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| : Die zusätzliche Unsicherheit bezüglich <math>\sigma^{2}</math> ist in die [[t-Verteilung]] "eingearbeitet". | | : Die zusätzliche Unsicherheit bezüglich <math>\sigma^{2}</math> ist in die [[t-Verteilung]] "eingearbeitet". |
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| ===Glühlampen===
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| Ein Unternehmen stellt Glühlampen her. Die Marketing-Abteilung benötigt für Werbungszwecke eine Angabe über die durchschnittliche Brenndauer einer bestimmten Sorte von Glühlampen.
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| Aus statistischer Sicht ergeben sich dabei folgende Überlegungen:
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| * Die Erfassung der [[Grundgesamtheit]], d.h. der Gesamtproduktion dieser Sorte von Glühlampen, ist aus zwei Gründen nicht möglich:
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| ** Da auch in Zukunft diese Glühlampen produziert werden, liegt die [[Grundgesamtheit]] nicht vollständig vor.
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| ** Mit der Feststellung der Brenndauer ist die Zerstörung der Glühlampen verbunden.
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| * Um systematische Fehler bei der Erfassung des Brenndauer zu vermeiden, wird eine [[Zufallsstichprobe]] gezogen.
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| * Das Ziehen einer [[Einfache Zufallsstichprobe|einfachen Zufallsstichprobe]] ([[Zufallsauswahlmodell mit Zurücklegen|Zufallsauswahl mit Zurücklegen]]) macht bei dieser Problemstellung wegen der Zerstörung der Glühlampen keinen Sinn. Es wird somit eine [[uneingeschränkte Zufallsstichprobe]] ([[Zufallsauswahlmodell ohne Zurücklegen|Zufallsauswahl ohne Zurücklegen]]) gezogen.
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| * Da die Gesamtproduktion jedoch sehr groß ist, spielt die Tatsache, dass [[Zufallsauswahlmodell ohne Zurücklegen|ohne Zurücklegen]] gezogen wird, keine Rolle, denn die [[Verteilung der Grundgesamtheit|Verteilung in der Grundgesamtheit]] verändert sich dadurch so gut wie nicht. Die [[Stichprobe]] kann somit als eine [[einfache Zufallsstichprobe]] angesehen werden.
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| * Neben einer [[Punktschätzung]] für die unbekannte durchschnittliche Brenndauer soll ein [[symmetrisches Konfidenzintervall]] zum [[Konfidenzniveau]] <math>1 - \alpha = 0,95</math> angegeben werden.
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| * Über die [[Verteilung der Grundgesamtheit|Verteilung der Zufallsvariablen]] <math>X = \;</math> "Brenndauer" und die [[Varianz der Grundgesamtheit|Varianz <math>\sigma^{2}</math> in der Grundgesamtheit]] liegen keine Informationen vor.
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| ====Zweiseitiges (approximatives) Konfidenzintervall====
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| Wenn jedoch der [[Stichprobenumfang]] <math>n</math> genügend groß gewählt wird, kann ein [[Approximation|approximatives]] [[Konfidenzintervall]]
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| <math>\left[ \bar{X}-z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot\frac{S}{\sqrt{n}};\;\bar{X}+z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot\frac{S}{\sqrt{n}}\right]</math>
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| zum näherungsweisen [[Konfidenzniveau]]
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| <math>P\left( \bar{X}-z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot\frac{X}{\sqrt{n}}\leq\mu\leq\bar{X}+z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot\frac{S}{\sqrt{n}}\right) \approx1-\alpha</math>
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| ermittelt werden.
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| Zum vorgegebenen [[Konfidenzniveau]] <math>1-\alpha=0,95</math> findet man in der Tabelle der [[Verteilungsfunktion (stochastisch, eindimensional)|Verteilungsfunktion]] der [[Standardnormalverteilung]]: <math>z_{1-\frac{\alpha}{2}}=z_{0,975}=1,96</math>.
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| Um einerseits eine ausreichende [[Approximation]] durch die [[Normalverteilung]] zu garantieren, andererseits aber die Kosten der [[Stichprobe]] gering zu halten, soll der [[Stichprobenumfang|Umfang der Stichprobe]] so klein als notwendig gehalten werden. In diesem Sinn wird <math>n = 50</math> gewählt.
