|
|
(Eine dazwischenliegende Version desselben Benutzers wird nicht angezeigt) |
Zeile 1: |
Zeile 1: |
| {{Testtheorie}} | | {{Testtheorie}} |
| {{SubpageToc|Statistik-Bücher}} | | {{SubpageToc|Beispiel: Statistik-Bücher|Beispiel: Kreditwürdigkeit}} |
| ==Grundbegriffe== | | ==Grundbegriffe== |
|
| |
|
Zeile 165: |
Zeile 165: |
|
| |
|
| Für die einzelnen [[Statistischer Test|Test]]möglichkeiten ergeben sich die [[Entscheidungsbereiche]] analog zum [[Approximation|approximativen]] [[Einstichproben-t-Test]]. Da <math>E\left[\widehat{\pi}\right]=\pi</math> gilt, wird deutlich, dass eine [[Hypothese]] über den [[Anteilswert der Grundgesamtheit|Anteilswert]] <math>p</math> einer [[Hypothese]] über den [[Erwartungswert]] entspricht. | | Für die einzelnen [[Statistischer Test|Test]]möglichkeiten ergeben sich die [[Entscheidungsbereiche]] analog zum [[Approximation|approximativen]] [[Einstichproben-t-Test]]. Da <math>E\left[\widehat{\pi}\right]=\pi</math> gilt, wird deutlich, dass eine [[Hypothese]] über den [[Anteilswert der Grundgesamtheit|Anteilswert]] <math>p</math> einer [[Hypothese]] über den [[Erwartungswert]] entspricht. |
|
| |
| =={{Vorlage:Beispiele}}==
| |
|
| |
| ===Statistik-Bücher===
| |
|
| |
| Ein Statistik-Professor vermutet, dass es im letzten Jahr deutliche Verschiebungen im Anteil der Neuzugänge an Büchern in der Universitätsbibliothek zuungunsten der Statistik-Literatur gegeben hat.
| |
|
| |
| In der Vergangenheit betrug der Anteil der Statistik-Literatur an allen Neuzugängen der Bibliothek mehr als 10%. Er beauftragt deshalb seinen Assistenten mit einer Überprüfung.
| |
|
| |
| Dabei will er im Interesse seiner Studenten das Risiko, keinen Einspruch bei der Universitätsbibliothek einzulegen, obwohl der Anteil geringer geworden ist, klein halten.
| |
|
| |
| Die Überprüfung läuft auf einen Test des Anteilswertes einer [[dichotomes Merkmal|dichotomen]] [[Grundgesamtheit]] hinaus, wobei der hypothetische Wert <math>\pi_{0} = 0,1</math> ist.
| |
|
| |
| Die [[Grundgesamtheit]] ist in der Hinsicht [[dichotomes Merkmal|dichotom]], da eine weitere fachwissenschaftliche Untergliederung der Neuzugänge im Zusammenhang mit dem Test ohne Bedeutung ist, so dass nur zwei mögliche [[Ereignis]]se gegeben sind:
| |
|
| |
| der Neuzugang ist ein Statistik-Buch und der Neuzugang ist kein Statistik-Buch.
| |
|
| |
| Der Test soll auf einem [[Signifikanzniveau]] von <math>\alpha = 0,05</math> und mittels einer [[Einfache Zufallsstichprobe|einfachen Zufallsstichprobe]] vom [[Stichprobenumfang|Umfang]] <math>n = 25</math> durchgeführt werden.
| |
|
| |
| Da nur Abweichungen vom hypothetischen Wert nach einer Seite von Bedeutung sind, wird ein [[einseitiger Test]] durchgeführt.
| |
|
| |
| Die Behauptung des Professors, dass der Anteil der Statistik-Lektüre an den Neuzugängen höchstens noch 10% beträgt, wird als [[Nullhypothese]] formuliert mit dem Ziel, sie möglichst abzulehnen.
| |
|
| |
| Daraus ergibt sich ein [[rechtsseitiger Test]]:
| |
|
| |
| <math>H_{0}:\; \pi \leq \pi_{0}=0,1 \quad H_{1}:\; \pi > \pi_{0}=0,1</math>
| |
|
| |
| Über eine Fehlerbetrachtung ist zu prüfen, ob bei dieser [[Hypothese]]nformulierung die Intention des Professors eingehalten wird.
| |
|
| |
| Der bei der [[Ablehnungsbereich der Nullhypothese|Ablehnung der <math>H_{0}</math>]] mögliche [[Fehler 1. Art]] hat folgenden Inhalt:
| |
|
| |
| <math>\mbox{''}H_{1}\mbox{''}|H_{0}=</math> "Der Anteil der Statistik-Bücher an den Neuzugängen hat sich nicht verändert" | In Wirklichkeit hat er sich verringert.
| |
|
| |
| Die [[Wahrscheinlichkeit]] eines [[Fehler 1. Art|Fehlers 1. Art]] <math>P\left(\mbox{''}H_{1}\mbox{''}|H_{0}\right)</math>, ist das [[Signifikanzniveau]] <math>\alpha</math>, so dass mit dessen Vorgabe (hier <math>\alpha = 0,05</math>) das Risiko eines derartigen Fehlers gering gehalten werden kann.
| |
|
| |
| Damit wird die Zielstellung des Professors bei der Durchführung des [[Statistischer Test|Tests]] eingehalten.
| |
|
| |
| Wird im Ergebnis des [[Statistischer Test|Tests]] die [[Nullhypothese]] nicht abgelehnt, ist der Inhalt des dann möglichen [[Fehler 2. Art|Fehlers 2. Art]]:
| |
|
| |
| <math>\mbox{''}H_{0}\mbox{''}|H_{1}= </math> "Der Anteil der Statistik-Bücher an den Neuzugängen hat sich verringert" | In Wirklichkeit ist alles wie vorher.
