Konfidenzintervall für den Erwartungswert bei bekannter Varianz

Unterseiten Beispiel: Haushaltsnettoeinkommen

Grundbegriffe

Konfidenzintervall bei Normalverteilung der Grundgesamtheit

Die Zufallsvariable $X\;$ in der Grundgesamtheit sei normalverteilt mit $E[X]=\mu$ und $Var(X)=\sigma ^{2}$:

$X\sim N(\mu ;\sigma ^{2})\;$

Dann ist

$\left[{\bar {X}}-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}};\;{\bar {X}}+z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\right]$

ein Konfidenzintervall für den unbekannten Parameter $\mu$ der normalverteilten Zufallsvariablen $X\;$ mit bekannter Varianz $\sigma ^{2}$ zum Konfidenzniveau

$P\left({\bar {X}}-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\leq \mu \leq {\bar {X}}+z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\right)=1-\alpha$

Wurde die Stichprobe gezogen und liegen die Stichprobenwerte $x_{1},\ldots ,x_{n}$ vor, dann ist

${\bar {X}}={\frac {1}{n}}\cdot \sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}$

das arithmetische Mittel dieser Stichprobe (als eine Realisation von ${\bar {X}}$) und

$\left[{\bar {X}}-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}};\;{\bar {X}}+z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\right]$

das sich für diese Stichprobe ergebende Schätzintervall.

Die allgemein gegebene Interpretation von Konfidenzintervallen bleibt uneingeschränkt gültig.

Konfidenzintervall bei unbekannter Verteilung der Grundgesamtheit

Wenn die Verteilung der Zufallsvariablen $X\;$ in der Grundgesamtheit unbekannt ist, d.h. $X\;$ beliebig verteilt ist, dann lässt sich keine exakte Aussage über die Verteilung der Schätzfunktion ${\bar {X}}$ treffen.

Aus vorhergehenden Betrachtungen über den Zentralen Grenzwertsatz ist jedoch bekannt, dass die Verteilung von ${\bar {X}}$ mit wachsendem Stichprobenumfang $n$ gegen eine Normalverteilung strebt.

Somit gilt:

Bei genügend großen Stichprobenumfang $n$ ist die Schätzfunktion ${\bar {X}}$ approximativ normalverteilt:

$X\sim N\left(\mu ;\sigma \left({\bar {X}}\right)\right)$

und die standardisierte Zufallsvariable $Z\;$ ist approximativ standardnormalverteilt:

$Z\sim N(0;1)\;$.

Als Faustregel für einen genügend großen Stichprobenumfang gilt $n\geq 30$.

Dann ist

$\left[{\bar {X}}-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}};\;{\bar {X}}+z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\right]$

ein Konfidenzintervall für den unbekannten Parameter $\mu$, das approximativ das Konfidenzniveau

$P\left({\bar {X}}-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\leq \mu \leq {\bar {X}}+z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\right)=1-\alpha$

hat.

Zusatzinformationen

Herleitung des Konfidenzintervalls bei normalverteilter Grundgesamtheit

Die Zufallsvariable $X\;$ in der Grundgesamtheit sei normalverteilt mit $E[X]=\mu$ und $Var(X)=\sigma ^{2}$:

$X\sim N(\mu ;\sigma ^{2})\;$

Während die Varianz $\sigma ^{2}$ bekannt sei, ist der Erwartungswert $\mu$ unbekannt und soll unter Verwendung einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang $n$ geschätzt werden.

Die Stichprobenvariablen $X_{1},\ldots ,X_{n}$ sind dann unabhängig und ebenfalls normalverteilt mit $E[X]=\mu$ und $Var(X)=\sigma ^{2}$:

$X_{i}\sim N(\mu ;\sigma ^{2})\;\forall {i}$

Daraus folgt, dass auch die Schätzfunktion ${\bar {X}}$ normalverteilt ist mit dem Erwartungswert $E\left[{\bar {X}}\right]=\mu$ und der Varianz $\sigma ^{2}({\bar {x}})={\frac {\sigma ^{2}}{n}}$:

${\bar {X}}\sim N\left(\mu ,\sigma ^{2}\left({\bar {X}}\right)\right)$

Die standardisierte Zufallsvariable

$z={\frac {{\bar {X}}-\mu }{\sigma ({\bar {X}})}}={\cfrac {{\bar {X}}-\mu }{\cfrac {\sigma }{\sqrt {n}}}}={\sqrt {n}}\cdot {\frac {{\bar {X}}-\mu }{\sigma }}$

ist standardnormalverteilt: $Z\sim N(0,1)\;$.

