Gauß-Test

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Grundbegriffe

Gauß-Test

Der Gauß-Test ist ein Test auf Mittelwert, wobei die Standardabweichung $\sigma$ des Stichprobenmittelwertes ${\bar {X}}$ als bekannt vorrausgesetzt wird.

Im Folgenden gelten alle Voraussetzungen wie unter "Test auf Mittelwert" diskutiert.

Teststatistik des Gauß-Tests

Bei bekanntem $\sigma$ ist die Normalverteilung von ${\bar {X}}$ vollständig spezifiziert, liegt jedoch für $\mu _{0}$ und $\sigma ({\bar {X}})$ nicht tabelliert vor.

Es wird deshalb ${\bar {X}}$ standardisiert und

$V={\frac {{\bar {X}}-\mu _{0}}{\sigma }}\;{\sqrt {n}}$

als Teststatistik verwendet.

Bei Gültigkeit der Nullhypothese $H_{0}$ ist $V\;$ (zumindest approximativ) standardnormalverteilt:

$V{\mbox{ ist unter }}(H_{0})\;{\sim }\;N\left(0,1\right)$

Für das vorgegebene Signifikanzniveau $\alpha$ können die kritischen Werte aus der Tabelle der Standardnormalverteilung entnommen werden.

Entscheidungsbereiche des Gauß-Tests

Für die einzelnen Testmöglichkeiten erhält man die nachstehenden Entscheidungsbereiche bei Gültigkeit der Nullhypothese $H_{0}$ und vorgegebenem Signifikanzniveau $\alpha$.

Zweiseitiger Test

Die Wahrscheinlichkeit, eine Realisation der Teststatistik $V\;$ aus dem Ablehnungsbereich der $H_{0}$ zu erhalten, entspricht dem vorgegebenen Signifikanzniveau $\alpha$:

$P\left(V<c_{u}|\mu _{0}\right)+P\left(V>c_{o}|\mu _{0}\right)={\frac {\alpha }{2}}+{\frac {\alpha }{2}}=\alpha$.

Für $P(V\leq c_{u})=1-{\frac {\alpha }{2}}$ findet man den oberen kritischen Wert aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der $N(0;1):c_{o}=z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}$.

Wegen der Symmetrie der Normalverteilung gilt $c_{u}=-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}$.

Der Ablehnungsbereich der $H_{0}$ ist gegeben durch

$\left\{v|v<-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}{\mbox{ oder }}\;v>z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\right\}$.

Für den Nichtablehnungsbereich der $H_{0}$ erhält man:

$\left\{v|-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\leq v\leq z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\right\}$.

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Teststatistik $V\;$ eine Realisation aus dem Nichtablehnungsbereich der $H_{0}$ annimmt, ist

$P\left(c_{u}\leq V\leq c_{o}|\mu _{0}\right)=P\left(-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\leq V\leq z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}|\mu _{0}\right)=1-\alpha$

Rechtsseitiger Test

Bei Gültigkeit der Nullhypothese ist $E\left[{\bar {X}}\right]=\mu _{0}$ und damit $E\left[V\right]=0$.

Zu große Abweichungen nach rechts von $E\left[V\right]=0$ sprechen gegen $H_{0}$, so dass der Ablehnungsbereich der $H_{0}$ im positiven Bereich von $V\;$ liegt.

Die Wahrscheinlichkeit, eine Realisation der Teststatistik $V\;$ aus dem Ablehnungsbereich der $H_{0}$ zu erhalten, entspricht dem vorgegebenen Signifikanzniveau $\alpha$:

$P\left(V>c|\mu _{0}\right)=\alpha$.

Für $P\left(V\leq c\right)=1-\alpha$ findet man den kritischen Wert aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der $N(0;1):c=z_{1-\alpha }$.

Der Ablehnungsbereich der $H_{0}$ ist gegeben durch

$\left\{v|v>z_{1-\alpha }\right\}$.

Für den Nichtablehnungsbereich der $H_{0}$ erhält man:

$\left\{v|v\leq z_{1-\alpha }\right\}$.

