500 Haushalte
Haushaltsgröße , ist beliebig verteilt mit
und ![{\displaystyle Var(X)=\sigma ^{2}}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=14c206e7f7d57210bef18b81baaafc8a&mode=mathml)
: Durchschnittliche Haushaltsgröße bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang ![{\displaystyle n=100}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=c16c52f3fe312da49aff76ecef67b03c&mode=mathml)
ist approximativ (zentraler Grenzwertsatz;
)
–verteilt.
,
, ![{\displaystyle z_{1-\alpha /2}=z_{0,975}=1,96}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=13acb2b1402ef2747a28c04c1e30bd41&mode=mathml)
![{\displaystyle P({\overline {X}}-z_{1-\alpha /2}\cdot S/{\sqrt {n}}\leq \mu \leq {\overline {X}}+z_{1-\alpha /2}\cdot S/{\sqrt {n}})\approx 1-\alpha =0,95}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=9cf507f14ace8c25ad0b2afbbda4d02b&mode=mathml)
,
Absolventen der Fakultät
![{\displaystyle 1-\alpha /2=0,975;\quad z_{0,975}=1,96;\quad e=0,2;\quad n\geq z_{1-\alpha /2}^{2}/4e^{2};\quad n\geq 1,96^{2}/4\cdot 0,2^{2}=3,8416/0,16=24,01\rightarrow n\geq 25}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=97f73776aa98ab30247264b7406971e3&mode=mathml)
Antibiotikumtabletten
Grundgesamtheit:
: “Wirkstoffgehalt je Tablette”; ![{\displaystyle X\sim N(\mu ;10)}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=77ff364cb517a0adda1ff19bbf70b020&mode=mathml)
: “Durchschnittlicher Wirkstoffgehalt je Tablette bei einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang
”; ![{\displaystyle {\overline {X}}\sim N(\mu ;10/{\sqrt {n}})}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=e0f3f67845e6fdaf1e53b9668ed837b3&mode=mathml)
![{\displaystyle P({\overline {X}}-2\leq \mu \leq {\overline {X}}+2)=P({\overline {X}}-z_{1-\alpha /2}\cdot 10/{\sqrt {n}}\leq \mu \leq {\overline {X}}+z_{1-\alpha /2}\cdot 10/{\sqrt {n}})=0,98}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=7611bf93ecc4204129dfc41e5381c1cc&mode=mathml)
Apfelsinen
“Gewicht der Apfelsinen” ![{\displaystyle \sim N(\mu ;\sigma =20g)}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=c261465265dcd39133b21e5080dbc2cc&mode=mathml)
- Einfache Zufallsstichprobe mit
![{\displaystyle n=25}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=d6f98e38ebd1790e327c4a657bfca8fb&mode=mathml)
- Summe des Gewichts:
![{\displaystyle 7500g\Rightarrow {\bar {x}}={\frac {7500}{25}}=300g}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=71e0cc8b35cea28c808d0e344aa7cf38&mode=mathml)
Allgemeines Konfidenzintervall für den Mittelwert
der Grundgesamtheit:
aus
, da
bekannt
Schätzintervall für den Mittelwert
der Grundgesamtheit:
Grundgesamtheit: X: Gewicht einer Apfelsine; Normalverteilung und
g bekannt;
: Durchschnittsgewicht einer Apfelsine in einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang
,
;
;
Schätzintervall:
;
; ![{\displaystyle z_{0,9032}=1,3}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=2ae885cacd54d5d9f7f7a063b384f85c&mode=mathml)
Brikett
![{\displaystyle X:{\mbox{ Gewicht eines Briketts }}X\sim N(500;50)}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=a45434a46dba5222f6455d0ddba8d26a&mode=mathml)
![{\displaystyle {\overline {X}}:{\mbox{ Durchschnittliches Gewicht eines Briketts bei einer Zufallsstichprobe }}n=25}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=0c10247852d2507fcf82c6d26d24edb3&mode=mathml)
;
;
;
;
Dichotome Grundgesamtheit
;
Dioxinausstoß
: Dioxinausstoß [kg/min], ![{\displaystyle X\sim N(5;1)}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=1149221b93deb4e2d0a0f1e2e48303f5&mode=mathml)
: Durchschnittlicher Dioxinausstoß [kg/min],
- Berechnung der statistischen Sicherheit für ein gegebenes Schwankungsintervall
![{\displaystyle P\left(\mu -c\cdot \displaystyle {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\leq {\overline {X}}\leq \mu +c\cdot \displaystyle {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\right)=1-\alpha }](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=dd86e7be5aa54c91e19b03dd3cccc878&mode=mathml)
?
![{\displaystyle P\left(\displaystyle {\frac {4-5}{1}}{\sqrt {9}}\leq {\overline {X}}\leq \displaystyle {\frac {6-5}{1}}{\sqrt {9}}\right)=P(-3\leq Z\leq 3)=2\cdot P(Z\leq 3)-1}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=b445388701c88b824e08c1431e5b75a9&mode=mathml)
![{\displaystyle =2\cdot 0,99865-1=0,9973}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=1143b10f9e64fcda1201c1bfe32b1605&mode=mathml)
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 99,73% liegt der Durchschnitt einer Stichprobe vom Umfang
zwischen 4 und 6 kg/min Dioxinausstoß.
