Test auf Mittelwert

Grundbegriffe

Test auf Mittelwert

Bei diesen Tests handelt es sich um Parametertests, d.h. Tests, mit denen eine Hypothese über einen unbekannten Parameter der Grundgesamtheit geprüft wird.

Der unbekannte Parameter der Zufallsvariablen $X\;$ ist hier der Erwartungswert $E[X]=\mu$ in der Grundgesamtheit.

Die Tests basieren auf einer einfachen Zufallsstichprobe vom vorgegebenen Umfang $n$ mit den Stichprobenvariablen $X_{1},\ldots ,X_{n}$ und werden auf dem Signifikanzniveau $\alpha$ durchgeführt.

Je nach Problemstellung können die Tests als zwei- oder einseitige Tests formuliert werden.

• Zweiseitiger Test

$H_{0}:\mu =\mu _{0},\quad H_{1}:\mu \neq \mu _{0}$

• Rechtsseitiger Test

$H_{0}:\mu \leq \mu _{0},\quad H_{1}:\mu >\mu _{0}$

• Linksseitiger Test

$H_{0}:\mu \geq \mu _{0},\quad H_{1}:\mu <\mu _{0}$

Bei der Formulierung eines einseitigen Tests (rechts- bzw. linksseitiger Test) wird in der Regel diejenige Annahme als Alternativhypothese $H_{1}$ festgelegt, die "statistisch bestätigt" werden soll.

Oftmals werden auch in einer Risikobetrachtung die beiden möglichen Fehlentscheidungen gegenübergestellt und dann diejenige Fehlentscheidung mit den schwerwiegenderen Konsequenzen als der mögliche Fehler 1. Art gesetzt, weil die Wahrscheinlichkeit $P({\mbox{''}}H_{1}{\mbox{''}}|H_{0})$ für einen Fehler 1. Art durch die Vorgabe des Signifikanzniveaus $\alpha$ klein gehalten werden kann.

Daraus ergibt sich dann die Entscheidung für einen rechts- oder linksseitigen Test. Da jeder Test auf einer Zufallsstichprobe basiert, benötigt man zunächst eine Größe, die die Informationen aus der Stichprobe enthält.

Dazu wird bei einem Parametertest eine Schätzfunktion verwendet. Es wurde bereits gezeigt, dass der Stichprobenmittelwert

${\bar {X}}={\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}\,X_{i}$

ein geeigneter Punktschätzer für den unbekannten Erwartungswert $E[X]=\mu$ der Grundgesamtheit ist, da der Schätzer erwartungstreu und konsistent ist.

Die Varianz und die Standardabweichung von ${\bar {X}}$ sind im Falle einer einfachen Zufallsstichprobe (siehe Abschnitt Stichprobenverteilungen) gegeben mit

$Var\left({\bar {X}}\right)=\sigma ^{2}\left({\bar {X}}\right)={\frac {\sigma _{X}^{2}}{n}}$

$\sigma \left({\bar {X}}\right)={\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}$

Der Stichprobenmittelwert ${\bar {X}}$ bildet den Ausgangspunkt für die Bestimmung der Teststatistik.

Annahme:

Für die weiteren Betrachtungen wird von der Annahme ausgegangen, dass

• die Zufallsvariable $X\;$ in der Grundgesamtheit normalverteilt und somit auch ${\bar {X}}$ normalverteilt ist bzw.

• der Stichprobenumfang $n$ genügend groß ist, dass nach dem Zentralen Grenzwertsatz ${\bar {X}}$ approximativ normalverteilt ist, auch wenn die Zufallsvariable $X\;$ in der Grundgesamtheit nicht einer Normalverteilung folgt (in diesem Fall handelt es sich um einen approximativen Test auf $\mu$).

Es gelte somit:

${\bar {X}}$ ist (zumindest approximativ) normalverteilt mit dem Erwartungswert $E\left[{\bar {X}}\right]=\mu _{0}$ und der Varianz $\sigma ^{2}({\bar {x}})={\frac {\sigma ^{2}}{n}}$.

Um die Verteilung von ${\bar {X}}$ konkret angeben zu können, muss der Parameter $\mu$ numerisch spezifiziert werden. Die einzige verfügbare Information über $\mu$ ist jedoch der hypothetische Wert $\mu _{0}$.

Es wird nun unterstellt, dass $\mu _{0}$ der wahre Erwartungswert $E[X]=\mu$ in der Grundgesamtheit ist, d.h. $\mu =\mu _{0}$ gilt. Dies entspricht bei einem zweiseitigen Test exakt der Nullhypothese $H_{0}$.

Bei einem einseitigen Test ist $\mu _{0}$ stets als Grenzwert der Bereichshypothese unter $H_{0}$ enthalten.

Damit folgt:

Bei Gültigkeit der Nullhypothese $H_{0}$ ist ${\bar {X}}$ (zumindest approximativ) normalverteilt mit dem Erwartungswert $E\left[{\bar {X}}\right]=\mu$ und der Varianz $\sigma ^{2}\left({\bar {X}}\right)={\frac {\sigma ^{2}}{n}}$:

${\bar {X}}{\mbox{ ist unter }}H_{0}\;\sim \;N\left(\mu _{0};{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\right){\mbox{-verteilt}}$.

Die Konstruktion der Teststatistik hängt nunmehr entscheidend davon ab, ob die Standardabweichung der Zufallsvariablen $X\;$ in der Grundgesamtheit und damit die Standardabweichung des Stichprobenmittelwertes $\sigma ({\bar {x}})$ bekannt ist oder nicht.

Hierzu werden zwei Testverfahren vorgestellt:

• Gauß-Test (Standardabweichung des Stichprobenmittelwertes bekannt)
• Einstichproben-t-Test (Standardabweichung des Stichprobenmittelwertes unbekannt)