Gauß-Test

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Testtheorie

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Grundbegriffe

Gauß-Test

Der Gauß-Test ist ein Test auf Mittelwert, wobei die Standardabweichung \sigma des Stichprobenmittelwertes \bar{X} als bekannt vorrausgesetzt wird.

Im Folgenden gelten alle Voraussetzungen wie unter "Test auf Mittelwert" diskutiert.

Teststatistik des Gauß-Tests

Bei bekanntem \sigma ist die Normalverteilung von \bar{X} vollständig spezifiziert, liegt jedoch für \mu_{0} und \sigma(\bar{X}) nicht tabelliert vor.

Es wird deshalb \bar{X} standardisiert und

V=\frac{\bar{X}-\mu _{0}}{\sigma }\;\sqrt{n}

als Teststatistik verwendet.

Bei Gültigkeit der Nullhypothese H_{0} ist V\; (zumindest approximativ) standardnormalverteilt:

V \mbox{ ist unter } (H_{0}) \;{\sim}\; N \left( 0, 1\right)

Für das vorgegebene Signifikanzniveau \alpha können die kritischen Werte aus der Tabelle der Standardnormalverteilung entnommen werden.

Entscheidungsbereiche des Gauß-Tests

Für die einzelnen Testmöglichkeiten erhält man die nachstehenden Entscheidungsbereiche bei Gültigkeit der Nullhypothese H_{0} und vorgegebenem Signifikanzniveau \alpha.

Zweiseitiger Test

Die Wahrscheinlichkeit, eine Realisation der Teststatistik V\; aus dem Ablehnungsbereich der H_{0} zu erhalten, entspricht dem vorgegebenen Signifikanzniveau \alpha:

P\left(V<c_{u}|\mu _{0}\right) +P\left( V>c_{o}|\mu _{0}\right) =\frac{\alpha}{2}+\frac{\alpha}{2}=\alpha.

Für P( V\leq c_{u})= 1 - \frac{\alpha}{2} findet man den oberen kritischen Wert aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der N(0; 1): c_{o} = z_{1 - \frac{\alpha}{2}}.

Wegen der Symmetrie der Normalverteilung gilt c_{u} = -z_{1 - \frac{\alpha}{2}}.

Der Ablehnungsbereich der H_{0} ist gegeben durch

\left\{v|v<-z_{1-\frac{\alpha}{2}}\mbox{ oder }\;v>z_{1-\frac{\alpha}{2}}\right\}.

Für den Nichtablehnungsbereich der H_{0} erhält man:

\left\{v|-z_{1-\frac{\alpha}{2}}\leq v\leq z_{1-\frac{\alpha}{2}}\right\}.

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Teststatistik V\; eine Realisation aus dem Nichtablehnungsbereich der H_{0} annimmt, ist

P\left(c_{u}\leq V\leq c_{o}|\mu _{0}\right) =P\left(-z_{1-\frac{\alpha}{2}}\leq V\leq z_{1-\frac{\alpha}{2}}|\mu _{0}\right)=1-\alpha

Rechtsseitiger Test

Bei Gültigkeit der Nullhypothese ist E\left[\bar{X}\right] = \mu_{0} und damit E\left[V\right] = 0.

Zu große Abweichungen nach rechts von E\left[V\right] = 0 sprechen gegen H_{0}, so dass der Ablehnungsbereich der H_{0} im positiven Bereich von V\; liegt.

Die Wahrscheinlichkeit, eine Realisation der Teststatistik V\; aus dem Ablehnungsbereich der H_{0} zu erhalten, entspricht dem vorgegebenen Signifikanzniveau \alpha:

P\left(V>c|\mu _{0}\right) =\alpha.

Für P\left(V\leq c\right)=1-\alpha findet man den kritischen Wert aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der N(0; 1): c=z_{1-\alpha }.

Der Ablehnungsbereich der H_{0} ist gegeben durch

\left\{v|v>z_{1-\alpha}\right\}.

Für den Nichtablehnungsbereich der H_{0} erhält man:

\left\{v|v\leq z_{1-\alpha }\right\}.

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Teststatistik V\; eine Realisation aus dem Nichtablehnungsbereich der H_{0} annimmt, ist

P\left( V\leq c|\mu _{0}\right)=P\left(V\leq z_{1-\alpha}|\mu _{0}\right)=1-\alpha

Linksseitiger Test

Zu große Abweichungen nach links von E\left[V\right] = 0 sprechen gegen H_{0}, so dass der Ablehnungsbereich der H_{0} im negativen Bereich von V\; liegt und der kritische Wert c negativ ist (- c).

Die Wahrscheinlichkeit, eine Realisation der Teststatistik V\; aus dem Ablehnungsbereich der H_{0} zu erhalten, entspricht dem vorgegebenen Signifikanzniveau \alpha:

Wegen der Symmetrie der Normalverteilung findet man für P(V \leq c) = 1 - \alpha den Wert c aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der N(0; 1):c = z_{1-\alpha}, so dass der kritische Wert -c=-z_{1 - \alpha/2} ist.

Der Ablehnungsbereich der H_{0} ist gegeben durch

\left\{v|v<-z_{1-\alpha }\right\} ,

Für den Nichtablehnungsbereich der H_{0} erhält man:

\left\{ v|v\geq -z_{1-\alpha }\right\}.

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Teststatistik V\; eine Realisation aus dem Nichtablehnungsbereich der H_{0} annimmt, ist

P\left(V\geq -c|\mu _{0}\right) =P\left(V\geq-z_{1-\alpha}|\mu _{0}\right)=1-\alpha.

