Schätztheorie/Lösungen

Aus MM*Stat

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500 Haushalte

Haushaltsgröße , ist beliebig verteilt mit und
: Durchschnittliche Haushaltsgröße bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang
ist approximativ (zentraler Grenzwertsatz; ) –verteilt.
, ,

,

Absolventen der Fakultät


Antibiotikumtabletten

Grundgesamtheit: : “Wirkstoffgehalt je Tablette”;
: “Durchschnittlicher Wirkstoffgehalt je Tablette bei einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang ”;

Apfelsinen

  • “Gewicht der Apfelsinen”
  • Einfache Zufallsstichprobe mit
  • Summe des Gewichts:

Allgemeines Konfidenzintervall für den Mittelwert der Grundgesamtheit: aus , da bekannt

Schätzintervall für den Mittelwert der Grundgesamtheit:

Grundgesamtheit: X: Gewicht einer Apfelsine; Normalverteilung und g bekannt; : Durchschnittsgewicht einer Apfelsine in einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang , ; ;
Schätzintervall: ; ;

Brikett



; ; ; ;

Dichotome Grundgesamtheit

;

Dioxinausstoß

: Dioxinausstoß [kg/min],
: Durchschnittlicher Dioxinausstoß [kg/min],

  • Berechnung der statistischen Sicherheit für ein gegebenes Schwankungsintervall



?




Mit einer Wahrscheinlichkeit von 99,73% liegt der Durchschnitt einer Stichprobe vom Umfang zwischen 4 und 6 kg/min Dioxinausstoß.

  • symmetrisches Schwankungsintervall gesucht bei gegebener statistischer Sicherheit












Um mit einer Sicherheit von 95% den durchschnittlichen Dioxinausstoß auf 0,5 kg/min genau schätzen zu können, benötigt man einen Stichprobenumfang von mindestens 16 Zeitintervallen.


aus

  • ; ; ; kg/min;

Eintagsfliegen

Lebensdauer von Eintagsfliegen, und unbekannt
(kleine Stichprobe); ; ,
Schätzintervall:

(aus t-Verteilung);

Erwartungstreue

  • einfache Zufallsstichprobe
  • unabhängig
  • alle drei, führen Sie den Beweis !

Fahrradschläuche

: “Durchmesser eines Fahrradschlauches”;

: “Mittlerer Durchmesser eines Fahrradschlauches bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang ”;

  • aus t–Verteilung mit :

Faktenmagazin

Konfidenzintervall für den Erwartungswert :

Finanzamt

  • Frau Hurtig

Fluggesellschaft




Gasverbrauch

;

;
; ; ; ;

Glücksspiel

Ertrag , ist beliebig verteilt mit und
: Durchschnittlicher Ertrag bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang
ist approximativ (zentraler Grenzwertsatz; ) –verteilt.
,


Handybesitzer

Da keine Information über in Form einer Vorstichprobe oder anderweitig gegeben ist, wird der ungünstigste Fall angenommen und so gewählt, dass die Varianz maximal wird. Dieser ungünstigste Fall tritt bei ein.


Jährliche Fahrleistung 2

Jährliche Fahrleistung , ist normalverteilt
unbekannt, ,
;
;

Jährliche Fahrleistung 3

Jährliche Fahrleistung , ist normalverteilt
, unbekannt, , , ist approximativ normalverteilt ()
Konfidenzniveau ;
Schätzintervall:

Jährliche Fahrleistung

  • , so dass


; ; ; ;


Kaltwasserverbrauch

X: Kaltwasserverbrauch pro Spülgang;
: Durchschnittlicher Kaltwasserverbrauch in einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang n;
Konfidenzniveau: ; aus ;
; ; ; ;

Kilometerleistung

  • , km, km bekannt

    • Allgemeines Konfidenzintervall für den Mittelwert der Grundgesamtheit aus , da bekannt

    • Schätzintervall für den Mittelwert der Grundgesamtheit

    • Schätzintervall für den Mittelwert der Grundgesamtheit, Breite fix, variabel Breite:

  • “Anzahl der ADAC Mitglieder”

    Approximationsbedingung:

    Konfidenzintervall aus , da bekannt

    Schätzintervall

    • Allgemeines Konfidenzintervall für den Mittelwert der Grundgesamtheit aus , da unbekannt

    • Schätzintervall

  • : “Fahrleistung eines PKW’s”; ; beliebig verteilt mit , : “Durchschnittliche Fahrleistung eines PKW’s bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang ”;

ist approximativ – Zentraler Grenzwertsatz,

    • aus ;
  • : “Anzahl der ADAC-Mitglieder bei einer Zufallsstichprobe ; wegen Erfüllung der Approximationsbedingungen folgt: ist approximativ

und ist approximativ verteilt aus ; ;

  • : “Füllmenge eines Bechers”; : “Durchschnittliche Füllmenge eines Bechers bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang ”;
    • aus t–Verteilung mit ;

Konfidenzniveau 2

; ; ; ; ; ; ; ; ;

Konfidenzniveau

; ; ; ; ;
; ; ; ;

Konzentration des Stoffes E

X: Konzentration von E im Wasser;
:Mittlere Konzentration von E im Wasser bei Zufallsstichprobe ;
unbekannt, mittels schätzen
ist t-verteilt mit Freiheitsgraden
; ; ;