- symmetrisches Schwankungsintervall gesucht bei gegebener statistischer Sicherheit
![{\displaystyle P\left(\mu -c\displaystyle {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\leq {\overline {X}}\leq \mu +c\displaystyle {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\right)=0,95}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=977361510239cca83b820074b8842af8&mode=mathml)
![{\displaystyle P\left(5-\displaystyle {\frac {c}{3}}\leq {\overline {X}}\leq 5+\displaystyle {\frac {c}{3}}\right)=0,95}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=9f1d1008aed27c4830c6fa789deb5a50&mode=mathml)
![{\displaystyle c_{0,975}=1,96}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=25c65a2abcf3f800cfd20669cda64811&mode=mathml)
![{\displaystyle n\geq \displaystyle {\frac {\sigma ^{2}\cdot z_{1-\alpha /2}^{2}}{e^{2}}}}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=2731035152fa758640c46ffb96ad6b92&mode=mathml)
![{\displaystyle \Leftrightarrow n\geq \displaystyle {\frac {1\cdot 1,96^{2}}{0,5^{2}}}=15,37\approx 16}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=89cd8ea5d5167491759781320043e141&mode=mathml)
Um mit einer Sicherheit von 95% den durchschnittlichen Dioxinausstoß auf 0,5 kg/min genau schätzen zu können, benötigt man einen Stichprobenumfang von mindestens 16 Zeitintervallen.
![{\displaystyle P\left({\overline {X}}-c\cdot \displaystyle {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\leq \mu \leq {\overline {X}}+c\cdot \displaystyle {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\right)=1-\alpha }](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=94ceb84163c777ab94c05cfa907b88b1&mode=mathml)
aus
;
;
;
kg/min; ![{\displaystyle \sigma =1}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=c45775a317b5816f521570d2eb6ab787&mode=mathml)
Eintagsfliegen
Lebensdauer von Eintagsfliegen
,
und
unbekannt
(kleine Stichprobe);
;
, ![{\displaystyle s=240}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=584abd552d8a0328263350a6b740ebf0&mode=mathml)
Schätzintervall:
(aus t-Verteilung);
![{\displaystyle 1-\alpha =0,99}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=40117f9199f62dc627f2b46489b05214&mode=mathml)
Erwartungstreue
einfache Zufallsstichprobe
![{\displaystyle X_{i}\sim (\mu ;\sigma ^{2})}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=39c8ce74d6bf85d00af135bece3db169&mode=mathml)
unabhängig
![{\displaystyle {\begin{aligned}E({\widehat {\theta }}_{1})&=E\left({\frac {1}{3}}(X_{1}+X_{2}+X_{3})\right)\\&={\frac {1}{3}}\left(E(X_{1})+E(X_{2})+E(X_{3})\right)={\frac {1}{3}}\cdot 3\mu =\mu \\E({\widehat {\theta }}_{2})&=E\left({\frac {1}{4}}(2X_{1}+2X_{2})\right)=\\&={\frac {1}{4}}\left(2E(X_{1})+2E(X_{2})\right)={\frac {1}{4}}\cdot 4\mu =\mu \\E({\widehat {\theta }}_{3})&=E\left({\frac {1}{3}}(2X_{1}+X_{3})\right)\\&={\frac {1}{3}}\left(2E(X_{1})+E(X_{3})\right)={\frac {1}{3}}\cdot 3\mu =\mu \end{aligned}}}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=a3a6f994b17b1dbf0b3d2af574628fed&mode=mathml)
![{\displaystyle Var({\widehat {\theta }}_{1})<Var({\widehat {\theta }}_{2})<Var({\widehat {\theta }}_{3})}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=20698d413389b91c8819ba0925ea1e2b&mode=mathml)
- alle drei, führen Sie den Beweis !
![{\displaystyle Var({\widehat {\theta }}_{1})=\sigma ^{2}/3<Var({\widehat {\theta }}_{2})=\sigma ^{2}/2<Var({\widehat {\theta }}_{3})=5\sigma ^{2}/9\Rightarrow {\widehat {\theta }}_{1}}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=891f8cb6a83923836e85621264733f53&mode=mathml)
Fahrradschläuche
: “Durchmesser eines Fahrradschlauches”;
: “Mittlerer Durchmesser eines Fahrradschlauches bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang
”;
aus t–Verteilung mit
: ![{\displaystyle c=1,711}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=7768ca39dd7378029dabd353db1316c5&mode=mathml)
![{\displaystyle [39,9734;42,0266]}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=44797d2d017f4e331c5f011e7762cc91&mode=mathml)
![{\displaystyle n\geq 293}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=51defdf76a84efa1f798da374dd0fe0c&mode=mathml)
Faktenmagazin
Konfidenzintervall für den Erwartungswert
:![{\displaystyle \ \left[{\overline {x}}-t_{1-\alpha /2;f}{\frac {s}{\sqrt {n}}};{\overline {x}}+t_{1-\alpha /2;f}{\frac {s}{\sqrt {n}}}\right]}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=1f2002bbb7fc8dfa9d98c3465512c426&mode=mathml)
![{\displaystyle t_{0,995;24}=2,797}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=ed049ef622911ddb632a430f793fbe65&mode=mathml)
Finanzamt
![{\displaystyle L(\lambda )=\lambda ^{3}\cdot e-^{9\lambda }}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=5c6e31a140f19291bd11a867d7ffe46b&mode=mathml)
Frau Hurtig
Fluggesellschaft
![{\displaystyle 1-\alpha /2=0,995;\quad z_{0,995}=2,58}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=c539bb42802cca05dc98fed17bba456a&mode=mathml)
![{\displaystyle 0,9\pm 2,58{\sqrt {\displaystyle {\frac {0,9\cdot 0,1}{200}}}}}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=de5fe436dee18e7c9806dd21f7246c49&mode=mathml)
![{\displaystyle [84,5\%;95,5\%]}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=e61d554ef1102ee7d23fb593d2f0227a&mode=mathml)
Gasverbrauch
;
![{\displaystyle [\mu -t_{1-\alpha /2;f}\cdot s/{\sqrt {n}};\mu +t_{1-\alpha /2;f}\cdot s/{\sqrt {n}}]}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=2fbec4bc6399657e0a9014157aaa7119&mode=mathml)
; ![{\displaystyle {\frac {{\bar {X}}-\mu }{S/{\sqrt {n}}}}\sim t_{f}\approx N(0;1)}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=010f4237801874dec8366a31c16b1608&mode=mathml)
;
;
;
; ![{\displaystyle z_{0,975}=1,96}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=569d3e13469037128159cba003c3ee89&mode=mathml)
Glücksspiel
Ertrag , ist beliebig verteilt mit
und ![{\displaystyle Var(X)=\sigma ^{2}}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=14c206e7f7d57210bef18b81baaafc8a&mode=mathml)
: Durchschnittlicher Ertrag bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang ![{\displaystyle n=50}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=13a6243a7081aad7f2da7a22e54aea0a&mode=mathml)
ist approximativ (zentraler Grenzwertsatz;
)
–verteilt.
