Testtheorie/Lösungen

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1000g–Portionen

X\sim N(1000;25),\quad\overline{X}\sim N(1000;5),\quad n=25
\alpha=0,05=P(\overline{X}>1000+c\mbox{ oder }\overline{X}<1000-c)=1-P(1000-c\leq\overline{X}\leq1000+c)
U=(\overline{X}-1000)/5\sim N(0;1)
0,05=P(-c/5\leq U\leq c/5)=\Phi(c/5)-\Phi(-c/5)
d.h. c/5 ist das 1-\alpha/2=0,975 Quantil der N(0;1)\rightarrow c/5=z_{0,975}=1,96;\quad c=9,8

Anzahl der Kinder

H_0:P(\mbox{Junge})=P(\mbox{Mädchen})\quad H_1:P(\mbox{Junge})\neq P(\mbox{Mädchen})V=\sum_{i=1}^I\frac{(h_i-np_i)^2}{np_i}Unter H_0 gilt:

P(3\mbox{J},0\mbox{M})=0,125=1/8
P(2\mbox{J},1\mbox{M})=0,125\cdot3=3/8
P(1\mbox{J},2\mbox{M})=0,125\cdot3=3/8
P(0\mbox{J},3\mbox{M})=0,125=1/8
h_j – beobachtete absolute Häufigkeitnp_i – unter H_0 erwartete absolute Häufigkeit
np_i>1 für alle i und np_i\geq5 für mindestens 80% der erwarteten Häufigkeiten erfüllt.


h_j np_i h_j-np_i (h_j-np_i)^2 \chi^2=(h_j-np_i)^2/np_i
16 25 -9 81 3,24
60 75 -15 225 3,00
92 75 17 289 3,853333
32 25 7 49 1,96

v=12,053333\quad f=I-1-k=4-1=3;\quad k=0 (kein Parameter war zu schätzen)
aus Tabelle der Chi–Quadrat–Verteilung für f=3:
1-\alpha:0,99\quad\chi^2=11,35\quad1-\alpha:0,995\quad\chi^2=12,84
signifikant zum 1%–Niveau

Arbeitsproduktivität

X: “Arbeitsproduktivität”,Verteilung unbekannt,\sigma=0,8 Stück/Stunde
\overline{X}: “Durchschnittliche Arbeitsproduktivität bei einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang n=64\overline{X} ist approximativ N(\mu;\sigma/\sqrt{n}) (Begründung: Zentraler Grenzwertsatz, n=64>30);
\sigma/\sqrt{n}=0,8/8=0,1;\quad \mu_0=5,5;\quad\alpha=0,05\quad z_{0,975}=1,96;\quad H_0:\mu=5,5;\quad H_1:\mu\neq5,5;\quad\mu_1=5,1 Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} \beta(\mu)&=&1-G(\mu)\\ G(\mu)&=&1-\left[P\left(V\leq c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma\sqrt{n}}\right)-P\left(V<-c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma\sqrt{n}}\right)\right]\\ \beta(\mu)&=&P\left(V\leq c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma\sqrt{n}}\right)-P\left(V<-c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma\sqrt{n}}\right)\\ \beta(\mu_1=5,6)&=&P(V\leq1,96-(5,6-5,5)/0,1)\\ &-&P(V<-1,96-(5,6-5,5)/0,1)\\ &=&P(V\leq0,96)-P(V\leq-2,96)\\ &=&P(V\leq0,96)-[1-P(V\leq2,96)]\\ &=&0,831472-[1-0,998462]\\ &=&0,831472-0,001538=0,829934\\ \beta(\mu_1=5,6)&=&0,8299\end{aligned}

Ausfallsicherheit

X=\mbox{Ausfallzeit eines Servers in Stunden}\sim N(\mu,\sigma)
Betriebszeit eines Servers: 365\mbox{ Tage}\cdot24\mbox{ Stunden}=8760\mbox{ Stunden}
maximale mittlere Ausfallzeit lt. Hersteller: 1% von 8760=87,6 Stunden
Der Hersteller will seine Behauptung statistisch untermauern, wobei er das Risiko einer Fehlentscheidung möglichst klein halten will. Da nur Abweichungen von \mu_0 nach einer Seite von Bedeutung sind, wird ein einseitiger Test durchgeführt. Die Behauptung des Herstellers wird als Alternativhypothese formuliert, womit ein linksseitiger Test resultiert
H_0:\mu\geq\mu_0=87,6 StundenH_1:\mu<\mu_0=87,6 Stunden
Die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art P(H_1|H_0) ist das Signifikanzniveau \alpha, mit dessen Vorgabe das Risiko eines derartigen Fehlers gering gehalten werden kann. Damit wird die Zielstellung des Herstellers bei der Durchführung des Tests eingehalten. Da \sigma der Grundgesamtheit unbekannt ist, folgt die Teststatistik unter H_0 einer t–Verteilung mit f=n-1=24 Freiheitsgraden. Kritischer Wert: t_{0,95;24}=-1,711v=\frac{\overline{x}-\mu_0}{s}\sqrt{n}=\frac{84,2-87,6}{10}\sqrt{25}=-1,70Da v>t_{0,95;24} ist und damit in den Nichtablehnungsbereich von H_0 fällt, besteht keine Veranlassung H_0 abzulehnen.