Kugelschreiber

Gewicht der Schreibminen: ; Gewicht der Metallfedern: ; Gewicht der Kunststoffhüllen:
Gesamtgewicht eines Kugelschreibers: ;
(wegen Unabhängigkeit von M, F und H)
: Durchschnittsgewicht eines Kugelschreibers in einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang ; ;
Konfidenzniveau: ; aus
;
Schätzintervall:


Lampen

  • : “Anzahl der defekten Lampen in der Stichprobe”
    mit
    “Intuitive” Schätzfunktion:

  • Die einfache Zufallsstichprobe wird durch ein Ziehen mit Zurücklegen realisiert, d.h. mit geringer Wahrscheinlichkeit wird die gleiche Lampe zweimal gezogen. Sinnvoller wäre hier ein Ziehen ohne Zurücklegen, d.h. eine uneingeschränkte Zufallsstichprobe.

    An dem Ergebnis in a) ändert sich nichts, da ist ().

Langlebensdauergarantie

Brenndauer, ist beliebig verteilt mit und
: Durchschnittliche Brenndauer bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang
ist approximativ (zentraler Grenzwertsatz; ) –verteilt.
, ,
;


Likelihood-Funktion

  • Likelihood-Funktion:

  • ML-Schätzwert für :

    Poisson-Verteilung: Log-Likelihood-Funktion:





Love–Parade

Ausgaben, ist beliebig verteilt mit und
: Durchschnittliche Ausgaben bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang
ist approximativ (zentraler Grenzwertsatz; ) –verteilt.
, ,

Mietverein 2

  • : Mietpreis einer 80m–Altbauwohnung

ist beliebig verteilt mit und
: Durchschnittlicher Mietpreis einer 80m–Altbauwohnung bei einer Zufallsstichprobe von
ist approximativ (zentraler Grenzwertsatz; ) –verteilt.
ist unbekannt und wird mittels der Stichprobenfunktion geschätzt.

; aus

  • ; ;

Mietverein

; ; ; ;



Milchfettgehalt

X:Milchfettgehalt, , ,

Aus der vorliegenden Tabelle der Standardnormalverteilung findet man für den Wert , so dass der gesuchte Wert ist.

Mittelwert und Varianz

als Schätzwert für ; als Schätzwert für

Notwendiger Stichprobenumfang

Da keine Informationen über in Form einer Vorstichprobe gegeben sind, wird der ungünstigste Fall angenommen und so gewählt, dass die Varianz maximal wird. Dieser ungünstigste Fall tritt bei ein.

PKWs in Berlin

Da keine Informationen über in Form einer Vorstichprobe gegeben sind, wird der ungünstigste Fall angenommen und so gewählt, dass die Varianz maximal ist. Dieser ungünstigste Fall tritt bei ein.
; ; ; ;.

Schwankungsintervall

Zentrales Schwankungsintervall:



Sicherheitswahrscheinlichkeit:






Schweinemäster

: “Gewicht eines Schweins”;

: “Durchschnittliches Gewicht eines Schweins bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang ”;

  • ;
  • aus t–Verteilung mit :
  • Wird dieses Verfahren der Intervallschätzung “unendlich oft” durchgeführt, so kann man mit (durchschnittlich) 95% richtigen Ergebnissen rechnen; d.h. Schätzintervallen, in denen der unbekannte Wert enthalten ist.
  • durch die Wahl von bzw.
  • Intervall wird kleiner: statt aus t–Verteilung ist aus zu verwenden.

Spielautomat

  • Beim 1. Spiel Verlust von 1 EUR; beim 2. Spiel Gewinn von 1 EUR; ...
  • ; ; P
  • ; ;
  • - Anzahl der verlorenen Spiele;

- Anzahl der unentschiedenen Spiele;
- Anzahl der gewonnenen Spiele;

Sportliche Betätigung


Da sehr groß, Schätzfunktion approx. normalverteilt.

Startprobleme

Stichprobenmittelwert

;
; ; ; ; ; ;

Studienmotivation

  • Schätzfunktion:

  • Stichprobe:


  • ja, führen Sie den Beweis!
  • ; ;
  • ; ;

Trinkwasserverbrauch

Wasserverbrauch, ist beliebig verteilt mit und
: Durchschnittlicher Wasserverbrauch bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang
ist approximativ (zentraler Grenzwertsatz; ) –verteilt.
, ,
;

Unfallhäufigkeit

  • ;

Versicherungsgesellschaft

  • ;

Polizei

Weizenhektarerträge

Grundgesamtheit sind alle Hektarflächen in Deutschland, auf denen 1996 Weizen angebaut wurde; : “Hektarertrag für Weizen”; Verteilung von X unbekannt; [dt/ha]. : “Durchschnittlicher Hektarertrag für Weizen in Deutschland bei einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang
Verteilung von unbekannt. Da aber der Stichprobenumfang ist, kann aufgrund des Zentralen Grenzwertsatzes approximativ die Normalverteilung verwendet werden:

Schätzintervall:
aus
Stichprobenmittelwert für Deutschland:
dt/ha;
Schätzintervall: