Konfidenzintervall für den Anteilswert

Grundbegriffe

Konfidenzintervall für den Anteilswert

Vorausgesetzt wird eine dichotome Grundgesamtheit, in der ein unbekannter Anteil von Elementen eine Eigenschaft $A$ aufweist und ein Anteil $1-\pi$ diese Eigenschaft nicht besitzt.

Es soll eine Intervallschätzung für $\pi$ durchgeführt, d.h. ein Konfidenzintervall für den unbekannten Anteilswert $\pi$ der Grundgesamtheit konstruiert werden.

Aus dieser Grundgesamtheit wird eine einfache Zufallsstichprobe vom Umfang $n$ gezogen, so dass die Stichprobenvariablen $X_{1},\ldots ,X_{n}$ unabhängig und identisch Bernoulli-verteilt sind (siehe im Abschnitt Binomialverteilung).

Es wurde bereits gezeigt, dass der Stichprobenanteilswert

${\widehat {\pi }}={\frac {X}{n}}={\frac {1}{n}}\cdot \sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}$

mit dem Erwartungswert

$E\left[{\widehat {\pi }}\right]=\pi$

und der Varianz

$Var({\widehat {\pi }})=\sigma ^{2}({\widehat {\pi }})={\frac {\pi \cdot (1-\pi )}{n}}$

eine erwartungstreue und konsistente Schätzfunktion für $\pi$ ist (siehe Abschnitt Eigenschaften von Schätzfunktionen).

Da für kleine Stichprobenumfänge die Konstruktion von Konfidenzintervallen sehr aufwendig ist, wird hier nur die Situation betrachtet, dass der Stichprobenumfang $n$ hinreichend groß ist, so dass die standardisierte Zufallsvariable

$Z={\frac {{\widehat {\pi }}-\pi }{\sigma ({\widehat {\pi }})}}={\frac {{\widehat {\pi }}-\pi }{\sqrt {\frac {\pi \cdot (1-\pi )}{n}}}}$

aufgrund des zentralen Grenzwertsatzes approximativ standardnormalverteilt ist: $Z\sim N(0;1)\;$.

Somit gilt die Wahrscheinlichkeitsaussage

$P\left(-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\leq {\frac {{\widehat {\pi }}-\pi }{\sigma ({\widehat {\pi }})}}\leq z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\right)\approx 1-\alpha$

wobei man $z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}$ aus der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung zur vorgegebenen Wahrscheinlichkeit $1-\alpha$ erhält.

Hieraus lässt sich noch kein geeignetes Konfidenzintervall für $\pi$ gewinnen, denn bei unbekanntem $\pi$ ist auch die Varianz der Schätzfunktion ${\widehat {\pi }}$ unbekannt.

Diese Varianz muss ebenfalls aus der Stichprobe geschätzt werden.

Ersetzt man in $Var({\widehat {\pi }})$ den unbekannten Anteilswert $\pi$ durch die Schätzfunktion ${\widehat {\pi }}$, dann erhält man eine konsistente Schätzfunktion für die Varianz von ${\widehat {\pi }}$:

${\widehat {\sigma ^{2}}}({\widehat {\pi }})={\sqrt {\frac {{\widehat {\pi }}\cdot (1-{\widehat {\pi }})}{n}}}$

Aus

$P\left(-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\leq {\frac {{\widehat {\pi }}-\pi }{{\hat {\sigma }}({\widehat {\pi }})}}\leq z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\right)\approx 1-\alpha$

lässt sich nunmehr durch elementare Umformungen das Konfidenzniveau herleiten:

$P\left({\widehat {\pi }}-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\sqrt {\frac {{\widehat {\pi }}\cdot (1-{\widehat {\pi }})}{n}}}\;\leq \;\pi \;\leq \;{\widehat {\pi }}+z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\sqrt {\frac {{\widehat {\pi }}\cdot (1-{\widehat {\pi }})}{n}}}\right)\approx 1-\alpha$

Damit ist für sehr große Stichprobenumfänge ein approximatives Konfidenzintervall für den unbekannten Anteilswert $\pi$ einer dichotomen Grundgesamtheit gegeben durch

$\left[{\widehat {\pi }}-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\sqrt {\frac {{\widehat {\pi }}\cdot (1-{\widehat {\pi }})}{n}}},\quad {\widehat {\pi }}+z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\sqrt {\frac {{\widehat {\pi }}\cdot (1-{\widehat {\pi }})}{n}}}\right]$

Für eine ausreichende Approximation an die Normalverteilung muss der Stichprobenumfang $n\geq 30$ sein, sollte jedoch möglichst größer gewählt werden, etwa $n\geq 100$.