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Teststatistik $V\;$ eine Realisation aus dem Nichtablehnungsbereich der $H_{0}$ annimmt, ist

$P\left(V\leq c|\mu _{0}\right)=P\left(V\leq z_{1-\alpha }|\mu _{0}\right)=1-\alpha$

Linksseitiger Test

Zu große Abweichungen nach links von $E\left[V\right]=0$ sprechen gegen $H_{0}$, so dass der Ablehnungsbereich der $H_{0}$ im negativen Bereich von $V\;$ liegt und der kritische Wert $c$ negativ ist $(-c)$.

Die Wahrscheinlichkeit, eine Realisation der Teststatistik $V\;$ aus dem Ablehnungsbereich der $H_{0}$ zu erhalten, entspricht dem vorgegebenen Signifikanzniveau $\alpha$:

Wegen der Symmetrie der Normalverteilung findet man für $P(V\leq c)=1-\alpha$ den Wert $c$ aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der $N(0;1):c=z_{1-\alpha }$, so dass der kritische Wert $-c=-z_{1-\alpha /2}$ ist.

Der Ablehnungsbereich der $H_{0}$ ist gegeben durch

$\left\{v|v<-z_{1-\alpha }\right\}$ ,

Für den Nichtablehnungsbereich der $H_{0}$ erhält man:

$\left\{v|v\geq -z_{1-\alpha }\right\}$.

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Teststatistik $V\;$ eine Realisation aus dem Nichtablehnungsbereich der $H_{0}$ annimmt, ist

$P\left(V\geq -c|\mu _{0}\right)=P\left(V\geq -z_{1-\alpha }|\mu _{0}\right)=1-\alpha$.

Prüfwert des Gauß-Tests

Wenn die Zufallsstichprobe vom Umfang $n$ gezogen wurde, liegen die konkreten Stichprobenwerte $x_{1},\ldots ,x_{n}$ vor und der Schätzwert ${\bar {X}}$ für den Stichprobenmittelwert kann berechnet werden:

${\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\;x_{i}$

Einsetzen in die Teststatistik führt zu einem Prüfwert:

$v={\frac {{\bar {x}}-\mu _{0}}{\sigma }}\cdot {\sqrt {n}}$

Entscheidungssituationen des Gauß-Tests

• Wenn $v$ in den Ablehnungsbereich der $H_{0}$ fällt, wird die Nullhypothese auf dem Signifikanzniveau $\alpha$ und basierend auf der Zufallsstichprobe vom Umfang $n$ abgelehnt $({\mbox{''}}H_{1}{\mbox{''}})$:

Es konnte statistisch gezeigt werden, dass der wahre Erwartungswert $E[X]=\mu$ in der Grundgesamtheit nicht gleich dem hypothetischen Wert $\mu _{0}$ ist.

Bei dieser Entscheidung besteht die Möglichkeit, einen Fehler 1. Art $({\mbox{''}}H_{1}{\mbox{''}}|H_{0})$ zu begehen, wenn in Wirklichkeit die Nullhypothese richtig ist.

Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art entspricht dem vorgegebenen Signifikanzniveau $\alpha$.

• Wenn $v$ in den Nichtablehnungsbereich der $H_{0}$ fällt, wird die Nullhypothese basierend auf der Zufallsstichprobe vom Umfang $n$ nicht abgelehnt $({\mbox{''}}H_{0}{\mbox{''}})$.

Das Stichprobenergebnis gibt keine Veranlassung, $H_{0}$ zu verwerfen:

Es konnte statistisch nicht gezeigt werden, dass der wahre Erwartungswert $E[X]=\mu$ in der Grundgesamtheit vom hypothetischen Wert $\mu _{0}$ abweicht.

Bei dieser Entscheidung besteht die Möglichkeit, einen Fehler 2. Art $({\mbox{''}}H_{0}{\mbox{''}}|H_{1})$ zu begehen, wenn in Wirklichkeit die Alternativhypothese richtig ist.

Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art ist im Allgemeinen nicht bekannt und kann nur für konkrete Alternativwerte $\mu _{1}$ berechnet werden.

