Zweistichproben-Gauß-Test

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Testtheorie

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Grundbegriffe

Zweistichproben-Gauß-Test

Der Zweistichproben-Gauß-Test ist ein Test auf Differenz zweier Mittelwerte, wobei die Standardabweichung \sigma als bekannt vorrausgesetzt wird.

Im Folgenden gelten alle Voraussetzungen wie unter "Test auf Differenz zweier Mittelwerte" diskutiert.

Teststatistik des Zweistichproben-Gauß-Tests

Bei bekannten Standardabweichungen und Gültigkeit der Nullhypothese ist die Normalverteilung von D vollständig spezifiziert, liegt jedoch für \omega_{0} und \sigma_{D} nicht tabelliert vor.

Es wird die standardisierte Version

V=\frac{D-\omega_{0}}{\sigma_{D}}=\frac{\left( \overline{X}_{1}-\overline{X}_{2}\right)-\omega_{0}}{\sqrt{\cfrac{\sigma_{1}^{2}}{n_{1}}+\cfrac{\sigma_{2}^{2}}{n_{2}}}}

als Teststatistik verwendet.

Bei Gültigkeit der Nullhypothese H_{0} ist V\; (zumindest approximativ) standardnormalverteilt. Für das vorgegebene Signifikanzniveau \alpha können die kritischen Werte aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung entnommen werden.

Entscheidungsbereiche des Zweistichproben-Gauß-Tests

Für die einzelnen Testvarianten erhält man die nachstehenden Entscheidungsbereiche bei Gültigkeit der Nullhypothese H_{0} und vorgegebenem Signifikanzniveau \alpha:

Testvariante Ablehnungsbereich der H_{0} Nichtablehnungsbereich der H_{0}
zweiseitig \left\{ v|v<-z_{1-\frac{\alpha}{2}}\mbox{ oder } v>z_{1-\frac{\alpha}{2}}\right\} \left\{v|-z_{1-\frac{\alpha}{2}}\leq v\leq z_{1-\frac{\alpha}{2}}\right\}
rechtsseitig \left\{v|v>z_{1-\alpha }\right\} \left\{v|v\leq z_{1-\alpha }\right\}
linksseitig \left\{v|v<-z_{1-\alpha }\right\} \left\{v|v\geq-z_{1-\alpha }\right\}

Prüfwert des Zweistichproben-Gauß-Tests

Aufgrund der konkreten Zufallsstichproben können die Schätzwerte \overline{x}_{1} und \overline{x}_{2} für die Stichprobenmittelwerte und gegebenenfalls die Schätzwerte s_{1} und s_{2} für die Standardabweichungen berechnet werden.

Einsetzen in die entsprechende Teststatistik führt zu einem Prüfwert v.

Entscheidungssituationen des Zweistichproben-Gauß-Tests

Testentscheidung und Interpretation erfolgen in analoger Weise wie unter "Entscheidungssituationen des Gauß-Tests" diskutiert.