Ausgaben für Urlaubsreisen

Auswahlsatz n/N=10000/2500000=0,04<0,05\rightarrow Endlichkeitskorrektur kann vernachlässigt werden;\sigma der Grundgesamtheit unbekannt;N=2500000;
hypothetischer Wert der Gesamtausgaben: 10000000000\rightarrow\mu_0=10000000000/2500000=4000n=10000;\quad\overline{x}=3780;\quad s=2290
Teststatistik:V=\frac{\overline{X}-\mu_0}{S}\sqrt{n}Wert der Teststatistik für die Stichprobe:v=\frac{3780-4000}{2290}\sqrt{10000}=-9,606987\approx-9,61

Batterien Lebensdauer

  • \chi^2–Anpassungstest
  • H_0: Die Stichprobenverteilung der Lebensdauer der Batterien ist normalverteilt

H_1: Die Stichprobenverteilung der Lebensdauer der Batterien ist nicht normalverteilt

  • X: Lebensdauer einer BatterieV=\sum_{i=1}^I\frac{(h_i-np_i)^2}{np_i} ist unter H_0 \chi^2–verteilt mit f=I-1-k Freiheitsgraden, wenn für alle i np_i\geq5 gilt (I – Anzahl der Klassen, k – Anzahl der zu schätzenden Parameter)
 i Klassen  h_i  \overline{x}_i  h_i\overline{x}_i  p_i  np_i
1 -300 10 160 1600 0.16 16
2 300-340 10 320 3200 0.12 12
3 340-460 60 400 24000 0.45 45
4 460- 20 560 11200 0.27 27
100 40000
 i Klassen  h_i - np_i  (h_i - np_i)^2  \frac{(h_i - np_i)^2}{np_i}
1 -300 -6 36 2.25
2 300-340 -2 4 0.33
3 340-460 15 225 5.00
4 460 -7 49 1.82
 v=9.40

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} \bar{x}&=\displaystyle\frac{1}{n}\sum_ix_ih_j=\frac{1}{100}\cdot40000=400\\ s&=100\\ p_1 & = P(V\leq300)=P\left(Z\leq\displaystyle\frac{300-400}{100}\right)\\ & = P(Z\leq-1)=1-P(Z\leq1)=1-0,841345\approx0,16\\ p_2 & = P(300\leq V\leq340)=P\left(\displaystyle\frac{300-400}{100}\leq Z\leq\displaystyle\frac{340-400}{100}\right)=\\ & = P(-1\leq Z\leq-0,6)= P(Z\leq1)-P(Z\leq0,6)\\ & = 0,841345-0,725747\approx0,12\\ p_3 & =P(340\leq V\leq460)=P\left(\displaystyle\frac{340-400}{100}\leq Z\leq\displaystyle\frac{460-400}{100}\right)\\ & =P(-0,6\leq Z\leq0,6)=2\cdot P(Z\leq0,6)-1\\ &=2\cdot0,725747-1\approx0,45\\ p_4 & = P(V\geq460)=P\left(Z\geq\displaystyle\frac{460-400}{100}\right)\\ & =1-P(Z\leq0,6)=1-0,725747\approx0,27\end{aligned}

Approximationsbedingung erfüllt; f=4-1-2=1; \alpha=0,01
Nicht–Ablehnungsbereich: \{v|v\leq6,63\}
Ablehnungsbereich: \{v|v>6,63\}

  • v=9,4\in\mbox{Ablehnungsbereich} \rightarrow " H_1 "

Auf einem Signifikanzniveau von 1% und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang n=100 konnte statistisch bewiesen werden, dass es sich bei der Stichprobenverteilung der Lebensdauer der Batterien nicht um eine Normalverteilung handelt.

  • Weiß man nicht; wir hoffen nicht!

Benzinverbrauch Test

\mu_0=6;\;H_0:\mu=6;\;H_1:\mu\neq6,\;zweiseitiger Test, da Abweichungen von der Behauptung, also nach beiden Seiten; X\sim N(\mu_0=6;\sigma^2),\;\sigma^2 unbekannt;
\overline{x}=\sum_ix_i/n=97,6/16=6,1
s^2=\sum_i(x_i-\overline{x})^2/(n-1)=0,6615/15=0,0441;\;s=0,21
\displaystyle v=\frac{\overline{x}-\mu_0}{s}\sqrt{n}=\frac{6,1-6}{0,21}\cdot4=1,90476\approx1,905
t_{1-\alpha/2;n-1}=t_{0,975;15}=2,132

Chininhaltige Limonade

  • H_{0}: \pi \geq \pi_{0} = 0,1 , H_{1}: \pi < \pi_{0} = 0,1

''H_{1}''|H_{0} = “Es wird importiert” | Kunden werden krank

  • X: “Anzahl der Flaschen, die den Vorschriften nicht entsprechen, bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang n = 30
  • X ist unter H_{0} B(30; 0,1)–verteilt
  • Ablehnungsbereich: \{x < 1\}, Nicht–Ablehnungsbereich: \{x \geq 1\}
  • x = 1 \not\in Ablehnungsbereich \Rightarrow ''H_{0}''
  • Auf einem Signifikanzniveau von \alpha_{ex.} = 0,0424 und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang n = 30 konnte statistisch nicht bewiesen werden, dass der Anteil der Flaschen, die den Vorschriften nicht entsprechen, kleiner als 10% ist, d.h. der Großhändler sucht sich einen neuen Importeur.
  • G(\pi = 0) = 1; G(\pi = 0,1) = 0,0424; G(\pi
  = 0,2) = 0,0012

Dicke der Fahrbahndecke

H_0:\mu\geq\mu_0=3,5 \quad H_1:\mu<\mu_0=3,5
Der Bauunternehmer muss nachweisen, dass die Fahrbahndecke zu dünn ist, da er nur dann Abzüge hinnehmen muss.
Risikobetrachtung:
H_1|H_0=\mbox{Fahrbahndecke zu dünn, muss Abzüge hinnehmen }|Fahrbahndecke o.k., müsste keine Abzüge hinnehmen
Dies ist für den Bauunternehmer das größere Risiko, das gleich dem Fehler 1. Art ist, für den die Wahrscheinlichkeit mit \alpha vorgegeben ist.

