Test auf Differenz zweier Mittelwerte

Aus MM*Stat

Wechseln zu: Navigation, Suche

Testtheorie

Grundbegriffe der Testtheorie • Entscheidungsbereiche • Entscheidungssituationen • Zweiseitiger Test • Einseitiger Test • Gütefunktion • Test auf Mittelwert • Gauß-Test • Gütefunktion des Gauß-Tests • Einstichproben-t-Test • Test auf Anteilswert • Test auf Differenz zweier Mittelwerte • Zweistichproben-Gauß-Test • Zweistichproben-t-Test • Chi-Quadrat-Anpassungstest • Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest • Multiple Choice • Video • Aufgaben • Lösungen
Ablehnungsbereich der Nullhypothese • alpha-Fehler • Alternativhypothese • Anpassungstest • beta-Fehler • Entscheidungsbereiche (Chi-Quadrat-Anpassungstest) • Entscheidungsbereiche (Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest) • Entscheidungsbereiche (Einstichproben-t-Test) • Entscheidungsbereiche (Gauß-Test) • Entscheidungsbereiche (Test auf Anteilswert) • Entscheidungsbereiche (Zweistichproben-Gauß-Test) • Entscheidungsbereiche (Zweistichproben-t-Test) • Entscheidungssituationen (Chi-Quadrat-Anpassungstest) • Entscheidungssituationen (Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest) • Entscheidungssituationen (Einstichproben-t-Test) • Entscheidungssituationen (Gauß-Test) • Entscheidungssituationen (Test auf Anteilswert) • Entscheidungssituationen (Zweistichproben-Gauß-Test) • Entscheidungssituationen (Zweistichproben-t-Test) • Fehler 1. Art • Fehler 2. Art • Goodness-of-fit-Test • Gütefunktion des Tests auf Anteilswert • Hypothese • Kritischer Wert • Linksseitiger Test • Macht eines Tests • Nichtablehnungsbereich der Nullhypothese • Nullhypothese • OC-Kurve • Operationscharakteristik • Parametertest • Prüfgröße • Prüfwert • Prüfwert (Chi-Quadrat-Anpassungstest) • Prüfwert (Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest) • Prüfwert (Einstichproben-t-Test) • Prüfwert (Gauß-Test) • Prüfwert (Test auf Anteilswert) • Prüfwert (Zweistichproben-Gauß-Test) • Prüfwert (Zweistichproben-t-Test) • Rechtsseitiger Test • Signifikanzniveau • Statistischer Test • Testgröße • Teststatistik • Teststatistik (Chi-Quadrat-Anpassungstest) • Teststatistik (Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest) • Teststatistik (Einstichproben-t-Test) • Teststatistik (Gauß-Test) • Teststatistik (Test auf Anteilswert) • Teststatistik (Zweistichproben-Gauß-Test) • Teststatistik (Zweistichproben-t-Test) • Verteilungstest • Zweistichprobentest

Grundbegriffe

Test auf Differenz zweier Mittelwerte oder Zweistichprobentest

Bei diesem Test handelt es sich ebenfalls um einen Parametertest, da eine Hypothese über einen unbekannten Parameter, die Differenz zweier Erwartungswerte , geprüft wird. Er beruht auf den Ergebnissen zweier Zufallsstichproben und wird deshalb als Zweistichprobentest bezeichnet.

Von den vielen Möglichkeiten, Tests für die Differenz zweier Mittelwerte zu konstruieren, wird nur diejenige behandelt, für die nachstehende Voraussetzungen gelten:

  • Gegeben sind zwei Grundgesamtheiten. In der ersten Grundgesamtheit weist die Zufallsvariable den Erwartungswert und die Varianz und in der zweiten Grundgesamtheit die Zufallsvariable den Erwartungswert und die Varianz auf. und sind unbekannt.
  • Entweder sind die Zufallsvariablen und in den Grundgesamtheiten normalverteilt, d.h. und oder die Stichprobenumfänge und sind genügend groß, dass der Zentrale Grenzwertsatz wirksam wird (approximativer Test auf )

Über die Differenz der beiden Erwartungswerte existiert eine Annahme mit dem hypothetischen Wert . Von besonderem Interesse bei der praktischen Anwendung dieses Tests ist oftmals die Gleichheit der beiden Erwartungswerte , womit ist.

Der Test wird auf dem Signifikanzniveau durchgeführt.

Je nach Problemstellung kann der Test als zwei- oder einseitiger Test formuliert werden.

Für die Wahl der Hypothesen gelten die Ausführungen zum "Test auf Mittelwert" in analoger Weise.

Es wurde bereits gezeigt (siehe Abschnitt "Konfidenzintervall für die Differenz zweier Erwartungswerte"), dass aufgrund der 4. Voraussetzung die Schätzfunktion

als Differenz der beiden Stichprobenmittelwerte

(zumindest approximativ) normalverteilt ist mit dem Erwartungswert . Wegen der Unabhängigkeit der Stichprobenvariablen (2. und 3. Voraussetzung) ist die Varianz von gegeben mit:

Es wird nun unterstellt, dass der wahre Erwartungswert ist, d.h. gilt.

Damit folgt:

Bei Gültigkeit der Nullhypothese ist (zumindest approximativ) normalverteilt mit dem Erwartungswert und der Varianz .

Wie beim Test auf Mittelwert muss für die Konstruktion der Teststatistik unterschieden werden, ob die Standardabweichung und der Zufallsvariablen und in den beiden Grundgesamtheiten und damit die Standardabweichung von bekannt sind oder nicht.

Hierzu werden zwei Testverfahren vorgestellt: