Gauß-Test

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Testtheorie

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Grundbegriffe

Gauß-Test

Der Gauß-Test ist ein Test auf Mittelwert, wobei die Standardabweichung des Stichprobenmittelwertes als bekannt vorrausgesetzt wird.

Im Folgenden gelten alle Voraussetzungen wie unter "Test auf Mittelwert" diskutiert.

Teststatistik des Gauß-Tests

Bei bekanntem ist die Normalverteilung von vollständig spezifiziert, liegt jedoch für und nicht tabelliert vor.

Es wird deshalb standardisiert und

als Teststatistik verwendet.

Bei Gültigkeit der Nullhypothese ist (zumindest approximativ) standardnormalverteilt:

Für das vorgegebene Signifikanzniveau können die kritischen Werte aus der Tabelle der Standardnormalverteilung entnommen werden.

Entscheidungsbereiche des Gauß-Tests

Für die einzelnen Testmöglichkeiten erhält man die nachstehenden Entscheidungsbereiche bei Gültigkeit der Nullhypothese und vorgegebenem Signifikanzniveau .

Zweiseitiger Test

Die Wahrscheinlichkeit, eine Realisation der Teststatistik aus dem Ablehnungsbereich der zu erhalten, entspricht dem vorgegebenen Signifikanzniveau :

.

Für findet man den oberen kritischen Wert aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der .

Wegen der Symmetrie der Normalverteilung gilt .

Der Ablehnungsbereich der ist gegeben durch

.

Für den Nichtablehnungsbereich der erhält man:

.

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Teststatistik eine Realisation aus dem Nichtablehnungsbereich der annimmt, ist

Rechtsseitiger Test

Bei Gültigkeit der Nullhypothese ist und damit .

Zu große Abweichungen nach rechts von sprechen gegen , so dass der Ablehnungsbereich der im positiven Bereich von liegt.

Die Wahrscheinlichkeit, eine Realisation der Teststatistik aus dem Ablehnungsbereich der zu erhalten, entspricht dem vorgegebenen Signifikanzniveau :

.

Für findet man den kritischen Wert aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der .

Der Ablehnungsbereich der ist gegeben durch

.

Für den Nichtablehnungsbereich der erhält man:

.

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Teststatistik eine Realisation aus dem Nichtablehnungsbereich der annimmt, ist

Linksseitiger Test

Zu große Abweichungen nach links von sprechen gegen , so dass der Ablehnungsbereich der im negativen Bereich von liegt und der kritische Wert negativ ist .

Die Wahrscheinlichkeit, eine Realisation der Teststatistik aus dem Ablehnungsbereich der zu erhalten, entspricht dem vorgegebenen Signifikanzniveau :

Wegen der Symmetrie der Normalverteilung findet man für den Wert aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der , so dass der kritische Wert ist.

Der Ablehnungsbereich der ist gegeben durch

,

Für den Nichtablehnungsbereich der erhält man:

.

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Teststatistik eine Realisation aus dem Nichtablehnungsbereich der annimmt, ist

.

Prüfwert des Gauß-Tests

Wenn die Zufallsstichprobe vom Umfang gezogen wurde, liegen die konkreten Stichprobenwerte vor und der Schätzwert für den Stichprobenmittelwert kann berechnet werden:

Einsetzen in die Teststatistik führt zu einem Prüfwert:

Entscheidungssituationen des Gauß-Tests

Es konnte statistisch gezeigt werden, dass der wahre Erwartungswert in der Grundgesamtheit nicht gleich dem hypothetischen Wert ist.
Bei dieser Entscheidung besteht die Möglichkeit, einen Fehler 1. Art zu begehen, wenn in Wirklichkeit die Nullhypothese richtig ist.
Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art entspricht dem vorgegebenen Signifikanzniveau .
Das Stichprobenergebnis gibt keine Veranlassung, zu verwerfen:
Es konnte statistisch nicht gezeigt werden, dass der wahre Erwartungswert in der Grundgesamtheit vom hypothetischen Wert abweicht.
Bei dieser Entscheidung besteht die Möglichkeit, einen Fehler 2. Art zu begehen, wenn in Wirklichkeit die Alternativhypothese richtig ist.
Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art ist im Allgemeinen nicht bekannt und kann nur für konkrete Alternativwerte berechnet werden.

Zusatzinformationen

Länge der Entscheidungsbereiche

Sowohl für den zweiseitigen als auch für die einseitigen Tests auf hängt die Länge der Entscheidungsbereiche ab:

Je größer , desto größer ist unter sonst gleichen Bedingungen der Ablehnungsbereich der und um so kleiner ist der Nichtablehnungsbereich der , und umgekehrt.
Je größer , desto größer ist unter sonst gleichen Bedingungen der Ablehnungsbereich der und um so kleiner ist der Nichtablehnungsbereich der , und umgekehrt.
Je größer bzw. , desto größer ist unter sonst gleichen Bedingungen der Ablehnungsbereich der und um so kleiner ist der Nichtablehnungsbereich der , und umgekehrt.

Entscheidungsbereiche für die Schätzfunktion

Die kritischen Werte und damit der Ablehnungs- und Nichtablehnungsbereich der Nullhypothese können bei bekanntem auch für die Schätzfunktion angegeben werden, was durch einfache Umformungen erreicht wird. Dies wird für den zweiseitigen Test gezeigt.

Die Teststatistik ergab sich als standardisierte Version der Schätzfunktion :

und damit jede mögliche Realisation von gemäß

Beim zweiseitigen Test besteht der Nichtablehnungsbereich der aus allen Realisationen der Teststatistik , die größer oder gleich jedoch kleiner oder gleich sind:

Aus dieser Formulierung ist ersichtlich, dass die beiden kritischen Werte und mögliche Realisationen der Teststatistik sind.

Für sie gilt ebenfalls die für die Teststatistik vorgenommene Standardisierung:

Da der untere kritische Wert bezüglich ist, wurde mit der untere kritische Wert bezüglich gekennzeichnet. Entsprechendes gilt für den oberen kritischen Wert.

Durch Umformung erhält man:

Damit ergibt sich für den Nichtablehnungsbereich der

und für den Ablehnungsbereich der

Analoge Umrechnungen lassen sich für die einseitigen Tests vornehmen.