| |
|
| |
| Die [[Wahrscheinlichkeit]] eines [[Fehler 2. Art|Fehlers 2. Art]] <math>P\left(\mbox{''}H_{0}\mbox{''}|H_{1}\right) =\beta</math>
| |
| ist unbekannt, da der wahre [[Anteilswert der Grundgesamtheit|Anteilswert]] <math>\pi</math> unter der [[Alternativhypothese]] nicht bekannt ist.
| |
|
| |
| Diese [[Wahrscheinlichkeit]] für einen [[Fehler 2. Art]], d.h. das Risiko für einen unberechtigten Einspruch des Professors
| |
| bei der Universitätsbibliothek, kann sehr groß sein. Das muss der Professor jedoch in Kauf nehmen, da er andere Prioritäten für die Überprüfung gesetzt hatte.
| |
|
| |
| ====Teststatistik und Entscheidungsbereiche====
| |
|
| |
| Die [[Schätzfunktion]] <math>X\;</math> "Anzahl der Statistik - Bücher in einer [[Zufallsstichprobe]] von [[Stichprobenumfang|Umfang]] <math>n = 25</math>" kann unmittelbar als [[Teststatistik]] <math>V\;</math> verwendet werden.
| |
|
| |
| <math>V = X\;</math> ist unter <math>H_{0} \sim B( 25;\;0,1)</math>-[[Verteilung (stochastisch)|verteilt]].
| |
|
| |
| Eine große Anzahl von Statistik-Büchern in der [[Stichprobe]] spricht dabei gegen die [[Nullhypothese]] und für die [[Alternativhypothese]], d.h. für einen nicht gesunkenen Anteil der Statistik-Bücher an den Neuzugängen.
| |
|
| |
| Der [[Kritischer Wert|kritische Wert]] <math>x_{c}</math> ist diejenige [[Realisation]] von <math>X\;</math>, für die <math>F_{B}\left( x\right)</math> den Wert <math>1-\alpha =0,95</math> gerade erreicht oder überschreitet, so dass gilt <math>F_{B}\left( x_{c}-1\right) <1-\alpha=0,95</math> und <math>F_{B}\left(x_{c}\right) \geq 1-\alpha =0,95</math>.
| |
|
| |
| In der Tabelle der [[Verteilungsfunktion (stochastisch, eindimensional)|Verteilungsfunktion]] der <math>B(25;\; 0,1)</math> findet man <math>x_{c} = 5</math>.
| |
|
| |
| Der [[Ablehnungsbereich der Nullhypothese|Ablehnungsbereich der <math>H_{0}</math>]] ist damit gegeben durch
| |
|
| |
| <math>\left\{ v|v>5\right\}=\left\{6,7,\ldots ,25\right\}</math> mit <math>P\left( V>5|0,1\right) =0,0334=\alpha_{exakt}</math>.
| |
|
| |
| Da <math>V = X\;</math> eine [[diskrete Zufallsvariable]] ist, wird das vorgegebene [[Signifikanzniveau]] von <math>\alpha = 0,05</math> nicht voll ausgeschöpft. Es ist nur <math>\alpha_{exakt}= 0,0334</math>.
| |
|
| |
| Für den [[Nichtablehnungsbereich der Nullhypothese|Nichtablehnungsbereich der <math>H_{0}</math>]] erhält man:
| |
|
| |
| <math>\left\{v|v\leq 5\right\} =\left\{0,1,2,3,4,5\right\}</math> mit <math>P\left(V\leq 5|0,1\right) =0,9666</math>.
| |
|
| |
| ====Prüfwert und Testentscheidung====
| |
|
| |
| Aus den Neuzugängen an Büchern in der Universitätsbibliothek im letzten Jahr werden 25 Bücher zufällig ausgewählt und festgestellt, ob es sich um ein Statistik-Buch handelt oder nicht.
| |
|
| |
| Da die [[Grundgesamtheit|Gesamtheit]] aller Neuzugänge an Büchern pro Jahr in der Universitätsbibliothek als genügend groß anzusehen ist, spielt es kaum eine Rolle, ob eine [[Zufallsauswahlmodell mit Zurücklegen|Zufallsauswahl mit]] oder [[Zufallsauswahlmodell ohne Zurücklegen|ohne Zurücklegen]] durchgeführt wird.
| |
|
| |
| Eine [[einfache Zufallsstichprobe]] kann unterstellt werden.
| |
|
| |
| Es habe sich <math>x = 3</math> als Anzahl der Statistik-Bücher in der [[Zufallsstichprobe]] ergeben, was gleichzeitig der [[Prüfwert]] <math>v</math> ist.
| |
|
| |
| Da <math>v = x = 3</math> in den [[Nichtablehnungsbereich der Nullhypothese|Nichtablehnungsbereich der <math>H_{0}</math>]]
| |
| fällt, wird die [[Nullhypothese]] nicht abgelehnt.
| |
|
| |
| Basierend auf einer [[Zufallsstichprobe]] vom [[Stichprobenumfang|Umfang]] <math>n = 25</math> konnte [[Statistik|statistisch]] nicht bewiesen werden, dass der Anteil der [[Statistik]]-Bücher an den Neuzugängen der Universitätsbibliothek dem bisherigen Anteil von mehr als 10% entspricht. Der Professor wird Einspruch bei der Universitätsbibliothek einlegen.
| |
|
| |
| ====Gütefunktion====
| |
|
| |
| Wie groß wäre die [[Wahrscheinlichkeit]], dass bei diesem [[Rechtsseitiger Test|rechtsseitigen Test]] (mit <math>\pi_{0}=0,1,\; n=25,\; \alpha =0,05</math> und <math>x_{c}=5</math>) die [[Nullhypothese]] nicht verworfen würde, wenn der wahre Anteil der [[Statistik]]-Bücher an den Neuzugängen <math>\pi = 0,2</math> betragen würde?