, ![{\displaystyle z_{1-\alpha /2}=z_{0,975}=1,96}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=13acb2b1402ef2747a28c04c1e30bd41&mode=mathml)
![{\displaystyle P({\overline {X}}-z_{1-\alpha /2}\cdot S/{\sqrt {n}}\leq \mu \leq {\overline {X}}+z_{1-\alpha /2}\cdot S/{\sqrt {n}})\approx 1-\alpha =0,95}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=c34a467d0ee89e4dd4570b89d22f1e89&mode=mathml)
![{\displaystyle [{\overline {x}}-z_{1-\alpha /2}\cdot s/{\sqrt {n}}\leq \mu \leq {\overline {x}}+z_{1-\alpha /2}\cdot s/{\sqrt {n}}]\approx [-0,58-1,96\cdot {\sqrt {0,0164}};-0,58+1,96\cdot {\sqrt {0,0164}}]\approx [-0,831;-0,329]}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=5fbc54240be5619f4d66248cc8566dc9&mode=mathml)
Handybesitzer
Da keine Information über
in Form einer Vorstichprobe oder anderweitig gegeben ist, wird der ungünstigste Fall angenommen und
so gewählt, dass die Varianz
maximal wird. Dieser ungünstigste Fall tritt bei
ein.
![{\displaystyle 1-\alpha =0,95;\quad z_{0,975}=1,96\quad \ell =0,06}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=3bdc518cfb5867909c7054e7943d51e1&mode=mathml)
![{\displaystyle n=z_{1-\alpha /2}^{2}/\ell ^{2}=1,96^{2}/0,06^{2}=3,8416/0,0036=1067,11\rightarrow n=1068}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=06a8c01ec203a3512d3bb9173c702e26&mode=mathml)
Jährliche Fahrleistung 2
Jährliche Fahrleistung ,
ist normalverteilt
unbekannt,
, ![{\displaystyle n=20,f=19,1-\alpha =0,95,t_{1-0,975;19}=2,093}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=7996b865ce0c7cc7b2861e60d4d89726&mode=mathml)
;
;
![{\displaystyle \left[25-2,093\cdot {\sqrt {\displaystyle {\frac {80}{20}}}};25+2,093\cdot {\sqrt {\displaystyle {\frac {80}{20}}}}\right]=[25-4,186;25+4,186]=[20,814;29,186]}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=f8011a8b16eb1e15474f0855694f8f20&mode=mathml)
Jährliche Fahrleistung 3
Jährliche Fahrleistung ,
ist normalverteilt
,
unbekannt,
,
,
ist approximativ normalverteilt (
)
Konfidenzniveau
; ![{\displaystyle z_{0,975}=1,96}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=569d3e13469037128159cba003c3ee89&mode=mathml)
Schätzintervall:![{\displaystyle \left[25\pm 1,96\cdot {\sqrt {\frac {90,25}{100}}}\right]=[25\pm 1,96\cdot 0,95]=[25\pm 1,862]=[23,138;26,862]}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=6205099834d13ffe3d81de497fbb032b&mode=mathml)
Jährliche Fahrleistung
, so dass
![{\displaystyle \left[{\overline {x}}-t_{1-\alpha /2;n-1}\cdot {\frac {\displaystyle s}{\displaystyle {\sqrt {n}}}};{\overline {x}}+t_{1-\alpha /2;n-1}\cdot {\frac {\displaystyle s}{\displaystyle {\sqrt {n}}}}\right]}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=d28d34713b79e402fdd03d75d42c73b6&mode=mathml)
;
;
;
; ![{\displaystyle t_{0,975;19}=2,093}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=9552d1a173b9909d0b48184a0532f877&mode=mathml)
![{\displaystyle \left[25-2,093\displaystyle {\sqrt {\frac {\displaystyle 80}{\displaystyle 20}}};25+2,093\displaystyle {\sqrt {\frac {\displaystyle 80}{\displaystyle 20}}}\right]}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=c8fbc37e3f1e954be5b98ab75afaf8ce&mode=mathml)
![{\displaystyle =[25-4,186;25+4,186]}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=9b0e31a523bcabfde5725b6fbb0a585c&mode=mathml)
Kaltwasserverbrauch
X: Kaltwasserverbrauch pro Spülgang; ![{\displaystyle X\sim N(\mu ;\sigma )=N(\mu ;2)}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=4f139bd5e2040ed44e394d05adf9a046&mode=mathml)
: Durchschnittlicher Kaltwasserverbrauch in einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang n; ![{\displaystyle {\overline {X}}\sim N(\mu ;\sigma /{\sqrt {n}})=N(\mu ;2/{\sqrt {n}})}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=52d5f4d8f8b2d997404299cfb0e13284&mode=mathml)
Konfidenzniveau:
;
aus
;
;
;
;
;
Kilometerleistung
,
km,
km bekannt
Allgemeines Konfidenzintervall für den Mittelwert
der Grundgesamtheit
aus
, da
bekannt ![{\displaystyle \Longrightarrow c=z_{1-\alpha /2}}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=dc80ed2e94735d13e6eeecb56c07b1e1&mode=mathml)
