Grundbegriffe
Effizienz
Gegeben seien zwei erwartungstreue Schätzfunktionen
und
mit gleichem
Stichprobenumfang
zur Schätzung des unbekannten Parameters
.
Somit gilt:
und
Relative Effizienz
Die Schätzfunktion
heißt relativ effizient zu
, wenn die Varianz von
kleiner ist als die Varianz von
, also
Absolute Effizienz
Die Schätzfunktion
heißt absolut effizient für
, wenn sie im Vergleich zu jeder anderen erwartungstreuen Schätzfunktion für
die kleinste Varianz aufweist.
Zusatzinformationen
Effizienz wichtiger Schätzfunktionen
Stichprobenmittelwert
- Für einfache Zufallsstichproben gilt:
![{\displaystyle {\sigma ^{2}\left({\bar {X}}\right)={\frac {\sigma ^{2}}{n}}}}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=e5c16e82aaf486db65b06d4334506bfd&mode=mathml)
- Weiterhin lässt sich zeigen, dass
![{\displaystyle \sigma ^{2}\left({\bar {X_{z}}}\right)={\frac {\pi }{2}}\cdot {\frac {\sigma ^{2}}{n}}=1,571\;\sigma ^{2}\cdot \left({\bar {X}}\right)}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=92b84754e0b8ce38ddcf3673845ebe03&mode=mathml)
- und damit
![{\displaystyle \sigma ^{2}({\bar {X}})<\sigma ^{2}({\bar {X_{z}}})}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=50fe80e12eb8977d011cd8c271eaf7a4&mode=mathml)
- ist.
- Der Stichprobenmittelwert
ist relativ effizient gegenüber dem Stichprobenmedian
.
Stichprobenanteilswert
Der Stichprobenanteilswert
ist eine absolut effiziente Schätzfunktion für den unbekannten Anteilswert
einer dichotomen Grundgesamtheit, d.h. für alle Bernoulli-Verteilungen.
Stichprobenvarianz
Bei bekanntem Erwartungswert
einer normalverteilten Grundgesamtheit können für die Schätzung der unbekannten Varianz
der Grundgesamtheit die Schätzfunktionen
verwendet werden. Wie bereits gezeigt, sind beide Schätzfunktionen erwartungstreu:
und
mit den Varianzen
bzw.
.
ist relativ effizient gegenüber
.
Die Beispiele zeigen, dass der Vergleich von Schätzfunktionen jeweils für eine Klasse von zugelassenen Verteilungen erfolgt.
Beispiele
Beste Schätzfunktion
Eine Grundgesamtheit habe den Mittelwert
und die Varianz
. Es sei
eine einfache (theoretische) Zufallsstichprobe aus dieser Grundgesamtheit.
Jede der Stichprobenvariablen
hat
und
. Folgende drei Schätzfunktionen sind gegeben:
![{\displaystyle {\hat {\Theta }}_{1}={\frac {1}{3}}(X_{1}+X_{2}+X_{3})}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=c9c2ecabdb4b84b3ca5a645cf7766452&mode=mathml)
![{\displaystyle {\hat {\Theta }}_{2}={\frac {1}{4}}(2X_{1}+2X_{3})}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=dbbf3e9596fafbae3d077aa1d31e0af3&mode=mathml)
![{\displaystyle {\hat {\Theta }}_{3}={\frac {1}{3}}(2X_{1}+X_{2})}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=be461674802b288ca8d3b957f67ff89f&mode=mathml)
Welche dieser Schätzfunktionen sind erwartungstreu? Welche Schätzfunktion erhält nach dem Kriterium der Effizienz den Vorzug?
Alle drei Schätzfunktionen sind erwartungstreu, wobei
berücksichtigt
wurde:
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Betrachtung der Varianz der Schätzfunktionen:
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Nach dem Kriterium der Effizienz erhält die erste Schätzfunktion den Vorzug, da sie die geringste Varianz aufweist.
Die erste Schätzfunktion ist relativ effizient gegenüber der zweiten und dritten Schätzfunktion.
Da sie den Stichprobenmittelwert beinhaltet, ist sie auch absolut effizient.