| |
|
| |
| Gesucht ist die [[Wahrscheinlichkeit]] für einen [[Fehler 2. Art]] unter der Bedingung, dass <math>\pi = 0,2</math> wahr ist:
| |
|
| |
| <math>P\left(\mbox{''}H_{0}\mbox{''}|H_{1}\right)=P\left( V=X\in \mbox{Nichtablehnungsbereich der } H_{0}|\pi =0,2\right) =P\left( V\leq 5|\pi =0,2\right)</math>
| |
|
| |
| Diese [[Wahrscheinlichkeit]] kann direkt aus der Tabelle der [[Verteilungsfunktion (stochastisch, eindimensional)|Verteilungsfunktion]] der <math>B(25; 0,2)</math> entnommen werden. Sie beträgt 0,6167.
| |
|
| |
| Im Fall eines wahren Anteils von <math>\pi = 0,2</math> wird in 61,67% aller [[Stichprobe]]n vom [[Stichprobenumfang|Umfang]] <math>n = 25</math> die Abweichung vom hypothetischen Wert <math>\pi_{0} = 0,1</math> durch den [[Statistischer Test|Test]] nicht aufgedeckt und ist die [[Wahrscheinlichkeit]] eines unberechtigten Einspruchs des Professors bei der Universitätsbibliothek.
| |
|
| |
| Die [[Wahrscheinlichkeit]] eines [[Fehler 2. Art|Fehlers 2. Art]] kann auch über die [[Gütefunktion]] berechnet werden.
| |
|
| |
| Die folgende Tabelle enthält für verschiedene zulässige Werte von <math>\pi</math> die [[Gütefunktion]] <math>G( \pi )</math> und <math>1 - G( \pi )</math> für den oben durchgeführten [[Rechtsseitiger Test|rechtsseitigen Test]]
| |
|
| |
| {| border="1" cellpadding="3" style="text-align:center;margin:1em 1em 1em 0; background:#f9f9f9; border:1px #AAA solid; border-collapse:collapse; empty-cells:show;"
| |
| |align="center"|<math>\pi</math>
| |
| |align="center"|Gültigkeit von
| |
| |align="center"|<math>G\left( \pi\right)</math>
| |
| |align="center"|<math>1-G\left( \pi\right)</math>
| |
| |-
| |
| |align="center"|<math>0</math>
| |
| |align="center"|<math>H_{0}</math>
| |
| |align="center"|<math>0=\alpha</math>
| |
| |align="center"|<math>1=1-\alpha</math>
| |
| |-
| |
| |align="center"|<math>0,05</math>
| |
| |align="center"|<math>H_{0}</math>
| |
| |align="center"|<math>0,0012=\alpha</math>
| |
| |align="center"|<math>0,9988=1-\alpha</math>
| |
| |-
| |
| |align="center"|<math>0,1</math>
| |
| |align="center"|<math>H_{0}</math>
| |
| |align="center"|<math>0,0334=\alpha_{a}</math>
| |
| |align="center"|<math>0,9666=1-\alpha_{a}</math>
| |
| |-
| |
| |align="center"|<math>0,15</math>
| |
| |align="center"|<math>H_{1}</math>
| |
| |align="center"|<math>0,1615=1-\beta</math>
| |
| |align="center"|<math>0,8385=\beta</math>
| |
| |-
| |
| |align="center"|<math>0,20</math>
| |
| |align="center"|<math>H_{1}</math>
| |
| |align="center"|<math>0,3833=1-\beta</math>
| |
| |align="center"|<math>0,6167=\beta</math>
| |
| |-
| |
| |align="center"|<math>0,25</math>
| |
| |align="center"|<math>H_{1}</math>
| |
| |align="center"|<math>0,6217=1-\beta</math>
| |
| |align="center"|<math>0,3783=\beta</math>
| |
| |-
| |
| |align="center"|<math>0,30</math>
| |
| |align="center"|<math>H_{1}</math>
| |
| |align="center"|<math>0,8065=1-\beta</math>
| |
| |align="center"|<math>0,1935=\beta</math>
| |
| |-
| |
| |align="center"|<math>0,35</math>
| |
| |align="center"|<math>H_{1}</math>
| |
| |align="center"|<math>0,9174=1-\beta</math>
| |
| |align="center"|<math>0,0826=\beta</math>
| |
| |-
| |
| |align="center"|<math>0,40</math>
| |
| |align="center"|<math>H_{1}</math>
| |
| |align="center"|<math>0,9706=1-\beta</math>
| |
| |align="center"|<math>0,0294=\beta</math>
| |
| |-
| |
| |align="center"|<math>0,45</math>
| |
| |align="center"|<math>H_{1}</math>
| |
| |align="center"|<math>0,9914=1-\beta</math>
| |
| |align="center"|<math>0,0086=\beta</math>
| |
| |-
| |
| |align="center"|<math>0,50</math>
| |
| |align="center"|<math>H_{1}</math>
| |
| |align="center"|<math>0,9980=1-\beta</math>
| |
| |align="center"|<math>0,0020=\beta</math>
| |
| |-
| |
| |align="center"|<math>0,60</math>
| |
| |align="center"|<math>H_{1}</math>
| |
| |align="center"|<math>0,9999=1-\beta</math>
| |
| |align="center"|<math>0,0001=\beta</math>
| |
| |-
| |
| |align="center"|<math>0,70</math>
| |
| |align="center"|<math>H_{1}</math>
| |
| |align="center"|<math>1=1-\beta</math>
| |
| |align="center"|<math>0=\beta</math>
| |
| |}
| |
|
| |
| Wenn z.B. der wahre Anteil der [[Statistik]]-Bücher an den Neuzugängen <math>\pi = 0</math> ist, kann auf keinen Fall ein [[Statistik]]-Buch in der [[Stichprobe]] enthalten sein, d.h. man wird <math>x = 0</math> erhalten und die [[Nullhypothese]] nicht
| |
| ablehnen.