Schätzintervall für den Mittelwert
der Grundgesamtheit
![{\displaystyle \left[50-1,96{\frac {7}{\sqrt {49}}};50+1,96{\frac {7}{\sqrt {49}}}\right]=\left[48,04;51,96\right]}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=5c42ddfed77369d72c6d33d6ee7492a8&mode=mathml)
Schätzintervall für den Mittelwert
der Grundgesamtheit, Breite fix,
variabel
Breite: ![{\displaystyle {\begin{aligned}v_{o}-v_{u}&=&\left(50+1,96{\frac {7}{\sqrt {n}}}\right)-\left(50-1,96{\frac {7}{\sqrt {n}}}\right)\\2{\text{ km }}&=&{\frac {2\cdot 1,96\cdot 7{\text{ km}}}{\sqrt {n}}}\\{\sqrt {n}}&=&13,72\Rightarrow n=188,23{\text{ also }}n\geq 189\\\end{aligned}}}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=6064b020d119fbb3135dd29705530ab5&mode=mathml)
“Anzahl der ADAC Mitglieder” ![{\displaystyle \sim B(200;\pi )}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=92c213c9769eecb156d96c6e39320ce0&mode=mathml)
Approximationsbedingung: ![{\displaystyle {\hat {\pi }}={\frac {40}{200}}=0,2\Rightarrow n\pi (1-\pi )\approx 200\cdot 0,2\cdot 0,8=32>9}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=84bd3ada799e0ea34f4e07f689bd7ade&mode=mathml)
![{\displaystyle {\begin{aligned}Y&\approx &N\left(\mu =n\pi ;\sigma ={\sqrt {n\pi (1-\pi )}}\right)\\{\hat {\pi }}={\frac {Y}{n}}&\approx &N\left(\mu =\pi ;\sigma ={\sqrt {\frac {\pi (1-\pi )}{n}}}\right)\end{aligned}}}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=f97e913218d4c34e56f9954f8e292dca&mode=mathml)
Konfidenzintervall
aus
, da
bekannt ![{\displaystyle \Longrightarrow c=z_{1-\alpha /2}}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=dc80ed2e94735d13e6eeecb56c07b1e1&mode=mathml)
Schätzintervall
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left[0,2-2,58{\sqrt {\frac {0,2\cdot (1-0,2)}{200}}};0,2+2,58{\sqrt {\frac {0,2\cdot (1-0,2)}{200}}}\right]\\&=[0,12703;0,27297]\end{aligned}}}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=a1940ce4ea3af652c8896eda474b093c&mode=mathml)
![{\displaystyle {\begin{aligned}n&=&5\\{\bar {x}}&=&{\frac {0,18+0,25+0,12+0,20+0,25}{5}}=0,2\\s^{2}\%&=&{\frac {(0,18-0,2)^{2}+(0,25-0,2)^{2}+(0,12-0,2)^{2}+(0,20-0,2)^{2}+(0,25-0,2)^{2}}{4}}\\&=&{\frac {0,0004+0,0025+0,0064+0+0,0005}{4}}=0,00295\\\end{aligned}}}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=0e0e8986179803c0b25299840a5a669a&mode=mathml)
Allgemeines Konfidenzintervall für den Mittelwert
der Grundgesamtheit
aus
, da
unbekannt ![{\displaystyle \Longrightarrow c=t_{n-1;1-\alpha /2}}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=fbb1225dd0a1f9e591b373807b42ccc3&mode=mathml)
Schätzintervall
![{\displaystyle \left[0,2-2,776{\sqrt {\frac {0,00295}{5}}};0,2+2,776{\sqrt {\frac {0,00295}{5}}}\right]=[0,1326;0,2674]}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=4074eeb5e456915c76a4526981097c67&mode=mathml)
: “Fahrleistung eines PKW’s”;
;
beliebig verteilt mit
,
: “Durchschnittliche Fahrleistung eines PKW’s bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang
”;
ist approximativ
– Zentraler Grenzwertsatz,
aus
; ![{\displaystyle c=1,96}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=b8dab8dd2c78ad4f8d95206b4772f5c5&mode=mathml)
![{\displaystyle [48,04;51,96]}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=24dbcc55be6d5b45f101e228181d7adc&mode=mathml)
![{\displaystyle n\geq 189}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=4f548ee9633a0c34b449d14c1fd63f09&mode=mathml)
: “Anzahl der ADAC-Mitglieder bei einer Zufallsstichprobe
”
; wegen Erfüllung der Approximationsbedingungen folgt:
ist approximativ
und
ist approximativ
verteilt
aus
;
;
: “Füllmenge eines Bechers”;
: “Durchschnittliche Füllmenge eines Bechers bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang
”;
aus t–Verteilung mit
; ![{\displaystyle c=2,776}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=d3d3291363bcc4f5286966fe586082cf&mode=mathml)
![{\displaystyle [0,1326;0,2674]}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=5a18912e2fd5fdf78b3a1ccb7acec92b&mode=mathml)
Konfidenzniveau 2