Durchmesser von Wellen

  • Ablehnungsbereich: \{v|v < -1,96 \mbox{ oder } v > 1,96\}
  • v = 0,8 \in Nicht–Ablehnungsbereich \Rightarrow ''H_{0}''
  • Fehler 2. Art
  • v = 4 \in Ablehnungsbereich \Rightarrow ''H_{1}''
  • Fehler 1. Art

Durchschnittsgewicht

X_{i}: “Gewicht des i-ten Hähnchens”; i = 1,...,25; X_{i} \sim N(\mu;\sigma)

  • H_{0}: \mu \geq \mu_{0} = 1400, H_{1}: \mu < \mu_{0} = 1400

''H_{1}''|H_{0} = “Angebot zurückweisen” | gutes Geschäft vermasselt

  • \overline{X}: “Durchschnittliches Gewicht eines Hähnchens bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang n = 25
  • \overline{X} ist unter H_{0} N(1400; \sigma/\sqrt{n})–verteilt
  • V=(\overline{X}-\mu_{0})/(S/\sqrt{n}) ist unter H_{0} t–verteilt mit f=24 Freiheitsgraden
  • Ablehnungsbereich: \{v|v < - 1,711\}, Nicht–Ablehnungsbereich: \{v|v \geq - 1,711\}
  • v = - 0,9 \not\in Ablehnungsbereich \Rightarrow ''H_{0}''
  • Fehler 2. Art
  • v = - 1,9 \in Ablehnungsbereich \Rightarrow ''H_{1}''
  • Fehler 1. Art

Fachgebiete

Anwendung des Chi-Quadrat-Anpassungstests zur Prüfung der Hypothese, ob die von Bärbel beobachtete Verteilung (h_{Stat}=5, h_{VWL}=35, h_{BWL}=50, h_{WI}=10) mit der theoretisch erwarteten Verteilung (Gerdas Behauptung: nf_{Stat}=10, nf_{VWL}=30, nf_{BWL}=40, nf_{WI}=20) übereinstimmt. Beide Approximationsbedingungen sind erfüllt.
Prüfwert: Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} v&=&\sum_i[(h_i-np_i)^2/np_i]\\ &=&(5-10)^2/10+(35-30)^2/30+(50-40)^2/40+(10-20)^2/20\\ &=&25/10+25/30+100/40+100/20=(300+100+300+600)/120\\ &=&1300/120=10,83\approx10,8\end{aligned}

FKK

Anwendung des \chi^2–Unabhängigkeitstests, weil die Beziehung zwischen zwei nominalskalierten Zufallsvariablen zu prüfen ist.
X: Neigung zu FKK; Y: Region
H_0: X und Y sind unabhängig; H_1: X und Y sind nicht unabhängig
\alpha=0,01


XY alt neu h_i.
für 20 (26,7) 20 (13,3) 40
gegen 80 (73,3) 30 (36,7) 110
h_{.j} 100 50 150

(in Klammern die erwarteten \tilde{h}_{ij})
V=\displaystyle\sum^{I=2}_{i=1}\sum_{j=1}^{J=2}\displaystyle\frac{(h_{ij}-\tilde{h}_{ij})^2}{\tilde{h}_{ij}} ist unter H_0 approximativ \chi^2–verteilt mit f=(I-1)(J-1)=1 Freiheitsgrad.
c=\chi^2_{0,99;1}=6,63
Ablehnungsbereich der H_0:{v|v>6,63}
v=1,7+3,4+0,6+1,2=6,9
v=6,9\in Ablehnungsbereich \rightarrow H_1
Auf einem Signifikanzniveau von 1% und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang n=150 konnte statistisch bewiesen werden, dass die Neigung zu FKK von der Region der Befragten abhängig ist.

Gewinnspiel–Automat

U_i=\mbox{Ertrag pro Spiel}, i=1,\ldots,n=50, n>30
\overline{U}=(\sum_{i=1}^nU_i)/n=-0,58, S^2=\sum(U_i-\overline{U})^2/(n-1)=0,82
E(U_i)=\mu, Var(U_i)=\sigma^2
H_0:\mu\geq0; \quad H_1:\mu<0
asymptotisch 
V=\frac{\overline{U}-\mu}{\sqrt{\sigma^2}}\sqrt{n}\approx\frac{\overline{U}-\mu}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\sim N(0,1)

daher für

\mu_0=0

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} 0,05 &= P(V\leq c|H_0) \\ &= P\Big( \frac{\overline{U} - \mu_0}{\sqrt{S^2}} \sqrt{n} \leq \frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}} \sqrt{n} \Big) \\ &= \Phi\Big( \frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2} \sqrt{n}} \Big) \\ \\ 0,95 &= 1-\Phi\Big( \frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2} \sqrt{n}} \Big) \\ &= \Phi\Big( -\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2} \sqrt{n}} \Big) \\ \\ 1,64 &= -\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2} \sqrt{n}} = - \frac{c-0}{\sqrt{0.82}} \sqrt{50} \end{aligned}


\rightarrow c=-1,64\cdot\sqrt{0,82}/\sqrt{50}=-0,21

Grönländische Bohrlochkerne

Gegeben: \mu_0=-25C;n=100;\quad\alpha=0,025;\quad\overline{x}=-24C;s=1,5C (diese Stichprobenergebnisse werden nicht benötigt);\mu=-24,8C
Da die Forscher nachweisen wollen, dass eine Erwärmung des Eises stattgefunden hat wird ein rechtsseitiger Test durchgeführt:
H_0:\mu\leq\mu_0\;(=-25C) gegen H_1:\mu>\mu_0\;(=-25C). Daher z_{0,975}=1,96.
Es ist der Wert der Gütefunktion G(\mu=-24,8C) zu berechnen, denn

  • die Gütefunktion G(\mu) gibt die Wahrscheinlichkeit der Ablehnung von H_0 in Abhängigkeit vom Parameter \mu an: G(\mu)=P(V\in\mbox{Ablehnungsbereich der }H_0|\mu);
  • für alle zulässigen Werte von \mu>\mu_0 gilt in Wirklichkeit die Alternativhypothese und mit der Ablehnung der Nullhypothese wird eine richtige Entscheidung getroffen; das ist hier wegen \mu(=-24,8C)>\mu_0(=-25C) gegeben;
  • es ist P(V\in \mbox{Ablehnungsbereich der }H_0|\mu>\mu_0)=P(H_1|H_1)=1-\beta.

