Stichprobenfunktion

Grundbegriffe

Stichprobenfunktion

Eine Funktion $U=U(X_{1},\ldots ,X_{n})$ der Stichprobenvariablen $X_{1},\ldots ,X_{n}$ wird als Stichprobenfunktion bezeichnet.

Die Stichprobenfunktion ist eine Funktion von Zufallsvariablen (den Stichprobenvariablen) und deshalb selbst wieder eine Zufallsvariable.

Nach erfolgter Ziehung der Stichprobe vom Umfang $n$ liegen die Stichprobenwerte $x_{1},\ldots ,x_{n}$ als Realisationen der Zufallsvariablen $X_{1},\ldots ,X_{n}$ vor.

Der Wert $u=U(x_{1},\ldots ,x_{n})$ als entsprechende Funktion von $n$ konkreten Stichprobenwerten ist eine Realisation der Stichprobenfunktion $U=U(X_{1},\ldots ,X_{n})$.

Zieht man wiederholt Stichproben gleichen Umfangs aus derselben Grundgesamtheit, so variieren die Stichprobenwerte von Stichprobe zu Stichprobe.

Daraus folgt, dass auch die Werte der Stichprobenfunktion von Stichprobe zu Stichprobe variieren.

Stichprobenfunktionen spielen eine bedeutende Rolle, um Informationen über unbekannte Parameter der Zufallsvariablen $X\;$ in der Grundgesamtheit zu erhalten.

Die Berechnung der analogen Parameter in der Stichprobe beinhaltet die Festlegung einer geeigneten Funktion der Stichprobenvariablen $X_{1},\ldots ,X_{n}$, d.h. die Auswahl einer Stichprobenfunktion.

Wichtige Stichprobenfunktionen sind deshalb:

• Stichprobenmittelwert (siehe hierfür: Stichprobenmittelwert)

${\bar {x}}={\frac {1}{n}}\cdot \sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}$

• Stichprobenvarianz (siehe hierfür: Stichprobenvarianz)

• falls der Erwartungswert der Grundgesamtheit $E[X]=\mu$ bekannt ist:

$S^{*2}={\frac {1}{n}}\cdot \sum \limits _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}$

• falls der Erwartungswert der Grundgesamtheit $E[X]=\mu$ unbekannt ist:

$S^{2}={\frac {1}{n-1}}\cdot \sum \limits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {X}})^{2}$

• Stichprobenanteilswert (siehe hierfür: Stichprobenanteilswert)

${\widehat {\pi }}={\frac {1}{n}}\cdot \sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}$

Stichprobenverteilung oder Verteilung einer Stichprobenfunktion

Als Zufallsvariable besitzt die Stichprobenfunktion eine Verteilung, die Stichprobenverteilung genannt wird.

Da Stichprobenfunktionen in der induktiven Statistik für die Schätzung unbekannter Parameter (Schätztheorie) und für die Prüfung von Hypothesen (Testtheorie) über unbekannte Parameter der Grundgesamtheit verwendet und in diesem Zusammenhang Wahrscheinlichkeitsaussagen notwendig werden, ist es von Bedeutung, die Stichprobenverteilung der wichtigsten Stichprobenfunktionen, deren Stichprobenmittelwert und die Stichprobenvarianz zu betrachten.

Dies geschieht gesondert in den Kapiteln

• Verteilung des Stichprobenmittelwertes
• Verteilung des Stichprobenanteilswertes
• Verteilung der Stichprobenvarianz