Für eine konkrete Stichprobe erhält man das Schätzintervall

$\left[P-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\sqrt {\frac {p\cdot (1-p)}{n}}};\;P+z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\sqrt {\frac {p\cdot (1-p)}{n}}}\right]$,

worin $p={\frac {x}{n}}$ die relative Häufigkeit des Auftretens von Elementen mit der Eigenschaft $A$ in der Stichprobe und $x$ deren Anzahl in der Stichprobe sind.

Zusatzinformationen

Charakteristika des Konfidenzintervalls

• Das Konfidenzintervall ist ein bezüglich der Wahrscheinlichkeit symmetrisches Intervall.

$P\left(\pi <{\widehat {\pi }}-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\sqrt {\frac {{\widehat {\pi }}\cdot (1-{\widehat {\pi }})}{n}}}\right)\approx {\frac {\alpha }{2}}\approx P\left({\widehat {\pi }}+z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\sqrt {\frac {{\widehat {\pi }}\cdot (1-{\widehat {\pi }})}{n}}}<\pi \right)$

• Das Konfidenzintervall ist symmetrisch bezüglich der Punktschätzung. Die Grenzen des Intervalls haben zu ${\hat {\pi }}$ den gleichen Abstand.

• Die Länge $L$ des Konfidenzintervalls und der Schätzfehler $E$

$L=2\cdot z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\sqrt {\frac {{\widehat {\pi }}\cdot (1-{\widehat {\pi }})}{n}}},\quad E=z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\sqrt {\frac {{\widehat {\pi }}\cdot (1-{\widehat {\pi }})}{n}}}$

sind Zufallsvariablen, da sie über ${\widehat {\pi }}$ vom Stichprobenergebnis abhängen.

• Die Länge $L$ des Konfidenzintervalls und der Schätzfehler $E$ hängen weiterhin vom vorgegebenen Konfidenzniveau $1-\alpha$ und vom Stichprobenumfang $n$ ab.

Information zur Schätzung der Varianz des Anteilswertes

Die Varianz der Schätzfunktion ${\widehat {\pi }}$

$Var({\widehat {\pi }})=\sigma ^{2}({\widehat {\pi }})={\frac {\pi \cdot (1-\pi )}{n}}$

ist unbekannt, da sie den unbekannten Anteilswert $\pi$ enthält.

Diese Varianz muss ebenfalls aus der Stichprobe geschätzt werden, indem $\pi$ durch den Schätzer ${\widehat {\pi }}$ ersetzt wird.

Die Rechtfertigung für die Substituierung ist durch die Tatsache gegeben, dass der Erwartungswert von ${\widehat {\pi }}\cdot (1-{\widehat {\pi }})$ mit größer werdendem Stichprobenumfang $n$ gegen $\pi \cdot (1-\pi )$ strebt:

$\lim _{n\rightarrow \infty }E[{\widehat {\pi }}\cdot (1-{\widehat {\pi }})]=\pi \cdot (1-\pi ).$

Dies lässt sich in der folgenden Weise zeigen. Es ist zunächst

$E\left[{\widehat {\pi }}\cdot (1-{\widehat {\pi }})\right]=E\left[{\frac {X}{n}}\cdot \left(1-{\frac {X}{n}}\right)\right]\cdot {\frac {1}{n}}\cdot E[X]-{\frac {1}{n^{2}}}\cdot E\left[X^{2}\right]$

Aufgrund des Verschiebungssatzes gilt

$Var(X)=E\left[X^{2}\right]-\left(E\left[X\right]\right)^{2}$ und somit $E\left[{X}^{2}\right]=Var(X)+\left(E\left[X\right]\right)^{2}$.

$X\;$ als die Anzahl des Eintretens von $A$ in der Stichprobe ist binomialverteilt mit $E\left[X\right]=n\cdot \pi$ und

$Var(X)=N\cdot \pi \cdot (1-\pi )$, so dass folgt:

$E\left[X^{2}\right]=Var(X)+\left(E\left[X\right]\right)^{2}=n\cdot \pi \cdot (1-\pi )+(n\cdot \pi )^{2}$

Diese Ergebnisse werden für die weitere Herleitung genutzt:

