Schwankungsintervall

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Verteilungsmodelle

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Grundbegriffe

Schwankungsintervall, Sicherheits- und Überschreitungswahrscheinlichkeit

Ein Schwankungsintervall für die Zufallsvariable X\, ist ein Bereich mit festen Grenzen x_{u}\, und x_{o}(x_{u}\leq x_{o}), in dem die Zufallsvariable X Realisationen x mit einer vorgegebenen Sicherheitswahrscheinlichkeit 1 - \alpha annimmt, d.h. (1 - \alpha)\cdot 100% aller Realisationen von X\, liegen in diesem Intervall und \alpha aller Realisationen von X\, außerhalb des Intervalls.

\alpha wird als Überschreitungswahrscheinlichkeit bezeichnet.

Zentrales Schwankungsintervall

Konstruiert man das Intervall um den bekannten Erwartungswert \mu der Zufallsvariablen X\, derart, dass den beiden Bereichen außerhalb der Grenzen des Intervalls jeweils die gleiche Wahrscheinlichkeit \alpha/2 zugeordnet ist, dann heißt

[x_u \leq X \leq x_o] = [\mu - k \leq X \leq \mu + k]

ein zentrales Schwankungsintervall mit der Sicherheitswahrscheinlichkeit

P(x_u \leq X \leq x_o) = 1 - \alpha.

Um die Bedeutung der Standardabweichung als Streuungsparameter hervorzuheben, misst man die Abweichung k von \mu oftmals in Vielfachen von \sigma, so dass das zentrale Schwankungsintervall die Form

[\mu - c\cdot \sigma \leq X \leq \mu + c\cdot \sigma]

hat.

Ist die Zufallsvariable X\; N(\mu, \sigma)-verteilt, so folgt für x= \mu + c\cdot \sigma

z= \frac{x - \mu}{\sigma} = \frac{\mu + c\cdot \sigma - \mu}{\sigma}= c

und P(Z \leq z) = \Phi(z) = 1 - \frac{\alpha}{2}.

Der Wert z_{1-\frac{\alpha}{2}} kann für die Wahrscheinlichkeit 1 -\frac{\alpha}{2} aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung entnommen werden.

Somit ist das zentrale Schwankungsintervall für eine normalverteilte Zufallsvariable mit

[\mu - z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot \sigma \leq X \leq \mu + z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot \sigma]

und die Wahrscheinlichkeit dieses Intervalls mit

P(\mu - z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot \sigma \leq X \leq \mu + z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot \sigma) = 1 - \alpha

gegeben.

Wegen

P(-z \leq Z \leq z) = P(Z \leq z) - P(Z \leq -z) = P(Z \leq z) - [1 - P(Z \leq z)] = 2P(Z \leq z)-1,

folgt

P(\mu - z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot \sigma \leq X \leq \mu + z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot \sigma) = 2 \Phi(z) - 1.

Für vorgegebenes z lässt sich die Sicherheitswahrscheinlichkeit für das zentrale Schwankungsintervall ermitteln, z.B.

P(\mu -z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot \sigma \leq X \leq \mu +z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot \sigma )=
\begin{cases}
0,6827\quad \mbox{, wenn}\quad z_{1-\frac{\alpha}{2}}=1\\
0,9545\quad \mbox{, wenn}\quad z_{1-\frac{\alpha}{2}}=2\\
0,9973\quad \mbox{, wenn}\quad z_{1-\frac{\alpha}{2}}=3
\end{cases}

Umgekehrt findet man für eine vorgegebene Sicherheitswahrscheinlichkeit 1-\alpha den zugehörigen z-Wert, z.B. für P(\mu -z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot \sigma \leq X \leq\mu+z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot \sigma ) = 0,95 den Wert z = 1,96.

Beispiele

Schwankungsintervall

Gegeben sei eine Zufallsvariable X\,, die N(100;10)-verteilt ist.

Gesucht ist ein symmetrischer Bereich um den Mittelwert, so dass 99% der Realisationen von X in diesem Bereich liegen.

0,99\, =P(x_u\leq X\leq x_o)
=P(\frac{x_u-100}{10}\leq Z\leq \frac{x_o-100}{10})
=P(-z\leq Z\leq z)
=2\cdot \Phi(z)-1
\Phi(z)=\frac{1,99}{2}=0,995

Für die Wahrscheinlichkeit von 0,995 findet man aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung den Wert z = 2,58.

Damit sind

x_o = \mu + z \cdot \sigma = 100 + 2,58 \cdot 10 = 125,8
x_u = \mu - z \cdot \sigma = 100 - 2,58 \cdot 10 = 74,2

und somit P(74,2 \leq X \leq 125,8) = 0,99.

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 99% liegt die Zufallsvariable X\, im Intervall \left[74,2;125,8\right].