Chi-Quadrat-Verteilung

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Verteilungsmodelle

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Grundbegriffe

Chi-Quadrat-Verteilung

Gegeben seien n voneinander unabhängige und identisch standardnormalverteilte Zufallsvariablen X_{1},\ldots ,X_{n} : X_{i}\sim N(0;1) für i=1,\ldots ,n.

Dabei bezeichnet n eine positive ganze Zahl.

Die Verteilung der Zufallsvariablen Y als Summe der quadrierten Zufallsvariablen X_{i}

Y=X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+\dots X_{n}^{2}

heißt Chi-Quadrat-Verteilung mit dem Parameter f, oder kurz \chi ^{2}(f)\,.

Dieser Parameter f bezeichnet die Anzahl der Freiheitsgrade. Der Wertebereich ist Y>0.

Für den Erwartungswert und die Varianz der chi-quadrat-verteilten Zufallsvariable Y gilt:

E[Y]=f\, und Var(Y)=2\cdot f\,.

Die Verteilungsfunktion der Chi-Quadrat-Verteilung liegt für ausgewählte Werte des Parameters f und ausgewählte Wahrscheinlichkeiten tabelliert vor.

Freiheitsgrad

Die Anzahl der Freiheitsgrade der Chi-Quadrat-Verteilung entspricht der Anzahl der unabhängigen Zufallsvariablen, die in die Summenbildung eingehen.

Sind die Zufallsvariablen X_{i}\quad(i=1,\ldots ,n) unabhängig voneinander, können sie ihre Werte völlig frei annehmen.

Die Quadrierung der Zufallsvariablen und die Summenbildung ändert nichts an dieser Tatsache.

In diesem Fall weist die Chi-Quadrat-verteilte Quadratsumme

Y=X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+\ldots +X_{n}^{2}

die Anzahl der Freiheitsgrade f = n auf.

Zusatzinformationen

Graphische Darstellung der Chi-Quadrat-Verteilung

Die Form der Dichtefunktion hängt von dem Parameter f ab. Für f = 1 und f = 2 fällt die Dichtefunktion der Chi-Quadrat-Verteilung monoton.

Für kleine Werte von f sind die Dichtefunktionen der Chi-Quadrat-Verteilung deutlich rechtsschief.

Für wachsende Werte von f strebt die Dichte der Chi-Quadrat-Verteilung gegen die Dichtefunktion der Normalverteilung.

Die folgende Abbildung zeigt die Dichtefunktionen der Chi-Quadrat-Verteilung für verschiedene Freiheitsgrade f.