| |
|
| |
| Die [[Ablehnungsbereich der Nullhypothese|Ablehnung der Nullhypothese]], d.h. <math>\mbox{''}H_{1}\mbox{''}</math>, ist ein [[unmögliches Ereignis]].
| |
|
| |
| Für die [[Gütefunktion]], die für <math>\pi = 0</math> die [[Wahrscheinlichkeit]] eines [[Fehler 1. Art|Fehlers 1. Art]] beinhaltet, folgt:
| |
|
| |
| <math>G\left(\pi = 0 \right) =P\left( V=X\in \mbox{ Ablehnungsbereich der } H_{0}|\pi =0\right) =P\left(\mbox{''}H_{1}\mbox{''}|0\right) =0</math>
| |
|
| |
| Wenn dagegen der wahre Anteil der [[Statistik]]-Bücher an den Neuzugängen <math>\pi = 0,35</math> wäre, ergibt sich die
| |
| [[Gütefunktion]] zu:
| |
|
| |
| <math>G\left(0,35\right)=P\left(V>5|\pi=0,35\right)=1-P\left(V\leq5|\pi=0,35\right)=1-0,0826=0,9174</math>
| |
|
| |
| wobei man <math>P\left( V\leq 5|\pi=0,35\right)</math> aus der Tabelle der [[Verteilungsfunktion (stochastisch, eindimensional)|Verteilungsfunktion]] der <math>B(25; 0,35)</math> für <math>x_{c}=5</math> findet.
| |
|
| |
| <math>G(\pi = 0,35)</math> beinhaltet die [[Wahrscheinlichkeit]] einer berechtigten [[Ablehnungsbereich der Nullhypothese|Ablehnung der Nullhypothese]], d.h. <math>P\left(\mbox{''}H_{1}\mbox{''}|H_{1}\right)=1- \beta</math>.
| |
|
| |
| Die [[Wahrscheinlichkeit]] eines [[Fehler 2. Art|Fehlers 2. Art]] ist <math>\beta(\pi= 0,35) =1 - G( \pi = 0,35)= 0,0826</math>. Im Fall eines wahren Anteils von <math>\pi =0,35</math> wird in 8,26% aller [[Stichprobe]]n vom [[Stichprobenumfang|Umfang]] <math>n = 25</math> die Abweichung vom hypothetischen Wert <math>\pi_{0} = 0,1</math> durch den [[Statistischer Test|Test]] nicht aufgedeckt.
| |
|
| |
| Die nachstehende Abbildung zeigt die [[Gütefunktion]] für den [[Rechtsseitiger Test|rechtsseitigen Test]] mit <math>\pi_{0}= 0,1,\; n = 25,\; \alpha = 0,05</math> und <math>x_{c} = 5</math>.
| |
|
| |
| <iframe k="wiwi" p="examples/stat_TestAnteilswert_Gütefunktion_rechtsseitig_R00480004801536917914108_plot.html" />
| |
|
| |
| ===Kreditwürdigkeit===
| |
|
| |
| Zu den wichtigsten Aufgaben einer Bank gehört die Bewertung der Kreditwürdigkeit potentieller Kreditnehmer, um Kreditverluste niedrig zu halten.
| |
|
| |
| Die ABC-Bank will eine Verschärfung der Bewertungsrichtlinien der Kreditwürdigkeit vornehmen, wenn der Anteil von gewährten Krediten mit Schwierigkeiten bei der Rückzahlung nicht unter 20% liegt.
| |
|
| |
| Sie lässt deshalb von ihrer Statistik-Abteilung einen [[Statistischer Test|Test]] durchführen. Dabei will die Bank das Risiko, keine Veränderung in den Bewertungsrichtlinien vorzunehmen, obwohl der Anteil 20% und mehr beträgt, gering halten.
| |
|
| |
| Die [[Zufallsvariable]] <math>X\;</math>: "Schwierigkeiten bei der Kreditrückzahlung" weist nur die Werte 0 (nein) oder 1 (ja) auf. Der Anteil <math>\pi</math> der Kreditnehmer mit Schwierigkeiten bei der Rückzahlung ist unbekannt.
| |
|
| |
| Die Überprüfung läuft auf einen [[Statistischer Test|Test]] des [[Anteilswert der Grundgesamtheit|Anteilswertes]] einer [[dichotomes Merkmal|dichotomen]] [[Grundgesamtheit]] hinaus, wobei der hypothetische Wert <math>\pi_{0} = 0,2</math> ist.
| |
|
| |
| Es sind nur Abweichungen vom hypothetischen Wert nach einer Seite von Bedeutung, so dass ein [[einseitiger Test]] durchgeführt wird.
| |
|
| |
| Da die ABC-Bank nachweisen will, dass ihre derzeitigen Bewertungskriterien ausreichend sind, d.h. der Anteil der Kreditnehmer mit Rückzahlungsschwierigkeiten kleiner als 20% ist, wird diese Annahme als [[Alternativhypothese]] formuliert, woraus ein [[linksseitiger Test]] resultiert:
| |
|
| |
| <math>H_{0}:\;\pi \geq \pi_{0}=0,2\quad H_{1}:\;\pi<\pi_{0}=0,2</math>
| |
|
| |
| Über eine Fehlerbetrachtung ist zu prüfen, ob bei dieser Hypothesenformulierung die Vorgabe der Bank eingehalten wird.