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} G(\mu=-24,8)&=&1-P\left(V\leq z_{1-\alpha}-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\right)\\ &=&1-P\left(V\leq1,96-\frac{-24,8-(-25)}{2}\sqrt{100}\right)\\ &=&1-P(V\leq0,96)=1-0,831482=0,168518\approx0,17\end{aligned}

Kaffee Packungen 2

Grundgesamtheit: X=\mbox{Füllgewicht}, Verteilung von X unbekannt, \sigma=15, Grundgesamtheit kann als sehr groß angesehen werden, mittleres Füllgewicht \mu unbekannt
hypothetischer Wert: \mu_0=500
einfache Zufallsstichprobe: n=100, Stichprobenvariablen sind i.i.d.
linksseitiger Test auf \mu:H_0:\mu\geq\mu_0 und H_1:\mu<\mu_0
Teststatistik V:V=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\sigma}\sqrt{n}\alpha=0,05;\quad z_{1-\alpha}=z_{0,95}=1,64 aus Tabelle der Verteilungsfunktion N(0;1), da aufgrund des großen Stichprobenumfangs und des ZGS die Verteilung von X approximativ normalverteilt ist; kritischer Wert: -z_{1-\alpha}=-z_{0,95}=-1,64 (wegen Symmetrie der Normalverteilung)


Ablehnungsbereich der H_0: \{v|v<-z_{1-\alpha}\}=\{v|v<-1,64\}
Nichtablehnungsbereich der H_0: \{v|v\geq-z_{1-\alpha}\}=\{v|v\geq-1,64\}


Fehler 2. Art: fälschliche Beibehaltung der H_0, d.h. “H_0|H_1; P(H_0”|H_1)=\beta
Inhalt der Gütefunktion:

G(\mu)=\left\{
    \begin{array}{lc}
        P(\text{“} H_1 \text{”}|H_0) \leq \alpha & \text{ für alle } \mu \geq \mu_0 \\
        P(\text{“} H_1 \text{”}|H_1) = 1-\beta &   \text{ für alle } \mu < \mu_0.\\
    \end{array}
\right.

Es ist (wahr) \mu=497<\mu_0=500; es gilt in Wirklichkeit die Alternativhypothese und mit der Ablehnung von H_0 wird eine richtige Entscheidung getroffen. Es ist P(V\in\mbox{Ablehnungsbereich der }H_0|\mu<\mu_0)=P(H_1|H_1)=1-\beta
Berechnung der Gütefunktion: Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} G(\mu)&=&P\left(V\leq-z_{1-\alpha}-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\right)=P\left(V\leq-1,64-\frac{497-500}{15/\sqrt{100}}\right)\\ &=&P\left(V\leq-1,64-\frac{-3}{1,5}\right)=P(V\leq-1,64+2)=P(V\leq0,36)\\ &=& 1-\beta=0,64058\end{aligned} \rightarrow \beta=0,35942\approx0,36

Kaffee Packungen

  • H_0:\mu\leq\mu_0=500 gH_1:\mu>\mu_0=500 g
    H_1|H_0= Abfüllmenge o.k.|ärger mit dem Kunden
    P(\text{“} H_1 \text{”}|H_0)=\alpha=0,02275\rightarrow klein halten

  • \overline{X}: Durchschnittliche Füllmenge einer Kaffeepackung in einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang n=25
    \overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i
    X_i: Füllmenge der i–ten Kaffeepackung; i=1,\ldots,25
    X_i\sim N(\mu;10) für alle i, unabhängig
    \overline{X} ist unter H_0 N(\mu_0;\sigma/\sqrt{n})=N(500;2)–verteilt.

  • V=\displaystyle\frac{\overline{X}-\mu_0}{\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}=\frac{\overline{X}-500}{2} ist unter H_0 N(0;1)–verteilt.

  • c für 1-\alpha=0,97725 aus Tabelle der N(0;1)\rightarrow c=2

    Ablehnungsbereich: \{v|v>2\}
    Nicht–Ablehnungsbereich: \{v|v\leq2\}
  • v=(504,5-500)/2=2,25\in Ablehnungsbereiches \rightarrow \text{“} H_1 \text{”}

  • Auf einem Signifikanzniveau von \alpha=0,02275 und basierend auf einem Stichprobenumfang von n=25 konnte statistisch bewiesen werden, dass die wahre durchschnittliche Füllmenge einer Packung bei der neuen Kaffeebohnensorte der Norm entspricht.

  • Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} \beta & = 1-G(\mu=501)=1-P(\overline{X}>\overline{x}_c|\mu=501)\\ & = P(\overline{X}\leq\overline{x}_c|\mu=501)\\ & = P\Big( V\leq c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \Big)\\ & = P\Big( V\leq2-\frac{501-500}{2} \Big)\\ & = P(V\leq1,5)=0,933193\end{aligned}

    Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art ist 93,32%, wenn in Wahrheit die mittlere Abfüllmenge \mu=501 g beträgt.

  • Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} G(\mu=499) & = 1-P \Big( V\leq c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \Big)=1-P\Big( V \leq 2-\frac{499-500}{2} \Big)\\ & = 1-P(V\leq2,5)=1-0,99379=0,00621\\ & = P(\text{“} H_1 \text{”}|H_0)=\alpha(\mu=499)\end{aligned}

    Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art (unberechtigte Annahme der H_1) beträgt \alpha=0,00621, wenn das wahre \mu=499 ist. Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} G(\mu=502) & = 1-P\Big(V\leq2-\frac{502-500}{2}\Big)=1-P(V\leq1)\\ & = 1-0,841345=0,158655\\ & = P(\text{“} H_1 \text{”}|H_1)=1-\beta(\mu=502) \end{aligned} Die Wahrscheinlichkeit für die berechtigte Annahme der H_1, wenn das wahre \mu=502 ist, beträgt 15,8655%.