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| Die konkrete [[Stichprobe]] führte zu folgenden [[Punktschätzung]]en:
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| *mittlere Brenndauer in der [[Stichprobe]] <math>\bar{x}</math>: <math>1600 \; \mbox{Stunden}</math>
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| *[[Varianz (stochastisch)|Varianz]] <math>s^{2}</math> in der [[Stichprobe]]: <math>8100 \; \mbox{Stunden}^{2}</math>
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| *[[Standardabweichung (stochastisch)|Standardabweichung]] <math>s</math> in der [[Stichprobe]]: <math>90 \; \mbox{Stunden}</math>
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| Damit erhält man das [[Schätzintervall]]:
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| |<math>\left[ 1600-1,96\cdot\frac{90}{\sqrt{50}};\; 1600+1,96\cdot\frac{90}{\sqrt{50}}\right]</math>
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| |<math>=[1600-24,95;\;1600+24,95]</math>
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| |-
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| |<math>=[1575,05;\;1624,95]</math>
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| |}
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| Da für das [[Schätzverfahren]] eine hohe [[Sicherheitswahrscheinlichkeit]] von 0,95 (d.h. recht nahe bei Eins) gewählt wurde, kann man davon ausgehen, eines der [[Schätzintervall]]e zum [[Stichprobenumfang]] <math>n = 50</math> erhalten zu haben, dass den wahren Wert <math>\mu</math> enthält.
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| ====Einseitiges Konfidenzintervall====
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| Aus der Sicht des Leiters der Marketing-Abteilung ist dieses Ergebnis insoweit unbefriedigend, dass aus psychologischen Gründen bei der Werbung keine Angabe über die [[Grenzen des Konfidenzintervalls|obere Grenze]] der mittleren Brenndauer erfolgen sollte.
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| Er lässt deshalb ein nach oben offenes [[Konfidenzintervall]], d.h. ein [[einseitiges Konfidenzintervall]], bestimmen. Zum näherungsweisen [[Konfidenzniveau]]
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| <math>P\left( \bar{X}-z_{1-\alpha}\cdot\frac{S}{\sqrt{n}}\leq\mu\right) =1-\alpha=0,95</math>
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| findet man in der Tabelle der [[Verteilungsfunktion (stochastisch, eindimensional)|Verteilungsfunktion]] der [[Standardnormalverteilung]]:
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| <math>z_{1-\alpha}=z_{0,95}=1,645</math>.
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| Mit den Ergebnissen der gleichen [[Stichprobe]] ergibt sich für die [[Grenzen des Konfidenzintervalls|untere Grenze]]:
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| <math>v_{u}=1600-1,645\cdot\frac{90}{\sqrt{50}}=1600-20,94=1579,06\mbox{ Stunden}</math>
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| und für das einseitige [[Schätzintervall]]
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| <math>\left[1579,06;\;+\infty\right)</math>
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| Auch für dieses Ergebnis gilt eine analoge Interpretation: Aufgrund der hohen [[Sicherheitswahrscheinlichkeit]] von 0,95 geht man davon aus, eines der einseitigen [[Schätzintervall]]e zum [[Stichprobenumfang]] <math>n = 50</math> erhalten zu haben, dass den wahren Wert <math>\mu</math> enthält.
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| <!--==Interaktives Beispiel==
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| Es steht eine Grundgesamtheit von <math>N = 500</math> Angestellten einer Versicherungsgesellschaft zur Verfügung. An den Angestellten wurden die Variablen
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| <math>X_1 =\;</math> Jahresprovision in DM,
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| <math>X_2 =\;</math> Versicherungsabschlüsse pro Monat,
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| <math>X_3 =\;</math> Krankheitstage pro Kalenderjahr,
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| <math>X_4 =\;</math> Wochenarbeitszeit in Stunden
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| beobachtet. Der [[STAT-Glossar#Erwartungswert|Erwartungswert]] <math>\mu</math>, die [[STAT-Glossar#Varianz|Varianz]] <math>\sigma^{2}</math> und die Verteilung der Variablen in der Grundgesamtheit sind unbekannt.
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| Ermitteln Sie auf der Basis einer einfachen Zufallsstichprobe eine
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| Punkt- und Intervallschätzung für den unbekannten [[STAT-Glossar#Erwartungswert|Erwartungswert]]
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| <math>\mu</math>.
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| Mit diesem Beispiel haben Sie die Möglichkeit, den Einfluss des
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| [[STAT-Glossar#Konfidenzniveau|Konfidenzniveaus]] und des [[STAT-Glossar#Stichprobenumfang|Stichprobenumfanges]] auf die Breite des
| |
| Konfidenzintervalls zu studieren. Dazu empfiehlt es sich, nur eine
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| der beiden Größen zu verändern, während die andere konstant
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| gehalten wird.
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| Treffen Sie bitte nachfolgend ihre Entscheidungen über
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| * die zu analysierende Variable,
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| * den [[STAT-Glossar#Stichprobenumfang|Stichprobenumfang]] <math>n</math>,
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| * das [[STAT-Glossar#Konfidenzniveau|Konfidenzniveau]] <math>1-\alpha</math> (als Dezimalzahl, z.B. 0,95).
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| Hinweis:
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| Berücksichtigen Sie bei diesen Entscheidungen, welche
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| Informationen Sie über die Grundgesamtheit haben.
