Konfidenzintervall für den Erwartungswert

Aus MM*Stat

Wechseln zu: Navigation, Suche

Schätztheorie

Grundbegriffe der Schätztheorie • Gütekriterien einer Schätzfunktion • Mittlere quadratische Abweichung (stochastisch) • Erwartungstreue • Effizienz • Konsistenz • Maximum-Likelihood-Methode • Kleinste-Quadrate-Methode • Intervallschätzung • Konfidenzintervall für den Erwartungswert • Konfidenzintervall für den Erwartungswert bei bekannter Varianz • Konfidenzintervall für den Erwartungswert bei unbekannter Varianz • Konfidenzintervall für den Anteilswert • Konfidenzintervall für die Varianz • Konfidenzintervall für die Differenz zweier Erwartungswerte • Bestimmung des Stichprobenumfangs • Multiple Choice • Video • Aufgaben • Lösungen
Absolute Effizienz • Asymptotische Erwartungstreue • Bias • Breite des Konfidenzintervalls • Einseitiges Konfidenzintervall • Grenzen des Konfidenzintervalls • Grenzen des Schätzintervalls • Irrtumswahrscheinlichkeit • Kleinste-Quadrate-Schätzer • Konfidenzintervall • Konfidenzniveau • Konfidenzwahrscheinlichkeit • KQ-Methode • KQ-Schätzer • Länge des Konfidenzintervalls • Likelihood-Funktion • Log-Likelihood-Funktion • Maximum-Likelihood-Schätzer • Maximum-Likelihood-Schätzung • Mean Square Error • Methode der kleinsten Quadrate • ML-Schätzer • ML-Schätzung • Parameterschätzung • Punktschätzung • Realisiertes Konfidenzintervall • Relative Effizienz • Schätzer • Schätzfehler • Schätzfunktion • Schätzintervall • Schätzung • Schätzverfahren • Schätzwert • Symmetrisches Konfidenzintervall • Unbiasedness • Unverzerrtheit • Vertrauenswahrscheinlichkeit • Verzerrung • Zentrales Konfidenzintervall • Zufallsintervall • Zweiseitiges Konfidenzintervall

Grundbegriffe

Konfidenzintervall für den Erwartungswert

Die Zufallsvariable in der Grundgesamtheit habe den unbekannten Erwartungswert , für den eine Intervallschätzung erfolgen soll.

seien die Stichprobenvariablen einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang aus dieser Grundgesamtheit.

Es wurde bereits gezeigt, dass der Stichprobenmittelwert

ein geeigneter Punktschätzer für den unbekannten Erwartungswert der Grundgesamtheit ist, da der Schätzer erwartungstreu und konsistent ist.

Die Varianz und die Standardabweichung von sind im Falle einer einfachen Zufallsstichprobe (siehe Abschnitt Stichprobenverteilungen) gegeben mit

Für die Konstruktion eines symmetrischen Konfidenzintervalls für wird

  • von der Schätzfunktion ausgegangen,
  • die Standardabweichung als Präzisionsmaß verwendet und
  • ein Faktor als Vielfaches der Standardabweichung von berücksichtigt, über den das vorgegebene Konfidenzniveau einbezogen wird.

Damit das Intervall

bzw. nach Einsetzen von

ein Konfidenzintervall zum Konfidenzniveau

sein kann, müssen die beiden Bedingungen für ein Konfidenzintervall erfüllt sein.

Die erste Bedingung für alle möglichen realisierbaren Stichproben

ist erfüllt.

Die Erfüllung der zweiten Bedingung

, wobei die Wahrscheinlichkeit tatsächlich (bzw. approximativ) und ohne Kenntnis des wahren Wertes des Parameters bestimmbar sein muss, setzt jedoch die Kenntnis der Verteilung der Schätzfunktion und damit der Verteilung der Zufallsvariablen in der Grundgesamtheit voraus.

Das bereitet oftmals erhebliche praktische Schwierigkeiten, da im Allgemeinen die Verteilung von unbekannt ist.

Es werden hier die Fälle betrachtet, dass

Ein weiteres Problem liegt darin, dass in den Intervallgrenzen die Standardabweichung der Zufallsvariablen in der Grundgesamtheit enthalten ist, so dass nach den beiden Möglichkeiten

  • ist bekannt und
  • ist unbekannt

unterschieden werden muss.

In den Unterkapiteln

werden diese Fälle gesondert betrachtet.