Prüfwert des Gauß-Tests

Wenn die Zufallsstichprobe vom Umfang n gezogen wurde, liegen die konkreten Stichprobenwerte x_{1},\ldots ,x_{n} vor und der Schätzwert \bar{X} für den Stichprobenmittelwert kann berechnet werden:

\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\; x_{i}

Einsetzen in die Teststatistik führt zu einem Prüfwert:

v=\frac{\bar{x}-\mu _{0}}{\sigma }\cdot\sqrt{n}

Entscheidungssituationen des Gauß-Tests

Es konnte statistisch gezeigt werden, dass der wahre Erwartungswert E[X] = \mu in der Grundgesamtheit nicht gleich dem hypothetischen Wert \mu _{0} ist.
Bei dieser Entscheidung besteht die Möglichkeit, einen Fehler 1. Art (\mbox{''}H_{1}\mbox{''}|H_{0}) zu begehen, wenn in Wirklichkeit die Nullhypothese richtig ist.
Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art entspricht dem vorgegebenen Signifikanzniveau \alpha.
Das Stichprobenergebnis gibt keine Veranlassung, H_{0} zu verwerfen:
Es konnte statistisch nicht gezeigt werden, dass der wahre Erwartungswert E[X] = \mu in der Grundgesamtheit vom hypothetischen Wert \mu_{0} abweicht.
Bei dieser Entscheidung besteht die Möglichkeit, einen Fehler 2. Art (\mbox{''}H_{0}\mbox{''}|H_{1}) zu begehen, wenn in Wirklichkeit die Alternativhypothese richtig ist.
Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art ist im Allgemeinen nicht bekannt und kann nur für konkrete Alternativwerte \mu_{1} berechnet werden.

Zusatzinformationen

Länge der Entscheidungsbereiche

Sowohl für den zweiseitigen als auch für die einseitigen Tests auf \mu hängt die Länge der Entscheidungsbereiche ab:

Je größer \alpha, desto größer ist unter sonst gleichen Bedingungen der Ablehnungsbereich der H_{0} und um so kleiner ist der Nichtablehnungsbereich der H_{0}, und umgekehrt.
Je größer n, desto größer ist unter sonst gleichen Bedingungen der Ablehnungsbereich der H_{0} und um so kleiner ist der Nichtablehnungsbereich der H_{0}, und umgekehrt.
Je größer \sigma bzw. s, desto größer ist unter sonst gleichen Bedingungen der Ablehnungsbereich der H_{0} und um so kleiner ist der Nichtablehnungsbereich der H_{0}, und umgekehrt.

Entscheidungsbereiche für die Schätzfunktion

Die kritischen Werte und damit der Ablehnungs- und Nichtablehnungsbereich der Nullhypothese können bei bekanntem \sigma auch für die Schätzfunktion \bar{X} angegeben werden, was durch einfache Umformungen erreicht wird. Dies wird für den zweiseitigen Test gezeigt.

Die Teststatistik V\; ergab sich als standardisierte Version der Schätzfunktion \bar{X}:

V=\frac{\overline{X}-\mu_{0}}{\sigma}\cdot\sqrt{n}

und damit jede mögliche Realisation von V\; gemäß

v=\frac{\overline{x}-\mu_{0}}{\sigma}\cdot\sqrt{n}

Beim zweiseitigen Test besteht der Nichtablehnungsbereich der H_{0} aus allen Realisationen v der Teststatistik V\;, die größer oder gleich -z_{1-\frac{\alpha}{2}} jedoch kleiner oder gleich z_{1-\frac{\alpha}{2}} sind:

\left\{v|-z_{1-\frac{\alpha}{2}}\leq v\leq z_{1-\frac{\alpha}{2}}\right\}

Aus dieser Formulierung ist ersichtlich, dass die beiden kritischen Werte -z_{1-\frac{\alpha}{2}} und z_{1-\frac{\alpha}{2}} mögliche Realisationen der Teststatistik V\; sind.

Für sie gilt ebenfalls die für die Teststatistik vorgenommene Standardisierung:

-z_{1-\frac{\alpha}{2}}=\frac{\overline{X}_{u}-\mu_{0}}{\sigma }\cdot\sqrt{n},\quad z_{1-\frac{\alpha}{2}}=\frac{\overline{X}_{o}-\mu_{0}}{\sigma}\cdot\sqrt{n}

Da -z_{1-\frac{\alpha}{2}} der untere kritische Wert bezüglich V\; ist, wurde mit \bar{X} =\bar{X_{u}} der untere kritische Wert bezüglich \bar{X} gekennzeichnet. Entsprechendes gilt für den oberen kritischen Wert.

Durch Umformung erhält man:

\bar{X}_{u}=\mu_{0}-z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

\overline{X}_{o}=\mu_{0}+z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot \frac{\sigma }{\sqrt{n}}

Damit ergibt sich für den Nichtablehnungsbereich der H_{0}

\left\{\overline{X}|\overline{X}_{u}\leq \overline{X}\leq \overline{X}_{o}\right\} =\left\{ \overline{X}|\mu_{0}-z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot \frac{\sigma }{\sqrt{n}}\leq \overline{X}\leq \mu_{0}+z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right\}

und für den Ablehnungsbereich der H_{0}

\left\{\overline{X}|\overline{X}<\overline{X}_{u}\mbox{ oder }\overline{X}>\overline{X}_{o}\right\}=\left\{\overline{X}|\overline{X}>\mu_{0}-z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\mbox{ oder }\overline{X}>\mu_{0}+z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot \frac{\sigma }{\sqrt{n}}\right\}

Analoge Umrechnungen lassen sich für die einseitigen Tests vornehmen.