;
;
;
;
;
;
;
;
; ![{\displaystyle 1-\alpha =0,942566}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=910db83968d1a4bf775cabc4ff34d667&mode=mathml)
Konfidenzniveau
;
;
;
;
;
;
;
;
;
![{\displaystyle 1-\alpha =0,983604}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=6ad1bf1d4c516b396d2d33a45455e9c5&mode=mathml)
Konzentration des Stoffes E
X: Konzentration von E im Wasser; ![{\displaystyle X\sim N(\mu ;\sigma )}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=5f3aa21719396f4330f561aa886be6e2&mode=mathml)
:Mittlere Konzentration von E im Wasser bei Zufallsstichprobe
; ![{\displaystyle {\overline {X}}\sim N(\mu ;\sigma /{\sqrt {n}})}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=52403f2ab4f63e71d175ea0369deb14b&mode=mathml)
unbekannt, mittels
schätzen
ist t-verteilt mit
Freiheitsgraden
;
;
; ![{\displaystyle t_{8;0,95}=1,86}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=c7faeb0e2bccc7e1d781fe3ec6cb3f12&mode=mathml)
![{\displaystyle [10-1,86\cdot 4/3;10+1,86\cdot 4/3]=[7,520;12,480]}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=2bec3fe859111abb0e5c2c4f926b82ba&mode=mathml)
Kugelschreiber
Gewicht der Schreibminen:
; Gewicht der Metallfedern:
; Gewicht der Kunststoffhüllen: ![{\displaystyle H\sim N(\mu _{H};\sigma _{H})=N(\mu _{H};0,4)}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=14bc55f127707aff0520421ca99f170c&mode=mathml)
Gesamtgewicht eines Kugelschreibers:
; ![{\displaystyle X\sim N(\mu _{X};\sigma _{X})=N(\mu _{X};0,6)}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=e58695cc096ecf87cf149c033c2e4f4e&mode=mathml)
(wegen Unabhängigkeit von M, F und H)
: Durchschnittsgewicht eines Kugelschreibers in einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang
;
; ![{\displaystyle \sigma /{\sqrt {n}}=0,6/5=0,12}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=b6c5de0fb3480232b8c1efd3aafac0eb&mode=mathml)
Konfidenzniveau:
;
aus ![{\displaystyle N(0;1)}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=ebc6409b4c50e4b19feb484419fca9b6&mode=mathml)
; ![{\displaystyle {\overline {x}}=375/25=15}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=e5324e11c7749df39f01fc81b3b01875&mode=mathml)
Schätzintervall:
![{\displaystyle [{\overline {x}}-z_{1-\alpha /2}\cdot \sigma /{\sqrt {n}};{\overline {x}}+z_{1-\alpha /2}\cdot \sigma /{\sqrt {n}}]}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=f103c717f3f7c381f346a8a9f97a0321&mode=mathml)
![{\displaystyle [15-1,3\cdot 0,12;15+1,3\cdot 0,12]=[14,844;15,156]}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=7e7c1e11809873191824ea21deef6f14&mode=mathml)
Lampen
: “Anzahl der defekten Lampen in der Stichprobe”
mit ![{\displaystyle \pi =d/N}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=7fdedf7a344935f694c04cdb8e18d142&mode=mathml)
“Intuitive” Schätzfunktion: ![{\displaystyle {\widehat {\theta }}=N/n\cdot X=50X}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=78b2f86b9f89067a3fa3c3690de8ab55&mode=mathml)
![{\displaystyle E({\widehat {\theta }})=N/n\cdot E(X)=N/n\cdot n\cdot d/N=d}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=bf739b742a6d51bfabc6ac26c2831305&mode=mathml)
![{\displaystyle \vartheta =150}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=bfdefcdaf1a378ed5953031cfc21f9cc&mode=mathml)
Die einfache Zufallsstichprobe wird durch ein Ziehen mit Zurücklegen realisiert, d.h. mit geringer Wahrscheinlichkeit wird die gleiche Lampe zweimal gezogen. Sinnvoller wäre hier ein Ziehen ohne Zurücklegen, d.h. eine uneingeschränkte Zufallsstichprobe.
An dem Ergebnis in a) ändert sich nichts, da
ist (
).
Langlebensdauergarantie
Brenndauer, ist beliebig verteilt mit
und ![{\displaystyle Var(X)=\sigma ^{2}}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=14c206e7f7d57210bef18b81baaafc8a&mode=mathml)
: Durchschnittliche Brenndauer bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang ![{\displaystyle n=100}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=c16c52f3fe312da49aff76ecef67b03c&mode=mathml)
ist approximativ (zentraler Grenzwertsatz;
)
–verteilt.