| |
|
| |
| Der bei der [[Ablehnungsbereich der Nullhypothese|Ablehnung der <math>H_{0}</math>]] mögliche [[Fehler 1. Art]] hat folgenden Inhalt:
| |
|
| |
| <math>\mbox{''}H_{1}\mbox{''}|H_{0}=</math> "Anteil mit Rückzahlungsschwierigkeiten <math> <20%</math>; Veränderungen in den Bewertungsrichtlinien werden nicht vorgenommen" | in Wirklichkeit ist der Anteil mit Rückzahlungsschwierigkeiten <math>\geq 20%</math>; Veränderungen in den Bewertungsrichtlinien müssten erfolgen.
| |
|
| |
| Wird im Ergebnis des [[Statistischer Test|Tests]] die [[Nullhypothese]] nicht abgelehnt, ist der Inhalt des möglichen [[Fehler 2. Art|Fehlers 2. Art]]:
| |
|
| |
| <math>\mbox{''}H_{0}\mbox{''}|H_{1} =</math> "Anteil mit Rückzahlungsschwierigkeiten <math>\geq 20%</math>; Veränderungen in den Bewertungsrichtlinien sind vorzunehmen"| in Wirklichkeit ist der Anteil mit Rückzahlungsschwierigkeiten <math>\leq 20%</math>; Veränderungen in den Bewertungsrichtlinien sind nicht notwendig.
| |
|
| |
| Der [[Fehler 1. Art]] entspricht der Risikovorgabe der ABC-Bank. Die [[Wahrscheinlichkeit]] für den [[Fehler 1. Art]] <math>P(\mbox{''}H_{1}\mbox{''}|H_{0})</math> kann über die Festlegung des [[Signifikanzniveau]]s gesteuert werden. Die Bank will dieses Risiko klein halten und gibt deshalb <math>\alpha = 0,05</math> vor.
| |
|
| |
| Der [[Fehler 2. Art]] hat für die Bank keine schwerwiegenden Folgen, denn eine Verschärfung der Bewertungsrichtlinien, obwohl es aufgrund des gesetzten Kriteriums nicht notwendig gewesen wäre, ist nicht nachteilig.
| |
|
| |
| Von dieser Hypothesenformulierung und dem vorgegebenen [[Signifikanzniveau]] <math>\alpha = 0,05</math> wird bei den beiden
| |
| folgenden [[Statistischer Test|Test]]varianten ausgegangen.
| |
|
| |
| Für die Durchführung des [[Statistischer Test|Tests]] soll eine [[einfache Zufallsstichprobe]] vom [[Stichprobenumfang|Umfang]] <math>n</math> aus den mehr als 10000 Kreditnehmern gezogen werden.
| |
|
| |
| Bei der gegebenen Problemstellung ist es nicht sinnvoll, das [[Zufallsauswahlmodell mit Zurücklegen]] anzuwenden. Bei Einhaltung eines [[Auswahlsatz]]es von <math>\frac{n}{N} \leq 0,05</math> kann jedoch eine [[Zufallsauswahlmodell ohne Zurücklegen|Zufallsauswahl ohne Zurücklegen]] näherungsweise als eine [[einfache Zufallsstichprobe]] angesehen werden.
| |
|
| |
| ====Stichprobenumfang n=30====
| |
|
| |
| Um die Kosten für die Überprüfung niedrig zu halten, wird der [[Stichprobenumfang]] auf <math>n = 30</math> festgelegt. Die
| |
| Forderung <math>\frac{n}{N}\leq 0,05</math> wird eingehalten.
| |
|
| |
| =====Teststatistik und Entscheidungsbereiche=====
| |
|
| |
| Die [[Schätzfunktion]] <math>X=\;</math> "Anzahl der Kreditnehmer mit Rückzahlungsschwierigkeiten in einer [[Zufallsstichprobe]] von [[Stichprobenumfang|Umfang]] <math>n = 30</math>" kann unmittelbar als [[Teststatistik]] <math>V\;</math> verwendet werden.
| |
|
| |
| <math>V = X\;</math> ist unter <math>H_{0}\sim B(30; 0,2)</math>-[[Verteilung (stochastisch)|verteilt]].
| |
|
| |
| Eine kleine Anzahl von Kreditnehmern mit Rückzahlungsschwierigkeiten in der [[Stichprobe]] spricht dabei gegen die [[Nullhypothese]].
| |
|
| |
| Der [[Kritischer Wert|kritische Wert]] <math>x_{c}</math> ist diejenige [[Realisation]] von <math>X\;</math>, für die <math>F_{B}(x)</math> den Wert <math>\alpha = 0,05</math> gerade überschreitet, so dass gilt:
| |
|
| |
| <math>F_{B}(x_{c} - 1) \leq 0,05</math> und <math>F_{B}(x_{c}) > 0,05</math>.
| |
|
| |
| In der Tabelle der [[Verteilungsfunktion (stochastisch, eindimensional)|Verteilungsfunktion]] der <math>B(30; 0,2)</math> findet man <math>x_{c} = 3</math>.
| |
|
| |
| Damit folgt:
| |
|
| |
| [[Ablehnungsbereich der Nullhypothese|Ablehnungsbereich der <math>H_{0}</math>]]: <math>\left\{v|v<3\right\}=\left\{0,1,2\right\}</math>, mit <math>P\left(V<3|0,2\right) =0,0442</math>.
| |
|
| |
| [[Nichtablehnungsbereich der Nullhypothese|Nichtablehnungsbereich der <math>H_{0}</math>]]: <math>\left\{v|v\geq 3\right\}=\left\{3,4,\ldots,30\right\}</math>, mit <math>P\left(V\geq 3|0,02\right) =0,9558</math>.