Lagerhaltungsprobleme

X=\mbox{Anzahl der nachgefragten Produkte pro Tag}
Chi-Quadrat-Anpassungstest bei Wahl der hypothetischen Verteilung F_0(x)= Poisson-Verteilung. Der Parameter \lambda=E(X) ist unbekannt und muss aus der Stichprobe geschätzt werden: \hat{\lambda}=200/100=2,0. Aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der Poisson–Verteilung PO(2,0) lassen sich die unter H_0 gültigen Wahrscheinlichkeiten p_i=P(X=x_i) ermitteln. (5. Spalte der folgenden Tabelle). Für alle Klassen ist die Voraussetzung n\cdot p_i\geq5 erfüllt. Die Anzahl der Freiheitsgrade des Chi–Quadrat–Anpassungstests beträgt f=I-1-k mit I der Anzahl der Klassen und k der Anzahl der aus der Stichprobe zu schätzenden Parameter. Damit resultiert: f=6-1-1=4.


i x_i h_i x_ih_i p_i np_i
1 0 17 0 0,1353 13,53
2 1 20 20 0,2707 27,07
3 2 27 54 0,2707 27,07
4 3 18 54 0,1804 18,04
5 4 18 72 0,0902 9,02
6 5 und mehr 0 0 0,0527 5,27
\sum 100 200 1,0000 100

Aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der Chi–Quadrat–Verteilung findet man:
\chi^2_{0,95;4}=9,49

Mietpreisbindung

  • \chi^{2}–Anpassungstest

  • X: “Mietpreissteigerung [in %]”
    H_{0}: Stichprobenverteilung folgt einer Gleichverteilung in [a,b]
    H_{1}: Stichprobenverteilung folgt nicht einer Gleichverteilung in [a,b]
    b = 5 [%]; (a+b)/2 = 2,5 [%] \Rightarrow a = 0 [%]

  • V= \sum _{i=1} ^I \frac{(h _{i}-n \cdot p _{i})
  ^{2}}{n \cdot p _{i}}

  • V ist unter H_{0} approximativ (np_{i} \geq 5 für alle i) \chi^2–verteilt mit f = 4 Freiheitsgraden

  • Ablehnungsbereich: \{v|v > 14,86\}, Nicht–Ablehnungsbereich: \{v|v \leq 14,86\}

  • i x_i h_i p_i h_i-np_i (h_i-np_i)^2 (h_i-np_i)^2/(np_i)
    1 0-1 0 0,2 20 -20 400 20
    2 1-2 0 0,2 20 -20 400 20
    3 2-3 10 0,2 20 -10 100 5
    4 3-4 10 0,2 20 -10 100 5
    5 4-5 40 0,2 20 20 60 3600 180
    6 5- 40 0 0

    v = 230 \in Ablehnungsbereich \Rightarrow ''H_{1}''

  • Auf einem Signifikanzniveau von 0,5% und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang n = 100 konnte statistisch bewiesen werden, dass die Stichprobenverteilung keiner Gleichverteilung im Bereich [0;5] folgt.

Münzen

H_{0}: Stichprobenverteilung stimmt mit der vermuteten Verteilung überein

H_{1}: Stichprobenverteilung stimmt nicht mit der vermuteten Verteilung überein

8 mögliche Ereignisse: ZZZ; KZZ; ZKZ; ZZK; KKZ; KZK; ZKK; KKK


i x_i h_i p_i np_i h_i-np_i (h_i-np_i)^2 (h_i-np_i)^2/(np_i)
1 0 24 1/8 30 -6 36 1,2
2 1 108 3/8 90 18 324 3,6
3 2 85 3/8 90 -5 25 0,277
4 3 23 1/8 30 -7 49 1,633

Ablehnungsbereich: \{v|v > 7,81\}, Nicht–Ablehnungsbereich: \{v|v \leq 7,81\}
v = 6,71 \not\in Ablehnungsbereich \Rightarrow ''H_{0}''

Neues Präparat

  • H_0:\pi\leq\pi_0 (=0,35)H_1:\pi>\pi_0 (=0,35)

H_1|H_0=Einführung des Präparates|Hersteller lügt; Krankenkassen zahlen, obwohl Heilungsquote minimal

  • V=X: Anzahl der Patienten, bei denen Heilerfolg eintritt, bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang n=19

V=\sum_{i=1}^nX_i
X_i=\mbox{Heilerfolg beim i-ten Patienten}

  • V ist unter H_0 B.V.(n;\pi_0)\sim B.V.(19;0,35)
  • Nicht-Ablehnungsbereich: \{v|v\leq12\}; Ablehnungsbereich: \{v|v>12\}

\alpha_{exakt}=0,0031

  • *# P(\text{“} H_0 \text{”}|\pi_0=0,5\in H_1)=\beta_{(\pi_0=0,5)}=0,9165

Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art (unberechtigte Annahme von H_0) beträgt 91,65%, wenn die wahre Heilungsquote 50% beträgt.

    1. 2. P(\text{“} H_1 \text{”}|\pi_0=0,4\in H_1)=1-\beta_{(\pi_0=0,4)}=1-0,9884=0,0116

Die Wahrscheinlichkeit für eine berechtigte Annahme der H_1 beträgt 1,16%, wenn die wahre Heilungsquote 40% beträgt.

Paketversandfirma

V=\displaystyle\frac{\hat{\pi}-\pi_0}{\sqrt{\displaystyle\frac{\pi_0(1-\pi_0)}{n}}}V ist unter H_0 approximativ [n\pi_0>9;n(1-\pi_0)>9;n>30] N(0;1)
\alpha=0,0359; 1-\alpha=0,9641; c=1,8
Ablehnungsbereich der H_0:\{v|v>1,8\}
n=900; p=828/900=0,92; v=(0,92-0,9)/0,01=2
v=2\in Ablehnungsbereich \rightarrow \text{“} H_1 \text{”}
Auf einem Signifikanzniveau von \alpha=0,0359 und basierend auf einer Stichprobe vom Umfang n=900 konnte statistisch gezeigt werden, dass mehr als 90% der Pakete den Empfänger innerhalb einer Woche erreichen. Das Unternehmen beauftragt die Versandfirma mit dem Versand ihrer Pakete.