,
, ![{\displaystyle z_{1-\alpha /2}=z_{0,99}=2,33}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=027ba2bea7335109f18d85545c3ee082&mode=mathml)
;
![{\displaystyle [{\overline {x}}-z_{1-\alpha /2}\cdot s/{\sqrt {n}}\leq \mu \leq {\overline {x}}+z_{1-\alpha /2}\cdot s/{\sqrt {n}}]}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=2a5b8a88790dbfd0afcba25253c19a89&mode=mathml)
![{\displaystyle \approx [1300-2,33\cdot 100/{\sqrt {100}};1300+2,33\cdot 100/{\sqrt {100}}]\approx [1276,7;1323,3]}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=a36eea8ce6d649a73f2c4d0f5d2ce610&mode=mathml)
Likelihood-Funktion
Love–Parade
Ausgaben,
ist beliebig verteilt mit
und ![{\displaystyle Var(X)=\sigma ^{2}}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=14c206e7f7d57210bef18b81baaafc8a&mode=mathml)
: Durchschnittliche Ausgaben bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang ![{\displaystyle n=100}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=c16c52f3fe312da49aff76ecef67b03c&mode=mathml)
ist approximativ (zentraler Grenzwertsatz;
)
–verteilt.
,
, ![{\displaystyle z_{1-\alpha /2}=z_{0,975}=1,96}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=13acb2b1402ef2747a28c04c1e30bd41&mode=mathml)
Mietverein 2
: Mietpreis einer 80m
–Altbauwohnung
ist beliebig verteilt mit
und ![{\displaystyle Var(X)=\sigma ^{2}}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=14c206e7f7d57210bef18b81baaafc8a&mode=mathml)
: Durchschnittlicher Mietpreis einer 80m
–Altbauwohnung bei einer Zufallsstichprobe von ![{\displaystyle n=36}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=171a77ef4a47a27906d2d275a9554077&mode=mathml)
ist approximativ (zentraler Grenzwertsatz;
)
–verteilt.
ist unbekannt und wird mittels der Stichprobenfunktion
geschätzt.
;
aus
;
; ![{\displaystyle s=180}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=603fd8cbb7654119e676ed64e7dd6c41&mode=mathml)
Mietverein
;
;
;
; ![{\displaystyle z_{0,975}=1,96}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=569d3e13469037128159cba003c3ee89&mode=mathml)
![{\displaystyle n\geq (4\sigma ^{2}z_{1-\alpha /2}^{2})\ell ^{2}}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=be6edebc5f0ab086f7e404814b2a84e4&mode=mathml)
![{\displaystyle n\geq (4\cdot 180^{2}\cdot 1,96^{2})/120^{2}=(4\cdot 32400\cdot 3,8416)/14400=497871,36/14400=34,5744}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=81aeccef5c9c366717ff612eadc88844&mode=mathml)
![{\displaystyle n\geq 35}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=cadfa9101b7aac634e2926c944bc720d&mode=mathml)
Milchfettgehalt
X:Milchfettgehalt,
,
,
Aus der vorliegenden Tabelle der Standardnormalverteilung findet man für
den Wert
, so dass der gesuchte Wert
ist.
![{\displaystyle (x-3,7352)/0,09=-0,28;\quad {\textbf {x=3,71}}}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=d5cb98a9f215bdc4c9b9be31782e2942&mode=mathml)
Mittelwert und Varianz
als Schätzwert für
;
als Schätzwert für ![{\displaystyle \sigma ^{2}}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=73d89de3405cd8aa6d6722bac0793fc4&mode=mathml)
Notwendiger Stichprobenumfang
Da keine Informationen über
in Form einer Vorstichprobe gegeben sind, wird der ungünstigste Fall angenommen und
so gewählt, dass die Varianz
maximal wird. Dieser ungünstigste Fall tritt bei
ein.
![{\displaystyle 1-\alpha =0,99;\quad z_{0,995}=2,58;\quad \ell =0,05;}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=07925129c7ee3940f869f4e283016acc&mode=mathml)
PKWs in Berlin
Da keine Informationen über
in Form einer Vorstichprobe gegeben sind, wird der ungünstigste Fall angenommen und
so gewählt, dass die Varianz
maximal ist. Dieser ungünstigste Fall tritt bei
ein.
;
;
;
;
.
Schwankungsintervall
Zentrales Schwankungsintervall:
![{\displaystyle \left[\mu -c\cdot {\frac {\displaystyle \sigma }{\displaystyle {\sqrt {n}}}};\mu +c\cdot {\frac {\displaystyle \sigma }{\displaystyle {\sqrt {n}}}}\right]}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=2af168613678867cabe8c1beb85921c4&mode=mathml)
Sicherheitswahrscheinlichkeit:
![{\displaystyle P\left(\mu -c\cdot {\frac {\displaystyle \sigma }{\displaystyle {\sqrt {n}}}}<{\overline {X}}<\mu +c\cdot {\frac {\displaystyle \sigma }{\displaystyle {\sqrt {n}}}}\right)=1-\alpha }](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=b425e5c30ed838eab32453b583bba8f1&mode=mathml)
![{\displaystyle 1-\alpha /2=0,975;\;c=1,96}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=450d63538998be71a4f4cfe81847210e&mode=mathml)
![{\displaystyle \mu -c\cdot {\frac {\displaystyle \sigma }{\displaystyle {\sqrt {n}}}}=354-1,96\cdot {\frac {\displaystyle 22,5}{\displaystyle {\sqrt {81}}}}=354-1,96\cdot 2,5=354-4,9=349,1}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=00a9f140bc0f00b06373780f2071a11d&mode=mathml)
![{\displaystyle \mu +c\cdot {\frac {\displaystyle \sigma }{\displaystyle {\sqrt {n}}}}=354+1,96\cdot {\frac {\displaystyle 22,5}{\sqrt {\displaystyle 81}}}=354+1,96\cdot 2,5=354+4,9=358,9}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=0c9b286adf4f9292008092b54cb6899a&mode=mathml)
Schweinemäster
: “Gewicht eines Schweins”;
: “Durchschnittliches Gewicht eines Schweins bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang
”;
; ![{\displaystyle s^{2}=6}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=247846280d38120f86366fd394bdeb87&mode=mathml)
aus t–Verteilung mit
: ![{\displaystyle c=2,571}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=9a0ce2322336a33251317723044e6dde&mode=mathml)
![{\displaystyle [97,429;102,571]}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=0ecb637668f6949773831b75e7c6ea4f&mode=mathml)
- Wird dieses Verfahren der Intervallschätzung “unendlich oft” durchgeführt, so kann man mit (durchschnittlich) 95% richtigen Ergebnissen rechnen; d.h. Schätzintervallen, in denen der unbekannte Wert enthalten ist.
