1000g–Portionen
d.h. ist das Quantil der
Anzahl der Kinder
Unter gilt:
– beobachtete absolute Häufigkeit – unter erwartete absolute Häufigkeit
für alle und für mindestens 80% der erwarteten Häufigkeiten erfüllt.
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16
|
25
|
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81
|
3,24
|
60
|
75
|
|
225
|
3,00
|
92
|
75
|
17
|
289
|
3,853333
|
32
|
25
|
7
|
49
|
1,96
|
(kein Parameter war zu schätzen)
aus Tabelle der Chi–Quadrat–Verteilung für :
signifikant zum 1%–Niveau
Arbeitsproduktivität
: “Arbeitsproduktivität”,Verteilung unbekannt, Stück/Stunde
: “Durchschnittliche Arbeitsproduktivität bei einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang ” ist approximativ (Begründung: Zentraler Grenzwertsatz, );
Ausfallsicherheit
Betriebszeit eines Servers:
maximale mittlere Ausfallzeit lt. Hersteller: 1% von Stunden
Der Hersteller will seine Behauptung statistisch untermauern, wobei er das Risiko einer Fehlentscheidung möglichst klein halten will. Da nur Abweichungen von nach einer Seite von Bedeutung sind, wird ein einseitiger Test durchgeführt. Die Behauptung des Herstellers wird als Alternativhypothese formuliert, womit ein linksseitiger Test resultiert
Stunden Stunden
Die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art “” ist das Signifikanzniveau , mit dessen Vorgabe das Risiko eines derartigen Fehlers gering gehalten werden kann. Damit wird die Zielstellung des Herstellers bei der Durchführung des Tests eingehalten. Da der Grundgesamtheit unbekannt ist, folgt die Teststatistik unter einer t–Verteilung mit Freiheitsgraden. Kritischer Wert: Da ist und damit in den Nichtablehnungsbereich von fällt, besteht keine Veranlassung abzulehnen.
Ausgaben für Urlaubsreisen
Auswahlsatz Endlichkeitskorrektur kann vernachlässigt werden; der Grundgesamtheit unbekannt;;
hypothetischer Wert der Gesamtausgaben:
Teststatistik:Wert der Teststatistik für die Stichprobe:
Batterien Lebensdauer
- –Anpassungstest
- : Die Stichprobenverteilung der Lebensdauer der Batterien ist normalverteilt
: Die Stichprobenverteilung der Lebensdauer der Batterien ist nicht normalverteilt
- X: Lebensdauer einer Batterie ist unter –verteilt mit Freiheitsgraden, wenn für alle gilt (I – Anzahl der Klassen, k – Anzahl der zu schätzenden Parameter)
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Klassen
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1
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-300
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10
|
160
|
1600
|
0.16
|
16
|
2
|
300-340
|
10
|
320
|
3200
|
0.12
|
12
|
3
|
340-460
|
60
|
400
|
24000
|
0.45
|
45
|
4
|
460-
|
20
|
560
|
11200
|
0.27
|
27
|
|
100
|
|
40000
|
|
|
|
Klassen
|
|
|
|
1
|
-300
|
-6
|
36
|
2.25
|
2
|
300-340
|
-2
|
4
|
0.33
|
3
|
340-460
|
15
|
225
|
5.00
|
4
|
460
|
-7
|
49
|
1.82
|
|
|
|
|
|
Approximationsbedingung erfüllt; ;
Nicht–Ablehnungsbereich:
Ablehnungsbereich:
- " "
Auf einem Signifikanzniveau von 1% und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang konnte statistisch bewiesen werden, dass es sich bei der Stichprobenverteilung der Lebensdauer der Batterien nicht um eine Normalverteilung handelt.
- Weiß man nicht; wir hoffen nicht!
Benzinverbrauch Test
zweiseitiger Test, da Abweichungen von der Behauptung, also nach beiden Seiten; unbekannt;
Chininhaltige Limonade
- ,
= “Es wird importiert” Kunden werden krank
- : “Anzahl der Flaschen, die den Vorschriften nicht entsprechen, bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang ”
- ist unter –verteilt
- Ablehnungsbereich: , Nicht–Ablehnungsbereich:
- Ablehnungsbereich
- Auf einem Signifikanzniveau von und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang konnte statistisch nicht bewiesen werden, dass der Anteil der Flaschen, die den Vorschriften nicht entsprechen, kleiner als 10% ist, d.h. der Großhändler sucht sich einen neuen Importeur.