Phosphatgehalt der Waschmittel (Gütefunktion)

Der Verlauf der Gütefunktion ist nicht abhängig vom Stichprobenergebnis, aber abhängig vom Stichprobenumfang.

Phosphatgehalt der Waschmittel

X_{i}: “Phosphatgehalt des i-ten Paketes”; i = 1,...,36

X_{i} ist beliebig verteilt mit E(X) = \mu; Var(X_{i}) = 36g^{2}

  • H_{0}: \mu \leq \mu_{0} = 18, H_{1}: \mu > \mu_{0} = 18

''H_{1}''|H_{0} = “Phosphatgehalt zu hoch” | Phosphatgehalt stimmt; dies ist aus Sicht des Fabrikanten die schlimmere Fehlentscheidung.

  • \overline{X}: “Durchschnittlicher Phosphatgehalt eines Paketes bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang n = 36

\overline{X} ist unter H_{0} approximativ N(\mu_{0};\sigma/\sqrt{n})
= N(18;1)–verteilt wegen Zentralem Grenzwertsatz, n > 30

  • V = (\overline{X} - \mu_{0})/(\sigma/\sqrt{n}) ist unter H_{0} approximativ N(0;1)–verteilt
  • Ablehnungsbereich: \{v|v > 3,09\}, Nicht–Ablehnungsbereich: \{v|v \leq 3,09\}
  • v = 2 \in Nicht–Ablehnungsbereich \Rightarrow ''H_{0}''
  • Es konnte statistisch bewiesen werden, dass der Richtwert überschritten wird. Die Firma spricht aber von einem statistischen Beweis, dass der Richtwert eingehalten wird (der H_{0}!). \alpha ist sehr klein! Kommt bei dieser Hypothesenformulierung nur der Firma zugute, d.h. nur bei einem ganz extrem großen Stichprobenwert von \overline{X} muss die Firma das Produkt vom Markt nehmen (''H_{1}'').
  • Wenn der wahre Wert des mittleren Phosphatgehalts 21,09g ist, würden 50% der Stichproben einen Mittelwert unter 21,09g und der Rest einen Mittelwert über 21,09g ergeben. Bei \overline{X}=21,09 nimmt der Prüfwert den Wert \frac{21,09-18}{\sqrt{36}/\sqrt{36}}=3,09 an, was genau der Grenze des Ablehnungsbereiches entspricht. Im Fall von 50% der möglichen Stichproben bekommt man also einen Prüfwert, der nicht zum Ablehnungsbereich gehört.

\Rightarrow P(''H_{0}''|\mu=21,09) = 0,5

Schlampiges Gepäck-Handling

i x_i p_i h_i-np_i (h_i-np_i)^2 (h_i-np_i)^2/(np_i)
1 0 460 0,449 449 11 121 0,269
2 1 350 0,360 360 -10 100 0,278
3 2 135 0,144 144 -9 81 0,563
4 3 40 0,038 38 2 4 0,105
5 4 15 0,008 8 7 49 5,125
6 >4 0 0,001 1 -1 1 1
  • H_{0}: Stichprobenverteilung des Gepäckverlustes entspricht einer Poisson-Verteilung,

H_{1}: Stichprobenverteilung des Gepäckverlustes entspricht nicht einer Poisson-Verteilung

  • V= \sum _{i=1} ^I \frac{(h _{i}-n \cdot p _{i})
                     ^{2}}{n \cdot p _{i}} V ist unter H_{0} approximativ (np_{i}\geq 1 für alle i, np_{i}\geq 5 für 80\% der i ) \chi^2–verteilt mit f = I - 1 - k = 4 Freiheitsgraden
  • Ablehnungsbereich:  \{v|v > 13,28\}, Nicht–Ablehnungsbereich: \{v|v \leq 13,28\}
  • L(x _{1},...,x _{n} |\lambda )
=\frac{\lambda ^{x _{1}+...+x _{n}}}{x_{1}! \cdot ... \cdot x _{n}!}\,
e^{-n \lambda} \to \max \quad\Rightarrow\quad \widehat\lambda = 0,8
  • siehe obige Tabelle v = 7,34 \not\in Ablehnungsbereich \Rightarrow ''H_{0}''
  • H_{0} läßt sich statistisch nicht beweisen! Auf einem Signifikanzniveau von \alpha = 0,01 und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang n = 1000 konnte lediglich statistisch bewiesen werden, dass es sich um eine Poisson-Verteilung handelt.

Schwergewichtsboxer

  • H_{0}: \pi \leq \pi_{0} = 0,5 , H_{1}: \pi > \pi_{0} = 0,5 \Rightarrow das will er beweisen
  • X: “Anzahl der von J.Knockout gewonnenen Kämpfe bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang n = 11
  • X ist unter H_{0} B(11; 0,5)–verteilt
  • Ablehnungsbereich: \{x > 8\}, Nicht–Ablehnungsbereich: \{x \leq 8\}
  • x = 8 \not\in Ablehnungsbereich \Rightarrow ''H_{0}''
  • Fehler 2. Art
  • Auf einem Signifikanzniveau von \alpha_{ex.}=0,0327 und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang n=11 Kämpfen konnte statistisch nicht gezeigt werden, dass J. Knockout der bessere Boxer ist.

Skirennen (Gütefunktion)

  • G(\pi = 0) = 1; G(\pi = 0,1) = 0,0985; G(\pi  = 0,2) = 0,0074
  • Die Skizze ist in den Lösungen nicht enthalten.

Skirennen

  • H_{0}: \pi \geq \pi_{0} = 0,1 , H_{1}: \pi < \pi_{0} = 0,1

''H_{1}''|H_{0} = “Hang bleibt wie gesteckt” | Krankenhaus überfüllt

  • X: “Anzahl der Gäste, die ausscheiden, bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang n = 22

X ist unter H_{0} B(22; 0,1)–verteilt

  • Ablehnungsbereich: \{x < 1\}, Nicht–Ablehnungsbereich: \{x \geq 1\}
  • \alpha_{ex.} = 0,0985
  • x = 1 \not\in Ablehnungsbereich \Rightarrow ''H_{0}''
  • Auf einem Signifikanzniveau von \alpha_{ex.} = 0,0985 und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang n = 22 konnte statistisch nicht bewiesen werden, dass die Ausfallquote kleiner als 10% ist.