| |
|
| |
| Da <math>V = X\;</math> eine [[diskrete Zufallsvariable]] ist, wird das vorgegebene [[Signifikanzniveau]] von <math>\alpha = 0,05</math> nicht voll ausgeschöpft. Es ist nur <math>\alpha_{exakt}=0,0442</math>.
| |
|
| |
| =====Prüfwert und Testentscheidung=====
| |
|
| |
| Aus den Kreditnehmern werden 30 zufällig ausgewählt und festgestellt, ob es Schwierigkeiten bei der Rückzahlung gab oder nicht.
| |
|
| |
| Es habe sich <math>x = 5</math> als Anzahl der Kreditnehmer mit Rückzahlungsschwierigkeiten in der [[Zufallsstichprobe]] ergeben,
| |
| was gleichzeitig der [[Prüfwert]] <math>v</math> ist.
| |
|
| |
| Da <math>v = x = 5</math> in den [[Nichtablehnungsbereich der Nullhypothese|Nichtablehnungsbereich der <math>H_{0}</math>]]
| |
| fällt, wird die [[Nullhypothese]] nicht abgelehnt.
| |
|
| |
| Der in der [[Stichprobe]] beobachtete Anteil <math>\frac{5}{30} = 0,167</math> ist zwar kleiner als der hypothetische Wert <math>\pi_{0}= 0,20</math>, die Differenz zwischen beiden wird jedoch auf einem [[Signifikanzniveau]] von <math>\alpha = 0,05</math> noch nicht als wesentlich angesehen.
| |
|
| |
| Man beachte, dass bei [[Statistischer Test|Tests]] auf einem vorgegebenen [[Signifikanzniveau]] <math>\alpha</math> stets [[Entscheidungsbereiche]] ([[Nichtablehnungsbereich der Nullhypothese|Nichtablehnungsbereich]] bzw. [[Ablehnungsbereich der Nullhypothese|Ablehnungsbereich der <math>H_{0}</math>]]) der [[Statistischer Test|Test]]entscheidung zugrunde liegen und nicht nur die [[Punktschätzung]].
| |
|
| |
| Basierend auf einer [[Zufallsstichprobe]] vom [[Stichprobenumfang|Umfang]] <math>n = 30</math> konnte [[Statistik|statistisch]] nicht bewiesen werden, dass der Anteil der Kreditnehmer mit Rückzahlungsschwierigkeiten kleiner als 20% ist. Die ABC-Bank wird ihre
| |
| Bewertungskriterien überarbeiten.
| |
|
| |
| =====Gütefunktion=====
| |
|
| |
| Mit der Beibehaltung der [[Nullhypothese]] kann ein [[Fehler 2. Art]] <math>(\mbox{''}H_{0}\mbox{''}|H_{1})</math> unterlaufen, wenn in Wirklichkeit die [[Alternativhypothese]] richtig ist.
| |
|
| |
| Wie groß wäre die [[Wahrscheinlichkeit]], dass bei diesem [[Linksseitiger Test|linksseitigen Test]] (mit <math>\pi_{0}=0,2,\; n = 30,\; \alpha = 0,05</math> und <math>x_{c} = 3</math>) die [[Nullhypothese]] nicht verworfen würde, wenn der wahre Anteil der
| |
| Kreditnehmer mit Rückzahlungsschwierigkeiten <math>\pi = 0,15</math> beträgt?
| |
|
| |
| Für <math>\pi = 0,15</math> gilt in Wirklichkeit die [[Alternativhypothese]], so dass die [[Wahrscheinlichkeit]] für einen [[Fehler 2. Art]] gesucht wird:
| |
|
| |
| <math>\beta \left( \pi =0,15\right) =P\left(\mbox{''}H_{0}\mbox{''}|H_{1}\right) =P\left(V=X\in\mbox{ Nichtablehnungsbereich der }H_{0}|\pi =0,15\right)=P\left(V\geq 3|\pi=0,15\right)</math>
| |
|
| |
| Es ist
| |
|
| |
| <math>P\left( V\geq 3|\pi=0,15\right)=1-P\left(V<3|\pi=0,15\right)=1-P\left(V\leq 2|\pi=0,15\right)=1-0,1514=0,8486</math>
| |
|
| |
| wobei man <math>P\left(V\leq 2|\pi=0,15\right)</math> in der Tabelle der [[Verteilungsfunktion (stochastisch, eindimensional)|Verteilungsfunktion]] der <math>B\left(30;\; 0,15\right)</math> findet.
| |
|
| |
| Im Fall eines wahren Anteils von <math>\pi =0,15</math> wird in <math>84,86%</math> aller [[Stichprobe]]n vom [[Stichprobenumfang|Umfang]] <math>n = 30</math> die Abweichung vom hypothetischen Wert <math>\pi_{0}=0,20</math>, durch den [[Statistischer Test|Test]] nicht aufgedeckt.
| |
|
| |
| Die Beibehaltung der [[Nullhypothese]] <math>(\mbox{''}H_{0}\mbox{''})</math> im Ergebnis des [[Statistischer Test|Tests]] auf der Basis der konkreten [[Stichprobe]] veranlasst die Bank zur Verschärfung der Bewertungsrichtlinien; da jedoch mit <math>\pi = 0,15</math> in Wirklichkeit die [[Alternativhypothese]] wahr ist, wäre die Veränderung der Bewertungsrichtlinien nicht
| |
| notwendig.
| |
|
| |
| <math>\beta(\pi = 0,15) = 0,8496</math> ist somit die [[Wahrscheinlichkeit]] für eine nicht notwendige Veränderung der
| |
| Richtlinien.
