Konsistenz

Grundbegriffe

Konsistenz

Eine Schätzfunktion ${\hat {\theta }}_{n}$ des unbekannten Parameters $\vartheta$ heißt konsistent, wenn die beiden Bedingungen

$\lim _{n\to \infty }E\left[{\hat {\theta }}_{n}\right]=\vartheta$

und

$\lim _{n\to \infty }Var\left({\hat {\theta }}_{n}\right)=0$

gelten. D.h. bei steigendem Stichprobenumfang $n$ geht sowohl die Verzerrung, als auch die Varianz der Schätzfunktion gegen Null.

Konsistenz wird als minimale Güteanforderung an Schätzfunktionen angesehen.

Es sei jedoch darauf verwiesen, dass eine konsistente Schätzfunktion für endliche Stichprobenumfänge durchaus eine große Varianz und eine erhebliche Verzerrung aufweisen kann.

Andererseits lässt sich bei vielen praktischen Problemstellungen der Stichprobenumfang nicht beliebig vergrößern.

Zusatzinformationen

Konsistenz wichtiger Schätzfunktionen

Stichprobenmittelwert

• Für einfache Zufallsstichproben ist der Stichprobenmittelwert ${\bar {X}}_{n}$ eine konsistente Schätzfunktion für den unbekannten Erwartungswert $\mu$ der Grundgesamtheit, da ${\bar {X}}_{n}$ erwartungstreu und somit die Verzerrung Null ist und für die $Var({\bar {X}}_{n})={\frac {\sigma ^{2}}{n}}$ gilt

$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\sigma ^{2}}{n}}=0$

• Für eine normalverteilte Grundgesamtheit ist der Stichprobenmedian ${\bar {x_{z}}}$ eine konsistente Schätzfunktion für den unbekannten Erwartungswert $\mu$ (ohne Nachweis).

Stichprobenanteilswert

Für einfache Zufallsstichproben ist der Stichprobenanteilswert ${\widehat {\pi }}_{n}$ eine konsistente Schätzfunktion für den unbekannten Anteilswert $\pi$ einer dichotomen Grundgesamtheit, da die Schätzfunktion erwartungstreu und somit die Verzerrung Null ist und für die $Var({\widehat {\pi }}_{n})={\frac {\pi \cdot (1-\pi )}{n}}$ gilt

$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\pi \cdot (1-\pi )}{n}}=0$

Stichprobenvarianz

Die Schätzfunktion

$S^{2}={\frac {1}{n-1}}\cdot \sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}$

ist eine konsistente Schätzfunktionen für die unbekannten Varianz $\sigma ^{2}$ der Grundgesamtheit, da die Schätzfunktion erwartungstreu und somit die Verzerrung Null ist und für die $Var(S^{2})={\frac {2\sigma ^{4}}{n-1}}$ gilt

$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {2\cdot \sigma ^{4}}{n-1}}=0$