Sollwerte

  • H_{0}: \mu = \mu_{0} (= 300), H_{1}: \mu \ne \mu_{0} (= 300)

    X_{i}: “Füllgewicht der i-ten Konserve”; i = 1,...,100; X_{i} \sim N(\mu;\sigma)

    \overline{X}: “Durchschnittliches Füllgewicht einer Konserve bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang n = 100

    \overline{X} ist unter H_{0} N(300; \sigma/\sqrt{n})–verteilt \sigma unbekannt, aber n > 30 \Rightarrow Verwendung der Normalverteilung V=(\overline{X}-\mu_{0})/(S/\sqrt{n}) ist unter H_{ 0} approximativ N(0;1)–verteilt

    Ablehnungsbereich: \{v|v < - 1,96 oderv > 1,96\}, Nicht–Ablehnungsbereich: \{v|-1,96 \leq v \leq 1,96\}
    v = 2 \in Ablehnungsbereich \Rightarrow ''H_{1}''; Produktionsprozeß stoppen.

  • H_{0}: \mu \geq \mu_{0} = 300 , H_{1}: \mu < \mu_{0} = 300 (das will Abnehmer beweisen!)

Spezialgefrierschränke (Gütefunktion)

  • ** G(\mu_{1} = -24,8) = 0,00135
    • G(\mu_{2} = -25,8) = 0,97725
    • G(\mu_{3} = -29) = 1
  • Die Skizze ist in den Lösungen nicht enthalten.

Spezialgefrierschränke

  • H_{0}: \mu \geq \mu_{0} = - 25^{o}C, H_{1}: \mu < \mu_{0} = - 25^{o}C

P(''H_{1}''|H_{0}) = P( “Kunden zufrieden?” | Ruin )  = \alpha

  • \overline{X}: “Durchschnittliche Temperatur eines Spezialgefrierschrankes bei einer Zufallsstichprobe n = 100X_{i}: “Temperatur des i–ten Spezialgefrierschrankes”; i=1,\ldots,100 X_{i} \sim N(\mu;2); \overline{X} ist unter H_{0} N(-25;0,2)–verteilt
  • V = (\overline{X} -
  \mu_{0})/(\sigma/\sqrt{n}) ist unter H_{0} N(0;1)-verteilt
  • Ablehnungsbereich: \{v|v < -2\}, Nicht–Ablehnungsbereich: \{v|v \geq -2\}
  • ** v = - 5 \in Ablehnungsbereich \Rightarrow ''H_{1}''
    • Auf einem Signifikanzniveau von 2,275% und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang n = 100 konnte statistisch bewiesen werden, dass die durchschnittliche Temperatur der Geräte unter -25^{o}C liegt. Somit keine Produktionsveränderung notwendig.
  • ** v = - 1,5 \not\in Ablehnungsbereich \Rightarrow ''H_{0}''
    • Auf einem Signifikanzniveau von 2,275% und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang n = 100 konnte statistisch nicht bewiesen werden, dass die durchschnittliche Temperatur der Geräte unter -25^{o}C liegt. Somit Produktionsveränderung notwendig.
    • Fehler 2. Art
    • Frage kann nicht beantwortet werden; Fehler ist unterlaufen oder nicht.
    • P(''H_{0}''|H_{1}:\mu=-29) = 0
  • P(''H_{1}''|H_{0})=\alpha ist an der Nahtstelle der Hypothesen stets am größten

Testfunktion

Für den Ablehnungsbereich \{v|v>c\} gilt P(V>c)=\alpha.
Für jedes v\leq c ist P(V>v)>P(V>c), d.h. das vorgegebene Signifikanzniveau wird nicht eingehalten.
Oder: P(V>c)=\alpha; P(V>v)=\gamma,
P(V>v|v\leq c)=[P(V\leq c)-P(V\leq v)]+P(V>c)
\gamma=\delta+\alpha
\gamma=\alpha für v=c, \delta=0; \gamma>\alpha für v<c, \delta>0.
P(V>v|v>c)=P(V>c)-[P(V\leq v)-P(V\leq c)]
\gamma=\alpha-\delta
\gamma<\alpha für v>c, \delta>0.

Torerfolge

X: “Torerfolge pro Spiel”


i x_i h_i p_i np_i h_i-np_i (h_i-np_i)^2 (h_i-np_i)^2/(np_i)
1 0 18 0,0334 10 8 64 6,40
2 1 24 0,1134 34 -10 100 2,94
3 2 56 0,1929 58 -2 4 0,07
4 3 63 0,2187 66 -3 9 0,14
5 4 61 0,1858 56 5 25 0,45
6 5 39 0,1263 38 1 1 0,03
7 6 26 0,0716 21 5 25 1,19
8 7 6 0,0348 10 -4 16 1,60
9 8 5 0,0148 4 1 1 0,25
10 9 (2)2 0,0056 (3)2 -1 1 0,33
11 >9 0 0,0027 1

Werte in Klammern, wenn alle Werte mit x_i\geq 9 in einer Klasse.

  • H_{0}: Stichprobenverteilung entspricht einer PO(3,4)

H_{1}: Stichprobenverteilung entspricht nicht einer PO(3,4)

  • V= \sum _{i=1} ^I \frac{(h _{i}-n \cdot p _{i})
                     ^{2}}{n \cdot p _{i}} V ist unter H_{0} approximativ (np_{i}\geq 1 für alle i, np_{i}\geq 5 für mindestens 80\% der i) \chi^2–verteilt mit f = I - 1 - k = 10 - 1 - 0 = 9 Freiheitsgraden
  • Ablehnungsbereich: \{v|v > 14,68\}, Nicht–Ablehnungsbereich: \{v|v \leq 14,68\}
  • v = 13,40 \not\in Ablehnungsbereich \Rightarrow ''H_{0}''
  • Auf einem Signifikanzniveau von \alpha = 0,1 und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang n = 300 konnte statistisch nicht bewiesen werden, dass die Stichprobenverteilung der Torfolge nicht einer PO(3,4) entspricht.

