseitig	$\left\{v|v>z_{1-\alpha }\right\}$	$\left\{v|v\leq z_{1-\alpha }\right\}$
linksseitig	$\left\{v|v<-z_{1-\alpha }\right\}$	$\left\{v|v\geq -z_{1-\alpha }\right\}$

Prüfwert des Zweistichproben-Gauß-Tests

Aufgrund der konkreten Zufallsstichproben können die Schätzwerte ${\overline {x}}_{1}$ und ${\overline {x}}_{2}$ für die Stichprobenmittelwerte und gegebenenfalls die Schätzwerte $s_{1}$ und $s_{2}$ für die Standardabweichungen berechnet werden.

Einsetzen in die entsprechende Teststatistik führt zu einem Prüfwert $v$.

Entscheidungssituationen des Zweistichproben-Gauß-Tests

Testentscheidung und Interpretation erfolgen in analoger Weise wie unter "Entscheidungssituationen des Gauß-Tests" diskutiert.