| |
|
| |
| Obwohl sie recht hoch ist, stellt sie aber für die Bank bei der [[Statistischer Test|Test]]durchführung nicht das entscheidende Problem dar (im Vergleich zur [[Wahrscheinlichkeit]] eines [[Fehler 1. Art|Fehlers 1. Art]]).
| |
|
| |
| Mit der Beibehaltung der [[Nullhypothese]] kann aber auch eine richtige Entscheidung getroffen werden, wenn in Wirklichkeit die
| |
| [[Nullhypothese]] richtig ist <math>(\mbox{''}H_{0}\mbox{''}|H_{0})</math>.
| |
|
| |
| Wie groß wäre die [[Wahrscheinlichkeit]], dass bei diesem [[Linksseitiger Test|linksseitigen Test]] (mit <math>\pi_{0}=0,2,\; n = 30,\;\alpha = 0,05</math> und <math>x_{c} = 3</math>) die [[Nullhypothese]] nicht verworfen würde, wenn der wahre Anteil der
| |
| Kreditnehmer mit Rückzahlungsschwierigkeiten <math>\pi = 0,25</math> beträgt?
| |
|
| |
| Für <math>\pi = 0,25</math> gilt in Wirklichkeit die [[Nullhypothese]], so dass folgende [[Wahrscheinlichkeit]] gesucht wird:
| |
|
| |
| <math>P\left( V=X \in \mbox{Nichtablehnungsbereich der }H_{0}|\pi=0,25\right) =P\left( V\geq 3|\pi =0,25\right) =P\left(\mbox{''}H_{0}\mbox{''}|H_{0}\right)=1-\alpha^{*}</math>
| |
|
| |
| Es ist
| |
|
| |
| <math>P\left(V\geq 3|\pi=0,25\right)=1-P\left(V\leq 2|\pi=0,25\right)=1-P\left(V\leq 2|\pi=0,25\right)=1-0,0106=0,9894</math>
| |
|
| |
| mit <math>P\left( V\leq 2|\pi=0,25\right)</math> aus der Tabelle der [[Verteilungsfunktion (stochastisch, eindimensional)|Verteilungsfunktion]] der <math>B\left(30;\; 0,25\right)</math>
| |
|
| |
| Beide [[Wahrscheinlichkeit]]sberechnungen können für verschiedene zulässige Werte von <math>\pi</math> durchgeführt werden.
| |
|
| |
| Eine geeignete Berechnungs- und Darstellungsweise ist die [[Gütefunktion]] <math>G(\pi)</math> bzw. <math>1 - G(\pi)</math>.
| |
|
| |
| {| border="1" cellpadding="3" style="text-align:center;margin:1em 1em 1em 0; background:#f9f9f9; border:1px #AAA solid; border-collapse:collapse; empty-cells:show;"
| |
| |align="center"|<math>\pi</math>
| |
| |align="center"|Gültigkeit von
| |
| |align="center"|<math>G\left(\pi\right)</math>
| |
| |align="center"|<math>1-G\left(\pi\right)</math>
| |
| |-
| |
| |align="center"|0
| |
| |align="center"|<math>H_{1}</math>
| |
| |align="center"|<math>1=1-\beta</math>
| |
| |align="center"|<math>0=\beta</math>
| |
| |-
| |
| |align="center"|0,05
| |
| |align="center"|<math>H_{1}</math>
| |
| |align="center"|<math>0,8122=1-\beta</math>
| |
| |align="center"|<math>0,1878=\beta</math>
| |
| |-
| |
| |align="center"|0,10
| |
| |align="center"|<math>H_{1}</math>
| |
| |align="center"|<math>0,4114=1-\beta</math>
| |
| |align="center"|<math>0,5886=\beta</math>
| |
| |-
| |
| |align="center"|0,15
| |
| |align="center"|<math>H_{1}</math>
| |
| |align="center"|<math>0,1514=1-\beta</math>
| |
| |align="center"|<math>0,8486=\beta</math>
| |
| |-
| |
| |align="center"|0,20
| |
| |align="center"|<math>H_{0}</math>
| |
| |align="center"|<math>0,0442=\alpha_{a}</math>
| |
| |align="center"|<math>0,9558=1-\alpha_{a}</math>
| |
| |-
| |
| |align="center"|0,25
| |
| |align="center"|<math>H_{0}</math>
| |
| |align="center"|<math>0,0106=\alpha</math>
| |
| |align="center"|<math>0,9894=1-\alpha</math>
| |
| |-
| |
| |align="center"|0,30
| |
| |align="center"|<math>H_{0}</math>
| |
| |align="center"|<math>0,0021=\alpha</math>
| |
| |align="center"|<math>0,9979=1-\alpha</math>
| |
| |-
| |
| |align="center"|0,35
| |
| |align="center"|<math>H_{0}</math>
| |
| |align="center"|<math>0,0003=\alpha</math>
| |
| |align="center"|<math>0,9997=1-\alpha</math>
| |
| |-
| |
| |align="center"|0,40
| |
| |align="center"|<math>H_{0}</math>
| |
| |align="center"|<math>0=\alpha</math>
| |
| |align="center"|<math>1=1-\alpha</math>
| |
| |}
| |
|
| |
| Die nachstehende Abbildung zeigt die [[Gütefunktion]] für den [[Linksseitiger Test|linksseitigen Test]] mit <math>\pi_{0}=0,20,\; n = 30,\; \alpha = 0,05</math> und <math>x_{c} = 3</math>.