Für die standardisierte Zufallsvariable lässt sich ein zentrales Schwankungsintervall angeben, in dem $Z\;$ Realisationen mit einer vorgegebenen Sicherheitswahrscheinlichkeit

$P(z_{\frac {\alpha }{2}}\leq Z\leq z_{1-{\frac {\alpha }{2}}})=1-\alpha$

annimmt.

Dabei ist $z_{\frac {\alpha }{2}}$ das ${\frac {\alpha }{2}}$-Quantil und $z_{\frac {\alpha }{2}}$ das $\left(1-{\frac {\alpha }{2}}\right)$-Quantil der Standardnormalverteilung.

Aufgrund der Symmetrie der Standardnormalverteilung gilt:

$|z_{\frac {\alpha }{2}}|=|z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}|$ und $z_{\frac {\alpha }{2}}=-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}$

Damit folgt:

$P\left(-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\leq Z\leq z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\right)=1-\alpha$

Für die Wahrscheinlichkeit $1-\alpha$ findet man $z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}$ in der Tabelle der Standardnormalverteilung.

Nach Einsetzen von $Z$ und einigen elementaren Umformungen der Ungleichung erhält man:

$P\left(-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\leq Z\leq z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\right)=1-\alpha$

$P\left(-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\leq {\sqrt {n}}\cdot {\frac {{\bar {X}}-\mu }{\sigma }}\leq z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\right)=1-\alpha$

$P\left(-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\leq {\bar {X}}-\mu \leq z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\right)=1-\alpha$

$P\left({\bar {X}}-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\leq \mu \leq {\bar {X}}+z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\right)=1-\alpha$

Mit dem letzten Ausdruck ist das Konfidenzniveau für ein Konfidenzintervall für $\mu$ gegeben.

Der Faktor $c$ als Vielfaches der Standardabweichung der Schätzfunktion ergibt sich zu: $c=z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}$.

Die Bedingungen für ein Konfidenzintervall sind erfüllt, denn die Verteilung ist bekannt (Standardnormalverteilung) und sie hängt nicht von dem unbekannten Parameter $\mu$ ab.

Charakteristika des Konfidenzintervalls bei normalverteilter Grundgesamtheit

• Das angegebene Konfidenzintervall ist ein bezüglich der Wahrscheinlichkeit symmetrisches Konfidenzintervall, denn es gilt:

$P\left(\mu <{\bar {X}}-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\right)={\frac {\alpha }{2}}=P\left({\bar {X}}+z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}<\mu \right)$

• Das Konfidenzintervall weist eine weitere Symmetrieeigenschaft auf: Es ist symmetrisch bezüglich der Punktschätzung.

Die Grenzen des Intervalls haben zu ${\bar {X}}$ den gleichen Abstand. Dieser Abstand, d.h. die halbe Länge des Intervalls, wird in diesem Fall auch als Schätzfehler bezeichnet und mit $e$ symbolisiert.

$e=z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}$

• Die Länge des Konfidenzintervalls

$\left({\bar {X}}+z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\right)-\left({\bar {X}}-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\right)=2z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}$

und der Schätzfehler $e$ hängen nicht von den Stichprobenvariablen $X_{1},\ldots ,X_{n}$ ab.

Bei gegebenen $\sigma$, $n$ und $1-\alpha$ ergeben sich von Stichprobe zu Stichprobe unterschiedliche Schätzintervalle, die aber alle die gleiche feste Länge bzw. den gleichen festen Schätzfehler aufweisen.

• Die Länge des Konfidenzintervalls und der Schätzfehler hängen von der Standardabweichung $s$ der Grundgesamtheit, vom Stichprobenumfang $n$ und über $z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}$ vom vorgegebenen Konfidenzniveau ab.

Je größer (kleiner) die Standardabweichung $\sigma$ ist, desto breiter (schmaler) ist unter sonst gleichen Bedingungen das Intervall.

Je größer (kleiner) das Konfidenzniveau $1-\alpha$ ist, um so größer (kleiner) ist $z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}$ und umso breiter (schmaler) ist unter sonst gleichen Bedingungen das Intervall.

Je größer (kleiner) der Stichprobenumfang ist, desto schmaler (breiter) ist unter sonst gleichen Bedingungen das Intervall.

Im Zusammenspiel von Konfidenzniveau und Stichprobenumfang lässt sich somit eine Steuerung für das Konfidenzintervall erreichen.