- durch die Wahl von
bzw. ![{\displaystyle \alpha }](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=7b7f9dbfea05c83784f8b85149852f08&mode=mathml)
- Intervall wird kleiner: statt
aus t–Verteilung ist
aus
zu verwenden.
Spielautomat
- Beim 1. Spiel Verlust von 1 EUR; beim 2. Spiel Gewinn von 1 EUR; ...
;
; P![{\displaystyle (X=1)=1-2p}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=adae74977c08158d486a563e9196fb86&mode=mathml)
;
; ![{\displaystyle f(X=1)=3/6}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=5d32f896b91e59b0475d1b375c77f71a&mode=mathml)
![{\displaystyle L(x_{1},...,x_{6}|p)=p^{3}\cdot (1-2p)^{3}}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=cad000057b49e2baef03bc7daa10b2dc&mode=mathml)
- Anzahl der verlorenen Spiele;
- Anzahl der unentschiedenen Spiele;
- Anzahl der gewonnenen Spiele;
![{\displaystyle {\widehat {p}}=1/4}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=d2537488af13851417997c8bca189afe&mode=mathml)
![{\displaystyle {\widehat {p}}=5/18}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=3c08abe1ca505e4b56aed8b1ad89eb4d&mode=mathml)
Sportliche Betätigung
![{\displaystyle 1-\alpha /2=0,99506\quad z_{0,99506}=2,58\quad {\hat {\pi }}=180/200=0,9}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=62918a7364ac6ab52e07b9b044adf19e&mode=mathml)
Da
sehr groß, Schätzfunktion
approx. normalverteilt.![{\displaystyle \left[{\hat {\pi }}\pm z_{1-\alpha /2}\cdot {\sqrt {\frac {{\hat {\pi }}(1-{\hat {\pi }})}{n}}}\right]}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=e49a13d5acdb3140e23fb0c5ad843843&mode=mathml)
![{\displaystyle =0,9\pm 2,58{\sqrt {\frac {0,9\cdot 0,1}{200}}}=0,9\pm 2,58\cdot 0,0212132=0,9\pm 0,05473}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=c7b5ae6d773e9fad3d47abdeea110a6d&mode=mathml)
Startprobleme
![{\displaystyle L(p)=(1-p)^{8}\cdot p^{2}}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=0cbb871ee0965319d4e716596f54c4c5&mode=mathml)
![{\displaystyle {\widehat {p}}=0,2}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=1dc2f1ca77a560546a64ed00b3e0ed09&mode=mathml)
Stichprobenmittelwert
; ![{\displaystyle [\mu -t_{1-\alpha /2;f}\cdot s/{\sqrt {n}};\mu +t_{1-\alpha /2;f}\cdot s/{\sqrt {n}}]}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=2fbec4bc6399657e0a9014157aaa7119&mode=mathml)
;
;
;
;
;
; ![{\displaystyle t_{0,995;24}=2,797}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=ed049ef622911ddb632a430f793fbe65&mode=mathml)
![{\displaystyle [5-2,797\cdot 2/5;5+2,797\cdot 2/5]=5-1,1188;5+1,1188]=[3,8812;6,1188]}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=c859b0834e4e130a178e2d0c3c5d7bd6&mode=mathml)
Studienmotivation
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![{\displaystyle {\begin{aligned}E(X_{i})&=&0\cdot \pi _{0}+1\cdot \pi _{1}+2\cdot \pi _{2}=\pi _{1}+2\cdot \pi _{2}\\E({\widehat {\pi }}_{1})&=&E\left({\frac {1}{10}}\sum _{i=1}^{10}(2X_{i}-X_{i}^{2})\right)={\frac {1}{10}}\sum _{i=1}^{10}\left(2E(X_{i})-E(X_{i}^{2})\right)\end{aligned}}}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=37bd8dc0492d1840239b50eef81a7fc9&mode=mathml)
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![{\displaystyle {\begin{aligned}\displaystyle E(X_{i}^{2})&=&0\cdot \pi _{0}+1\cdot \pi _{1}+4\cdot \pi _{2}=\pi _{1}+4\cdot \pi _{2}\\E({\widehat {\pi }}_{1})&=&{\frac {1}{10}}\sum _{i=1}^{10}\left(2(\pi _{1}+2\pi _{2})-(\pi _{1}+4\pi _{2})\right)={\frac {1}{10}}\sum _{i=1}^{10}\pi _{1}=\pi _{1}\\E({\widehat {\pi }}_{2})&=&E\left({\frac {1}{20}}\sum _{i=1}^{10}(X_{i}^{2}-X_{i})\right)={\frac {1}{20}}\sum _{i=1}^{10}\left(E(X_{i}^{2})-E(X_{i})\right)\\&=&{\frac {1}{20}}\sum _{i=1}^{10}\left((\pi _{1}+4\pi _{2})-(\pi _{1}+2\pi _{2})\right)={\frac {1}{20}}\sum _{i=1}^{10}2\pi _{2}=\pi _{2}\end{aligned}}}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=9c76d5ef9bb9d40bf6cb86f1643b9e57&mode=mathml)
Schätzfunktion: ![{\displaystyle {\widehat {\pi }}_{0}=1-{\widehat {\pi }}_{1}-{\widehat {\pi }}_{2}}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=6700fd7034e80347182fa3dbbd090f13&mode=mathml)