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| '''Ausgabe:'''
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| Als Ergebnis gibt dieses interaktive Beispiel
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| # einen ''[[STAT-Glossar#Scatterplot|Scatterplot]]'' der ausgewählten Variable,
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| # den dazu gehörigen ''[[STAT-Glossar#Boxplot|Boxplot]]'' und
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| # das -zum gewählte [[STAT-Glossar#Konfidenzniveau|Konfidenzniveau]] passende- ''Konfidenzintervall''
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| aus. Wenn man die gleiche Variable anschließend ein weiteres Mal
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| auswählt, aber ein anderes/n [[STAT-Glossar#Konfidenzniveau|Konfidenzniveau]]/[[STAT-Glossar#Stichprobenumfang|Stichprobenumfang]]
| |
| angibt, so werden im nächsten Ausgabefenster auch die alten
| |
| ''Konfidenzintervalle'' angezeigt (zum Vergleich).-->
| |
Grundbegriffe
Konfidenzintervall für den Erwartungswert bei Normalverteilung der Grundgesamtheit
Es gilt:
.
Weiterhin sei
die Standardabweichung als Wurzel aus der Stichprobenvarianz
und
das
-Quantil der t-Verteilung.
Dann ist
ein Konfidenzintervall für den unbekannten Parameter
der normalverteilten Zufallsvariablen
mit unbekannter Varianz
zum Konfidenzniveau
Wurde die Stichprobe gezogen und liegen die Stichprobenwerte
vor, dann lassen sich daraus
- die Punktschätzwerte
und ![{\displaystyle s}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&mode=mathml)
![{\displaystyle \left[{\bar {x}}-t_{n-1;1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\frac {s}{\sqrt {n}}}\leq \mu \leq {\bar {x}}+t_{n-1;1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\frac {s}{\sqrt {n}}}\right]}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=10b975b2da89b952e373896e42b4c11c&mode=mathml)
- bestimmen.
Da die t-Verteilung mit wachsender Anzahl der Freiheitsgrade und somit mit wachsendem Stichprobenumfang
gegen die
konvergiert, kann bei genügend großem Stichprobenumfang
approximativ die Standardnormalverteilung und
statt
verwendet werden. Man erhält dann ein approximatives Konfidenzintervall.
Konfidenzintervall für den Erwartungswert bei unbekannter Verteilung der Grundgesamtheit
Wenn die Zufallsvariable
in der Grundgesamtheit nicht normalverteilt und die Varianz
unbekannt ist, kann unter der Voraussetzung eines großen Stichprobenumfanges
das Konfidenzintervall
verwendet werden, das näherungsweise das Konfidenzniveau
hat.
Dies lässt sich darauf zurückführen, dass
- die Schätzfunktion
eine konsistente Schätzfunktion für
ist und somit auch
konsistent ist, d.h. es kann bei sehr großem Stichprobenumfang
davon ausgegangen werden, dass
hinreichend wenig um den wahren Wert
streut;
Zusatzinformationen
Herleitung des Konfidenzintervalls bei normalverteilter Grundgesamtheit
Es gilt:
.
Die standardisierte Zufallsvariable
lässt sich jedoch nicht mehr bestimmen, da
nunmehr unbekannt ist.
Die Varianz
muss aus der Stichprobe geschätzt werden. Eine geeignete Schätzfunktion ist die Stichprobenvarianz
Die Standardabweichung
als Wurzel aus
wird für die Standardisierung verwendet:
Die Zufallsvariable
folgt bei einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang
einer t-Verteilung mit der Anzahl der Freiheitsgrade
:
Für die standardisierte Zufallsvariable
lässt sich ein zentrales Schwankungsintervall angeben, in dem
Realisationen mit einer vorgegebenen Sicherheitswahrscheinlichkeit
annimmt.
Dabei ist
das
-Quantil und
das
-Quantil der t-Verteilung.
Aufgrund der Symmetrie der t-Verteilung gilt:
und
Damit folgt:
Für die Wahrscheinlichkeit
findet man
in der Tabelle der t-Verteilung.
Die Verteilung ist somit bekannt und sie hängt nicht von dem unbekannten Parameter
ab, so dass man nach Einsetzen von
und einfachen Umformungen der Ungleichung ein Konfidenzintervall
zum Konfidenzniveau
erhält.
Charakteristika des Konfidenzintervalls bei normalverteilter Grundgesamtheit
![{\displaystyle L=2t_{n-1;1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\frac {S}{\sqrt {n}}}\quad E=t_{n-1;1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\frac {S}{\sqrt {n}}}}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=6a652a002c707bae8ca369aa4625372a&mode=mathml)
- hängen über
von den Stichprobenvariablen
ab und sind somit Zufallsvariablen.
- Bei gegebenem Stichprobenumfang
und Konfidenzniveau
ergeben sich von Stichprobe zu Stichprobe unterschiedliche Schätzintervalle, die auch verschiedene Länge bzw. verschiedenen Schätzfehler aufweisen können.
- Die zusätzliche Unsicherheit bezüglich
ist in die t-Verteilung "eingearbeitet".