Konfidenzintervall für den Erwartungswert bei unbekannter Varianz/Beispiel: Glühlampen

Beispiele

Glühlampen

Ein Unternehmen stellt Glühlampen her. Die Marketing-Abteilung benötigt für Werbungszwecke eine Angabe über die durchschnittliche Brenndauer einer bestimmten Sorte von Glühlampen.

Aus statistischer Sicht ergeben sich dabei folgende Überlegungen:

• Die Erfassung der Grundgesamtheit, d.h. der Gesamtproduktion dieser Sorte von Glühlampen, ist aus zwei Gründen nicht möglich:
  • Da auch in Zukunft diese Glühlampen produziert werden, liegt die Grundgesamtheit nicht vollständig vor.
  • Mit der Feststellung der Brenndauer ist die Zerstörung der Glühlampen verbunden.

• Um systematische Fehler bei der Erfassung des Brenndauer zu vermeiden, wird eine Zufallsstichprobe gezogen.

• Das Ziehen einer einfachen Zufallsstichprobe (Zufallsauswahl mit Zurücklegen) macht bei dieser Problemstellung wegen der Zerstörung der Glühlampen keinen Sinn. Es wird somit eine uneingeschränkte Zufallsstichprobe (Zufallsauswahl ohne Zurücklegen) gezogen.

• Da die Gesamtproduktion jedoch sehr groß ist, spielt die Tatsache, dass ohne Zurücklegen gezogen wird, keine Rolle, denn die Verteilung in der Grundgesamtheit verändert sich dadurch so gut wie nicht. Die Stichprobe kann somit als eine einfache Zufallsstichprobe angesehen werden.

• Neben einer Punktschätzung für die unbekannte durchschnittliche Brenndauer soll ein symmetrisches Konfidenzintervall zum Konfidenzniveau $1-\alpha =0,95$ angegeben werden.

• Über die Verteilung der Zufallsvariablen $X=\;$ "Brenndauer" und die Varianz $\sigma ^{2}$ in der Grundgesamtheit liegen keine Informationen vor.

Zweiseitiges (approximatives) Konfidenzintervall

Wenn jedoch der Stichprobenumfang $n$ genügend groß gewählt wird, kann ein approximatives Konfidenzintervall

$\left[{\bar {X}}-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\frac {S}{\sqrt {n}}};\;{\bar {X}}+z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\frac {S}{\sqrt {n}}}\right]$

zum näherungsweisen Konfidenzniveau

$P\left({\bar {X}}-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\frac {X}{\sqrt {n}}}\leq \mu \leq {\bar {X}}+z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\frac {S}{\sqrt {n}}}\right)\approx 1-\alpha$

ermittelt werden.

Zum vorgegebenen Konfidenzniveau $1-\alpha =0,95$ findet man in der Tabelle der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung: $z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}=z_{0,975}=1,96$.

Um einerseits eine ausreichende Approximation durch die Normalverteilung zu garantieren, andererseits aber die Kosten der Stichprobe gering zu halten, soll der Umfang der Stichprobe so klein als notwendig gehalten werden. In diesem Sinn wird $n=50$ gewählt.

Die konkrete Stichprobe führte zu folgenden Punktschätzungen:

• mittlere Brenndauer in der Stichprobe ${\bar {x}}$: $1600\;{\mbox{Stunden}}$

• Varianz $s^{2}$ in der Stichprobe: $8100\;{\mbox{Stunden}}^{2}$

• Standardabweichung $s$ in der Stichprobe: $90\;{\mbox{Stunden}}$

Damit erhält man das Schätzintervall:

$\left[1600-1,96\cdot {\frac {90}{\sqrt {50}}};\;1600+1,96\cdot {\frac {90}{\sqrt {50}}}\right]$	$=[1600-24,95;\;1600+24,95]$
	$=[1575,05;\;1624,95]$

Da für das Schätzverfahren eine hohe Sicherheitswahrscheinlichkeit von 0,95 (d.h. recht nahe bei Eins) gewählt wurde, kann man davon ausgehen, eines der Schätzintervalle zum Stichprobenumfang $n=50$ erhalten zu haben, dass den wahren Wert $\mu$ enthält.

Einseitiges Konfidenzintervall

Aus der Sicht des Leiters der Marketing-Abteilung ist dieses Ergebnis insoweit unbefriedigend, dass aus psychologischen Gründen bei der Werbung keine Angabe über die obere Grenze der mittleren Brenndauer erfolgen sollte.

Er lässt deshalb ein nach oben offenes Konfidenzintervall, d.h. ein einseitiges Konfidenzintervall, bestimmen. Zum näherungsweisen Konfidenzniveau

$P\left({\bar {X}}-z_{1-\alpha }\cdot {\frac {S}{\sqrt {n}}}\leq \mu \right)=1-\alpha =0,95$

findet man in der Tabelle der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung:

$z_{1-\alpha }=z_{0,95}=1,645$.

Mit den Ergebnissen der gleichen Stichprobe ergibt sich für die untere Grenze:

$v_{u}=1600-1,645\cdot {\frac {90}{\sqrt {50}}}=1600-20,94=1579,06{\mbox{ Stunden}}$

und für das einseitige Schätzintervall

$\left[1579,06;\;+\infty \right)$

Auch für dieses Ergebnis gilt eine analoge Interpretation: Aufgrund der hohen Sicherheitswahrscheinlichkeit von 0,95 geht man davon aus, eines der einseitigen Schätzintervalle zum Stichprobenumfang $n=50$ erhalten zu haben, dass den wahren Wert $\mu$ enthält.