![{\displaystyle {\begin{aligned}E({\widehat {\pi }}_{0})&=&E(1-{\widehat {\pi }}_{1}-{\widehat {\pi }}_{2})\\&=&1-E({\widehat {\pi }}_{1})-E({\widehat {\pi }}_{2})\\&=&1-\pi _{1}-\pi _{2}=\pi _{0}\end{aligned}}}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=ff1a9cff2c5e4de2bcbf1d0e212a2580&mode=mathml)
Stichprobe:
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![{\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {\pi }}_{1}&=&{\frac {1}{10}}\sum _{i=1}^{10}(2x_{i}-x_{i}^{2})={\frac {0+0+1+0+0+0+0+1+0+0}{10}}=0,2\\{\widehat {\pi }}_{2}&=&{\frac {1}{20}}\sum _{i=1}^{10}(x_{i}^{2}-x_{i})={\frac {0+2+0+0+0+2+2+0+0+2}{20}}=0,4\\{\widehat {\pi }}_{0}&=&1-0,2-0,4=0,4\\\end{aligned}}}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=17fb351233915f50d866176e9abdc9f9&mode=mathml)
- ja, führen Sie den Beweis!
;
; ![{\displaystyle {\widehat {\pi }}_{0}={\frac {1}{10}}\sum \limits _{i=1}^{10}(1-{\frac {3}{2}}X_{i}+{\frac {1}{2}}X_{i}^{2})}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=32388a0c2fbea2ce368d774971ee0324&mode=mathml)
;
; ![{\displaystyle p_{0}=0,4}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=27affb8f3db00bc337ee36540a8ee9c3&mode=mathml)
Trinkwasserverbrauch
Wasserverbrauch, ist beliebig verteilt mit
und ![{\displaystyle Var(X)=\sigma ^{2}}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=14c206e7f7d57210bef18b81baaafc8a&mode=mathml)
: Durchschnittlicher Wasserverbrauch bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang ![{\displaystyle n=100}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=c16c52f3fe312da49aff76ecef67b03c&mode=mathml)
ist approximativ (zentraler Grenzwertsatz;
)
–verteilt.
,
, ![{\displaystyle z_{1-\alpha /2}=z_{0,975}=1,96}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=13acb2b1402ef2747a28c04c1e30bd41&mode=mathml)
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![{\displaystyle [{\overline {x}}-z_{1-\alpha /2}\cdot s/{\sqrt {n}}\leq \mu \leq {\overline {x}}+z_{1-\alpha /2}\cdot s/{\sqrt {n}}]\approx [12-1,96\cdot 5/{\sqrt {100}};12+1,96\cdot 5/{\sqrt {100}}]\approx [11,02;12,98]}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=c511f7577c6be40ebed60f47abede817&mode=mathml)
Unfallhäufigkeit
; ![{\displaystyle L_{Pol.}(0,2,0,2,1)=0,001}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=2733fec4ebb3c46e725fb09d3e3c2372&mode=mathml)
Versicherungsgesellschaft
; ![{\displaystyle Q_{Pol.}(0,2,0,2,1)=4,8}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=04c100864e94d7f9fe9e6255c6e4bcf4&mode=mathml)
Polizei
Weizenhektarerträge
Grundgesamtheit sind alle Hektarflächen in Deutschland, auf denen 1996 Weizen angebaut wurde;
: “Hektarertrag für Weizen”; Verteilung von X unbekannt;
[dt/ha]
.
: “Durchschnittlicher Hektarertrag für Weizen in Deutschland bei einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang
”
Verteilung von
unbekannt. Da aber der Stichprobenumfang
ist, kann aufgrund des Zentralen Grenzwertsatzes approximativ die Normalverteilung verwendet werden:
![{\displaystyle {\overline {X}}\sim N(\mu ;\sigma /{\sqrt {n}});\quad P({\overline {X}}-z_{1-\alpha /2}\cdot \sigma /{\sqrt {n}}\leq \mu \leq {\overline {X}}+z_{1-\alpha /2}\cdot \sigma /{\sqrt {n}})=0,8064}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=be97374a74e2cb0c9a39853c1364c4da&mode=mathml)
Schätzintervall: ![{\displaystyle [{\overline {x}}-z_{1-\alpha /2}\cdot \sigma /{\sqrt {n}};{\overline {x}}+z_{1-\alpha /2}\cdot \sigma /{\sqrt {n}}]}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=f103c717f3f7c381f346a8a9f97a0321&mode=mathml)
aus ![{\displaystyle N(0;1);\quad n=144;\quad \sigma =18}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=5a62ac5f727ecdf45dafcbb9162cbc7c&mode=mathml)
Stichprobenmittelwert für Deutschland:
dt/ha;
Schätzintervall: ![{\displaystyle [66-1,3\cdot 18/12;66+1,3\cdot 18/12]=[66-1,95;66+1,95]=[64,05;67,95]}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=39236ae32d3f9a44e0a807786b59cd2b&mode=mathml)