Werbeaktion

U_i=\mbox{Umsatz pro Kunde}, i=1,\dots,n=900, n>30
\overline{U}=(\sum_{i=1}^nU_i)/n, E(U_i)=\mu, Var(U_i)=\sigma^2
H_0:\mu\geq165;H_1:\mu<165
asymptotisch:V=\frac{\overline{U}-\mu}{\sqrt{\sigma^2}}\sqrt{n}\approx\frac{\overline{U}-\mu}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\sim N(0;1)daher für \mu_0=165

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} 0,05 =& P(V\leq c|H_0)=P\Bigg(\frac{\overline{U}-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\leq\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\Bigg)=\Phi\Big(\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\Big)\\ 0,95 =&1-\Phi\Big(\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\Big)=\Phi\Big(-\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\big)\\ 1,64=&-\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}=-\frac{c-165}{\sqrt{900}}\sqrt{900} \end{aligned}

\rightarrow c=165-1,64=163,36

Wetterlage und Geschäftslage

X: “Wetterlage”; Y: “Geschäftslage”

  • X \backslash Y y_{1}=gut y_{2}=normal y_{3}=schlecht
    x_{1}=Regentag 5 10 5 20
    x_{2}=Sonnentag 15 5 10 30
    20 15 15 50
  • H_{0}: Wetter und Geschäftslage sind stochastisch unabhängig
    H_{1}: Wetter und Geschäftslage sind nicht stochastisch unabhängig

  • ja, da alle \widetilde{h}_{ij} \geq 5 V= \sum _{i=1} ^I \sum _{j=1} ^J
\frac{(h _{ij}-\widetilde{h}_{ij})^{2}}{\widetilde{h}_{ij}} ist unter H_{0} approximativ \chi^2–verteilt mit f = 2 Freiheitsgraden.

  • Tabelle mit \widetilde{h}_{ij}

    X \backslash Y y_{1}=gut y_{2}=normal y_{3}=schlecht
    x_{1}=Regentag 8 6 6 20
    x_{2}=Sonnentag 12 9 9 30
    20 15 15 50
    • Ablehnungsbereich: \{v|v > 9,21\}, Nicht–Ablehnungsbereich: \{v|v \leq 9,21\}
      v = 6,597 \not\in Ablehnungsbereich \Rightarrow ''H_{0}''

    • Ablehnungsbereich: \{v|v > 5,99\}, Nicht–Ablehnungsbereich: \{v|v \leq 5,99\}
      v = 6,597 \in Ablehnungsbereich \Rightarrow ''H_{1}''

  • (i) Fehler 2. Art, (ii) Fehler 1. Art

Wocheneinkommen

X:Wocheneinkommen in diesem Stadtteil, Verteilung unbekannt, \sigma=20 EUR;
\overline{X}:Durchschnittliches Wocheneinkommen in diesem Stadtteil, \overline{X} ist approximativ (Zentraler Grenzwertsatz, n=100>30) N \sim(\mu;\sigma/\sqrt{n}) mit \sigma/\sqrt{n}=20/10=2
\mu_0=400, \alpha=0,050503, z_{0,949497}=1,64, \mu_1=406, H_0:\mu\leq400\quad H_1:\mu>400

G(\mu_1)=1-P\big(V\leq c-\frac{\mu_1-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\big)


\begin{align}
G(\mu_1=406) &= 1-P(V\leq1,64-(406-400)/2) \\
             &= 1-P(V\leq-1,36) \\
             &= 1-(1-P(V\leq1,36)) \\
             &= P(V\leq1,36) \\
             &= 0,913085
\end{align}
,

\beta=1-G(\mu_1)=1-0,913085=0,086915\approx0,087

Zigarettenpreis

X_{i}: “Zigarettenkonsum des i–ten Rauchers pro Tag”; i = 1,...,100;

X_{i} ist beliebig verteilt mit E(X_{i})
= \mu und Var(X_{i}) = \sigma^{2}

  • H_{0}: \mu \geq \mu_{0} = 16  , H_{1}: \mu < \mu_{0} = 16 \Rightarrow das will der Prokurist beweisen
  • \overline{X}: “Durchschnittlicher Zigarettenkonsum eines Rauchers pro Tag bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang n = 100
  • \overline{X} ist unter H_{0} approximativ N(16; \sigma/\sqrt{n})–verteilt wegen Zentralem Grenzwertsatz und n > 30
  •   V=(\overline{X}-\mu_{0})/(S/\sqrt{n}) ist unter H_{0} approximativ N(0;1)
  • Ablehnungsbereich: \{v|v < - 2,33\}, Nicht–Ablehnungsbereich: \{v|v \geq - 2,33\},

v = - 2 \not\in Ablehnungsbereich \Rightarrow ''H_{0}''

  • Fehler 2. Art
  • Auf einem Signifikanzniveau von \alpha = 0,01 und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang n = 100 konnte statistisch nicht gezeigt werden, dass sich der durchschnittliche Zigarettenkonsum verringert hat.

Zugkraft eines Drahtseiles

n=49>30; \overline{X}\mbox{ approximativ normalverteilt}
\mu_0=15; \mu=14,8; \sigma=0,4964; \alpha=0,07927; c_{0,92073}=1,41; \beta=1-G(\mu)

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} G(\mu) &= P\Big( V\leq-c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma}\sqrt{n}\Big)\\ G(14,8) &= P\Big( V\leq-1,41-\frac{14,8-15}{0,4964}\sqrt{49} \Big)\\ &= P(V\leq-1,41+2,82)\\ &= P(V\leq1,41)\\ &= 0,92073\\ \beta &= 1-0,92073=0,07927\end{aligned}