Konfidenzintervall für die Differenz zweier Erwartungswerte

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Schätztheorie

Grundbegriffe der Schätztheorie • Gütekriterien einer Schätzfunktion • Mittlere quadratische Abweichung (stochastisch) • Erwartungstreue • Effizienz • Konsistenz • Maximum-Likelihood-Methode • Kleinste-Quadrate-Methode • Intervallschätzung • Konfidenzintervall für den Erwartungswert • Konfidenzintervall für den Erwartungswert bei bekannter Varianz • Konfidenzintervall für den Erwartungswert bei unbekannter Varianz • Konfidenzintervall für den Anteilswert • Konfidenzintervall für die Varianz • Konfidenzintervall für die Differenz zweier Erwartungswerte • Bestimmung des Stichprobenumfangs • Multiple Choice • Video • Aufgaben • Lösungen
Absolute Effizienz • Asymptotische Erwartungstreue • Bias • Breite des Konfidenzintervalls • Einseitiges Konfidenzintervall • Grenzen des Konfidenzintervalls • Grenzen des Schätzintervalls • Irrtumswahrscheinlichkeit • Kleinste-Quadrate-Schätzer • Konfidenzintervall • Konfidenzniveau • Konfidenzwahrscheinlichkeit • KQ-Methode • KQ-Schätzer • Länge des Konfidenzintervalls • Likelihood-Funktion • Log-Likelihood-Funktion • Maximum-Likelihood-Schätzer • Maximum-Likelihood-Schätzung • Mean Square Error • Methode der kleinsten Quadrate • ML-Schätzer • ML-Schätzung • Parameterschätzung • Punktschätzung • Realisiertes Konfidenzintervall • Relative Effizienz • Schätzer • Schätzfehler • Schätzfunktion • Schätzintervall • Schätzung • Schätzverfahren • Schätzwert • Symmetrisches Konfidenzintervall • Unbiasedness • Unverzerrtheit • Vertrauenswahrscheinlichkeit • Verzerrung • Zentrales Konfidenzintervall • Zufallsintervall • Zweiseitiges Konfidenzintervall

Grundbegriffe

Konfidenzintervall für die Differenz zweier Erwartungswerte

Von den vielen Möglichkeiten, Konfidenzintervalle für die Differenz zweier Erwartungswerte zu konstruieren, wird nur diejenige behandelt, für die nachstehende Voraussetzungen gelten:

  • Gegeben sind zwei Grundgesamtheiten, in denen die Zufallsvariablen und normalverteilt sind mit bzw. und bzw. , d.h. und .

Von besonderem Interesse bei der praktischen Anwendung von Konfidenzintervallen für die Differenz zweier Erwartungswerte ist es, ob der Wert 0 dabei überdeckt wird oder nicht.

Sobald das aus den Stichproben resultierende Schätzintervall den Wert nicht einschließt, ist ein Unterschied zwischen und auf dem verwendeten Konfidenzniveau bedeutsam.

Da die Zufallsvariablen und normalverteilt sind, gilt dies auch für die Stichprobenmittelwerte und (vgl. Abschnitt "Verteilung des Stichprobenmittelwertes").

Weiterhin sind:

Zusammenfassend kann geschrieben werden:

Aufgrund der Reproduktivitätseigenschaft der Normalverteilung folgt, dass die Differenz der beiden Stichprobenmittelwerte

ebenfalls normalverteilt ist mit dem Erwartungswert

und der Varianz

Die standardisierte Zufallsvariable

ist demzufolge standardnormalverteilt .

Anhand des Nenners von wird deutlich, dass für die Konstruktion von Konfidenzintervallen für unterschieden werden muss nach:

Konfidenzintervall für die Differenz zweier Erwartungswerte bei bekannten Varianzen

Bei Gültigkeit der eingangs genannten Voraussetzungen und bekannten Varianzen und ist

ein Konfidenzintervall für die Differenz zweier Erwartungswerte zum Konfidenzniveau

Für die vorgegebene Wahrscheinlichkeit findet man aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung.

Wurden die beiden Stichproben gezogen, erhält man ein entsprechendes Schätzintervall.

Sofern keine Normalverteilung in den beiden Grundgesamtheiten unterstellt werden kann, die beiden Stichprobenumfänge jedoch und sind, kann wegen des zentralen Grenzwertsatzes das Konfidenzintervall ebenfalls verwendet werden. Das Konfidenzniveau ist dann approximativ .

Konfidenzintervall für die Differenz zweier Erwartungswerte bei unbekannten Varianzen

In diesem Fall werden und mittels der erwartungstreuen und konsistenten Schätzfunktionen

aus den Stichproben geschätzt.

Annahme der Varianzhomogenität

Unter der Annahme der Varianzhomogenität, d.h. beide Grundgesamtheiten haben gleiche Varianz , ergibt sich eine Schätzung für die gemeinsame Varianz als gewogenes arithmetisches Mittel aus den beiden Stichprobenvarianzen:

wird auch als pooled variance bezeichnet.

Als Schätzfunktion für folgt:

Die Standardabweichung als Wurzel aus wird für die Standardisierung verwendet, so dass die sich ergebende Zufallsvariable

einer t-Verteilung mit der Anzahl der Freiheitsgrade folgt.

Mit diesen Ergebnissen lässt sich ein Konfidenzintervall angeben:

Bei Gültigkeit der eingangs genannten Voraussetzungen und unbekannten gleichen Varianzen ist:

ein Konfidenzintervall für die Differenz zweier Erwartungswerte zum Konfidenzniveau

Für die vorgegebene Wahrscheinlichkeit findet man in der Tabelle der Verteilungsfunktion der t-Verteilung.

Sofern die beiden Stichprobenumfänge genügend groß sind (Faustregel: und ) kann durch aus der Standardnormalverteilung ersetzt werden. Das Konfidenzniveau ist dann approximativ .

Annahme der Varianzheterogenität

Unter der Annahme der Varianzheterogenität, d.h. beide Grundgesamtheiten haben ungleiche Varianz ergibt sich als Schätzfunktion für

Wenn die beiden Stichprobenumfänge genügend groß sind ( und ), lässt sich folgende Aussage treffen:

Bei Gültigkeit der eingangs genannten Voraussetzungen und unbekannten ungleichen Varianzen und ist

ein approximatives Konfidenzintervall für die Differenz zweier Erwartungswerte zum näherungsweisen Konfidenzniveau

Für die vorgegebene Wahrscheinlichkeit findet man aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung.

Für kleine Stichprobenumfänge und gibt es die Möglichkeit, unter Verwendung der t-Verteilung Konfidenzintervalle für anzugeben.

Zusatzinformationen

Charakteristika des Konfidenzintervalls bei bekannten Varianzen

Charakteristika des Konfidenzintervalls bei unbekannten Varianzen