$E[{\widehat {\pi }}\cdot (1-{\widehat {\pi }})]$	$=E\left[{\frac {X}{n}}\cdot \left(1-{\frac {X}{n}}\right)\right]={\frac {1}{n}}\cdot E[X]-{\frac {1}{n^{2}}}\cdot E\left[X^{2}\right]$
	$={\frac {1}{n}}\cdot n\cdot \pi -{\frac {1}{n^{2}}}\cdot \left[n\cdot \pi \cdot \left(1-\pi \right)+\left(n\cdot \pi \right)^{2}\right]$
	$={\frac {1}{n}}\cdot \left[n\cdot \pi -{\frac {1}{n}}\cdot \left(n\cdot \pi -n\cdot \pi ^{2}+n^{2}\cdot \pi ^{2}\right)\right]$
	$={\frac {1}{n}}\cdot \left(n\cdot \pi -\pi +\pi ^{2}-n\cdot \pi ^{2}\right)$
	$={\frac {\pi }{n}}\cdot \left(n-1+\pi -n\cdot \pi \right)$
	$={\frac {\pi }{n}}\cdot \left(n-1\right)\cdot \left(1-\pi \right)={\frac {n-1}{n}}\cdot \pi \cdot \left(1-\pi \right)$

Für $n\rightarrow \infty$ geht ${\frac {n-1}{n}}$ gegen 1, so dass gilt:

$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {n-1}{n}}\cdot \pi \cdot (1-\pi )=\pi \cdot (1-\pi )$

Beispiele

Sonntagsfrage

Der Generalsekretär der Partei F möchte wegen der 5%-Klausel wissen, wie die Chancen seiner Partei sind, bei der nächsten Wahl in den Bundestag einzuziehen.

Er beauftragt ein Meinungsforschungsinstitut mit einer Umfrage. Dieses Meinungsforschungsinstitut wählt zufällig $n=2000$ wahlberechtigte Bürger aus und stellt ihnen die Frage:

"Wenn am kommenden Sonntag Bundestagswahl wäre, welcher Partei würden sie ihre Stimme geben?"

Im Ergebnis der Umfrage entschieden sich 103 Befragte für die Partei F.

Auf einem Konfidenzniveau von $1-\alpha =0,95$ soll ein Konfidenzintervall für den Anteil $p$ der Wähler der Partei F bestimmt werden.

Aus statistischer Sicht ergeben sich folgende Überlegungen:

• Damit gesichert ist, dass ein bereits befragter Bürger nicht noch einmal ausgewählt wird, wird das Zufallsauswahlmodell ohne Zurücklegen angewandt. Bei der Stichprobe handelt es sich um eine uneingeschränkte Zufallsstichprobe.

• Da die Grundgesamtheit aller wahlberechtigten Bürger jedoch sehr groß ist, spielt die Tatsache, dass ohne Zurücklegen gezogen wird, keine Rolle, denn die Verteilung in der Grundgesamtheit verändert sich dadurch kaum. Die Stichprobe kann somit als eine einfache Zufallsstichprobe angesehen werden.

• Da das Interesse auf die Partei F gerichtet ist, wird das Ereignis $A$ als "Wähle die Partei F" und das Komplementärereignis ${\bar {A}}$ als "Wähle nicht die Partei F" definiert.

Es gibt somit nur zwei mögliche Ereignisse bei der Befragung. Die Grundgesamtheit ist dichotom. Der Anteil der Wähler der Partei F in der Grundgesamtheit ist $\pi =P(A)$.

• Aufgrund des großen Stichprobenumfangs $n=2000$ kann ein approximatives Konfidenzintervall gemäß

$\left[{\widehat {\pi }}-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\sqrt {\frac {{\widehat {\pi }}\cdot (1-{\widehat {\pi }})}{n}}},\quad {\widehat {\pi }}+z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\sqrt {\frac {{\widehat {\pi }}\cdot (1-{\widehat {\pi }})}{n}}}\right]$

berechnet werden, das näherungsweise das Konfidenzniveau von $1-\alpha =0,95$ aufweist.

Aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung findet man für $1-{\frac {\alpha }{2}}=0,975$ den Wert $z_{0,975}=1,96$.

Mit dem Ergebnis der Stichprobe ergibt sich ein Stichprobenanteilswert von

$p={\frac {103}{2000}}=0,0515$

und ein Schätzintervall von

$\left[0,0515-1,96\cdot {\sqrt {\frac {0,0515\cdot 0,9485}{2000}}},\;0,0515+1,96\cdot {\sqrt {\frac {0,0515\cdot 0,9485}{2000}}}\right]=[4,18\%;\;6,12\%]$

Das Schätzintervall $[4,18\%;\;6,12\%]$ überdeckt die 5%, die zum Einzug einer Partei in den Bundestag erforderlich sind.

Bei einem näherungsweisen Konfidenzniveau von 95% ist nicht gesichert, dass die Partei F im nächsten Bundestag vertreten sein wird.