Zusatzinformationen

Länge der Entscheidungsbereiche

Sowohl für den zweiseitigen als auch für die einseitigen Tests auf $\mu$ hängt die Länge der Entscheidungsbereiche ab:

• vom vorgegebenen Signifikanzniveau $\alpha$

Je größer $\alpha$, desto größer ist unter sonst gleichen Bedingungen der Ablehnungsbereich der $H_{0}$ und um so kleiner ist der Nichtablehnungsbereich der $H_{0}$, und umgekehrt.

• vom Stichprobenumfang $n$

Je größer $n$, desto größer ist unter sonst gleichen Bedingungen der Ablehnungsbereich der $H_{0}$ und um so kleiner ist der Nichtablehnungsbereich der $H_{0}$, und umgekehrt.

• von der Standardabweichung $\sigma$ der Grundgesamtheit bzw. der Standardabweichung $s$ in der Stichprobe

Je größer $\sigma$ bzw. $s$, desto größer ist unter sonst gleichen Bedingungen der Ablehnungsbereich der $H_{0}$ und um so kleiner ist der Nichtablehnungsbereich der $H_{0}$, und umgekehrt.

Entscheidungsbereiche für die Schätzfunktion

Die kritischen Werte und damit der Ablehnungs- und Nichtablehnungsbereich der Nullhypothese können bei bekanntem $\sigma$ auch für die Schätzfunktion ${\bar {X}}$ angegeben werden, was durch einfache Umformungen erreicht wird. Dies wird für den zweiseitigen Test gezeigt.

Die Teststatistik $V\;$ ergab sich als standardisierte Version der Schätzfunktion ${\bar {X}}$:

$V={\frac {{\overline {X}}-\mu _{0}}{\sigma }}\cdot {\sqrt {n}}$

und damit jede mögliche Realisation von $V\;$ gemäß

$v={\frac {{\overline {x}}-\mu _{0}}{\sigma }}\cdot {\sqrt {n}}$

Beim zweiseitigen Test besteht der Nichtablehnungsbereich der $H_{0}$ aus allen Realisationen $v$ der Teststatistik $V\;$, die größer oder gleich $-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}$ jedoch kleiner oder gleich $z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}$ sind:

$\left\{v|-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\leq v\leq z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\right\}$

Aus dieser Formulierung ist ersichtlich, dass die beiden kritischen Werte $-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}$ und $z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}$ mögliche Realisationen der Teststatistik $V\;$ sind.

Für sie gilt ebenfalls die für die Teststatistik vorgenommene Standardisierung:

$-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}={\frac {{\overline {X}}_{u}-\mu _{0}}{\sigma }}\cdot {\sqrt {n}},\quad z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}={\frac {{\overline {X}}_{o}-\mu _{0}}{\sigma }}\cdot {\sqrt {n}}$

Da $-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}$ der untere kritische Wert bezüglich $V\;$ ist, wurde mit ${\bar {X}}={\bar {X_{u}}}$ der untere kritische Wert bezüglich ${\bar {X}}$ gekennzeichnet. Entsprechendes gilt für den oberen kritischen Wert.

Durch Umformung erhält man:

${\bar {X}}_{u}=\mu _{0}-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}$

${\overline {X}}_{o}=\mu _{0}+z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}$

Damit ergibt sich für den Nichtablehnungsbereich der $H_{0}$

$\left\{{\overline {X}}|{\overline {X}}_{u}\leq {\overline {X}}\leq {\overline {X}}_{o}\right\}=\left\{{\overline {X}}|\mu _{0}-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\leq {\overline {X}}\leq \mu _{0}+z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\right\}$

und für den Ablehnungsbereich der $H_{0}$

$\left\{{\overline {X}}|{\overline {X}}<{\overline {X}}_{u}{\mbox{ oder }}{\overline {X}}>{\overline {X}}_{o}\right\}=\left\{{\overline {X}}|{\overline {X}}>\mu _{0}-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}{\mbox{ oder }}{\overline {X}}>\mu _{0}+z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\right\}$

Analoge Umrechnungen lassen sich für die einseitigen Tests vornehmen.