Stichprobenfunktion

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Stichprobentheorie

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Grundbegriffe

Stichprobenfunktion

Eine Funktion U=U(X_{1},\ldots,X_{n}) der Stichprobenvariablen X_{1},\ldots,X_{n} wird als Stichprobenfunktion bezeichnet.

Die Stichprobenfunktion ist eine Funktion von Zufallsvariablen (den Stichprobenvariablen) und deshalb selbst wieder eine Zufallsvariable.

Nach erfolgter Ziehung der Stichprobe vom Umfang n liegen die Stichprobenwerte x_{1},\ldots,x_{n} als Realisationen der Zufallsvariablen X_{1},\ldots,X_{n} vor.

Der Wert u=U(x_{1},\ldots,x_{n}) als entsprechende Funktion von n konkreten Stichprobenwerten ist eine Realisation der Stichprobenfunktion U=U(X_{1},\ldots,X_{n}).

Zieht man wiederholt Stichproben gleichen Umfangs aus derselben Grundgesamtheit, so variieren die Stichprobenwerte von Stichprobe zu Stichprobe.

Daraus folgt, dass auch die Werte der Stichprobenfunktion von Stichprobe zu Stichprobe variieren.

Stichprobenfunktionen spielen eine bedeutende Rolle, um Informationen über unbekannte Parameter der Zufallsvariablen X\; in der Grundgesamtheit zu erhalten.

Die Berechnung der analogen Parameter in der Stichprobe beinhaltet die Festlegung einer geeigneten Funktion der Stichprobenvariablen X_{1}, \ldots, X_{n}, d.h. die Auswahl einer Stichprobenfunktion.

Wichtige Stichprobenfunktionen sind deshalb:

\bar{x}=\frac{1}{n}\cdot \sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}
S^{*2}=\frac{1}{n}\cdot \sum\limits_{i=1}^{n}(x_{i}- \mu )^{2}
S^{2}=\frac{1}{n-1}\cdot \sum\limits_{i=1}^{n}(x_{i}- \bar {X} )^{2}
\widehat{\pi}=\frac{1}{n}\cdot \sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}

Stichprobenverteilung oder Verteilung einer Stichprobenfunktion

Als Zufallsvariable besitzt die Stichprobenfunktion eine Verteilung, die Stichprobenverteilung genannt wird.

Da Stichprobenfunktionen in der induktiven Statistik für die Schätzung unbekannter Parameter (Schätztheorie) und für die Prüfung von Hypothesen (Testtheorie) über unbekannte Parameter der Grundgesamtheit verwendet und in diesem Zusammenhang Wahrscheinlichkeitsaussagen notwendig werden, ist es von Bedeutung, die Stichprobenverteilung der wichtigsten Stichprobenfunktionen, deren Stichprobenmittelwert und die Stichprobenvarianz zu betrachten.

Dies geschieht gesondert in den Kapiteln