- ; ;
Dicke der Fahrbahndecke
Der Bauunternehmer muss nachweisen, dass die Fahrbahndecke zu dünn ist, da er nur dann Abzüge hinnehmen muss.
Risikobetrachtung:
||Fahrbahndecke o.k., müsste keine Abzüge hinnehmen
Dies ist für den Bauunternehmer das größere Risiko, das gleich dem Fehler 1. Art ist, für den die Wahrscheinlichkeit mit vorgegeben ist.
Durchmesser von Wellen
- Ablehnungsbereich:
- Nicht–Ablehnungsbereich
- Fehler 2. Art
- Ablehnungsbereich
- Fehler 1. Art
Durchschnittsgewicht
: “Gewicht des i-ten Hähnchens”; ;
- ,
= “Angebot zurückweisen” gutes Geschäft vermasselt
- : “Durchschnittliches Gewicht eines Hähnchens bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang ”
- ist unter –verteilt
- ist unter t–verteilt mit Freiheitsgraden
- Ablehnungsbereich: , Nicht–Ablehnungsbereich:
- Ablehnungsbereich
- Fehler 2. Art
- Ablehnungsbereich
- Fehler 1. Art
Fachgebiete
Anwendung des Chi-Quadrat-Anpassungstests zur Prüfung der Hypothese, ob die von Bärbel beobachtete Verteilung () mit der theoretisch erwarteten Verteilung (Gerdas Behauptung: ) übereinstimmt. Beide Approximationsbedingungen sind erfüllt.
Prüfwert:
FKK
Anwendung des –Unabhängigkeitstests, weil die Beziehung zwischen zwei nominalskalierten Zufallsvariablen zu prüfen ist.
: Neigung zu FKK; : Region
: X und Y sind unabhängig; : X und Y sind nicht unabhängig
XY
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alt
|
neu
|
|
für
|
20 (26,7)
|
20 (13,3)
|
40
|
gegen
|
80 (73,3)
|
30 (36,7)
|
110
|
|
100
|
50
|
150
|
(in Klammern die erwarteten )
ist unter approximativ –verteilt mit Freiheitsgrad.
Ablehnungsbereich der :{}
Ablehnungsbereich
Auf einem Signifikanzniveau von 1% und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang konnte statistisch bewiesen werden, dass die Neigung zu FKK von der Region der Befragten abhängig ist.
Gewinnspiel–Automat
, ,
,
,
asymptotisch
daher für
Grönländische Bohrlochkerne
Gegeben: C;C;C (diese Stichprobenergebnisse werden nicht benötigt);C
Da die Forscher nachweisen wollen, dass eine Erwärmung des Eises stattgefunden hat wird ein rechtsseitiger Test durchgeführt:
C) gegen C). Daher .
Es ist der Wert der Gütefunktion C) zu berechnen, denn
- die Gütefunktion gibt die Wahrscheinlichkeit der Ablehnung von in Abhängigkeit vom Parameter an:
- für alle zulässigen Werte von gilt in Wirklichkeit die Alternativhypothese und mit der Ablehnung der Nullhypothese wird eine richtige Entscheidung getroffen; das ist hier wegen CC gegeben;
- es ist “”.
Kaffee Packungen 2
Grundgesamtheit: , Verteilung von unbekannt, , Grundgesamtheit kann als sehr groß angesehen werden, mittleres Füllgewicht unbekannt
hypothetischer Wert:
einfache Zufallsstichprobe: , Stichprobenvariablen sind i.i.d.
linksseitiger Test auf und
Teststatistik : aus Tabelle der Verteilungsfunktion , da aufgrund des großen Stichprobenumfangs und des ZGS die Verteilung von approximativ normalverteilt ist; kritischer Wert: (wegen Symmetrie der Normalverteilung)
Ablehnungsbereich der :
|
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Nichtablehnungsbereich der :
|
|
Fehler 2. Art: fälschliche Beibehaltung der , d.h. “”; “”|
Inhalt der Gütefunktion:
Es ist (wahr) ; es gilt in Wirklichkeit die Alternativhypothese und mit der Ablehnung von wird eine richtige Entscheidung getroffen. Es ist “”
Berechnung der Gütefunktion:
Kaffee Packungen