| |
|
| |
| <iframe k="wiwi" p="examples/stat_TestAnteilswert_Guetefunktion_linksseitig_R00480004801536917949030_plot.html" />
| |
|
| |
| ====Stichprobenumfang n=350====
| |
|
| |
| Die [[Statistik]]-Abteilung will nicht nur die [[Wahrscheinlichkeit]] des für die Bank schwerwiegenden [[Fehler 1. Art|Fehlers 1. Art]] durch die Vorgabe von <math>\alpha = 0,05</math> niedrig halten, sondern auch erreichen, dass das Risiko für einen [[Fehler 2. Art]] nicht zu hoch ausfällt.
| |
|
| |
| Da bekannt ist, dass bei festgelegtem [[Signifikanzniveau]] <math>\alpha</math> die [[Wahrscheinlichkeit]] <math>\beta</math> für einen [[Fehler 2. Art]] über die Erhöhung des [[Stichprobenumfang]]s verringert werden kann, entscheidet sich die [[Statistik]]-Abteilung gleich für einen großen [[Stichprobenumfang]]: <math>n = 350</math>. Die Forderung <math>\frac{n}{N}\leq 0,05</math> wird eingehalten.
| |
|
| |
| =====Teststatistik und Entscheidungsbereiche=====
| |
|
| |
| Es wird die [[Teststatistik]]
| |
|
| |
| <math>V=\frac{\widehat{\pi }-\pi_{0}}{\sigma_{0}\left( \widehat{\pi }\right) }=
| |
| \frac{\widehat{\pi }-\pi_{0}}{\sqrt{\cfrac{\pi_{0}\left( 1-\pi_{0}\right) }{n}}}</math>
| |
|
| |
| verwendet, die bei Gültigkeit der [[Nullhypothese]] [[Approximation|approximativ]] [[Standardnormalverteilung|standardnormalverteilt]] ist, da aufgrund des sehr großen [[Stichprobenumfang]]es die [[Approximation]]sbedingungen erfüllt sind.
| |
|
| |
| Für <math>P(V \leq c) = 1 - \alpha = 0,95</math> findet man aus der Tabelle der [[Verteilungsfunktion (stochastisch, eindimensional)|Verteilungsfunktion]] der <math>N(0; 1):\; c = z_{0,95} = 1,645</math>, so dass wegen der Symmetrie der [[Normalverteilung]] der [[Kritischer Wert|kritische Wert]] <math>-c = - 1,645</math> ist.
| |
|
| |
| Der [[Approximation|approximative]] [[Ablehnungsbereich der Nullhypothese|Ablehnungsbereich der <math>H_{0}</math>]] ist gegeben durch <math>\left\{v|v<-1,645\right\}</math>
| |
|
| |
| Für den [[Approximation|approximativen]] [[Nichtablehnungsbereich der Nullhypothese|Nichtablehnungsbereich der <math>H_{0}</math>]] erhält man <math>\left\{ v|v\geq -1,645\right\}</math>
| |
|
| |
| =====Prüfwert und Testentscheidung=====
| |
|
| |
| Aus den Kreditnehmern werden 350 zufällig ausgewählt und festgestellt, ob es Schwierigkeiten bei der Rückzahlung gab oder nicht.
| |
|
| |
| Es habe sich <math>x = 63</math> als Anzahl der Kreditnehmer mit Rückzahlungsschwierigkeiten in der [[Zufallsstichprobe]]
| |
| ergeben, womit der Anteil in der [[Stichprobe]] 0,18 beträgt.
| |
|
| |
| Einsetzen in die [[Teststatistik]] führt zu dem [[Prüfwert]]:
| |
|
| |
| <math>v=\frac{0,18-0,2}{\sqrt{\cfrac{0,2\cdot 0,8}{350}}}=-0,935</math>
| |
|
| |
| Da <math>v = - 0,935</math> in den [[Nichtablehnungsbereich der Nullhypothese|Nichtablehnungsbereich der <math>H_{0}</math>]] fällt, wird die [[Nullhypothese]] nicht abgelehnt.
| |
|
| |
| Basierend auf einer [[Zufallsstichprobe]] vom [[Stichprobenumfang|Umfang]] <math>n = 350</math> konnte [[Statistik|statistisch]] nicht bewiesen werden, dass der Anteil der Kreditnehmer mit Rückzahlungsschwierigkeiten kleiner als 20% ist.
| |
|
| |
| Die ABC-Bank wird ihre Bewertungskriterien überarbeiten.
| |
|
| |
| =====Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 2. Art=====
| |
|
| |
| Auch bei dieser [[Statistischer Test|Test]]variante kann mit der Beibehaltung der [[Nullhypothese]] ein [[Fehler 2. Art]] <math>(\mbox{''}H_{0}\mbox{''}|H_{1})</math> unterlaufen, wenn in Wirklichkeit die [[Alternativhypothese]] richtig ist.
| |
|
| |
| Analog soll die Frage gestellt werden:
| |
|
| |
| Wie groß wäre die [[Wahrscheinlichkeit]], dass bei diesem [[Linksseitiger Test|linksseitigen Test]] (mit <math>\pi_{0} = 0,2,\; n = 350,\; \alpha = 0,05</math>) die [[Nullhypothese]] nicht verworfen würde, wenn der wahre Anteil der Kreditnehmer mit Rückzahlungsschwierigkeiten <math>\pi = 0,15</math> beträgt?
| |
|
| |
| Für <math>\pi = 0,15</math> gilt in Wirklichkeit die [[Alternativhypothese]], so dass die [[Wahrscheinlichkeit]] für einen [[Fehler 2. Art]] gesucht wird: <math>\beta(\pi = 0,15)=P(\mbox{''}H_{0}\mbox{''}|H_{1})</math>.
| |
|
| |
| Zunächst wird der kritische [[Anteilswert der Grundgesamtheit|Anteilswert]] <math>p_{c}</math> bei Gültigkeit der <math>H_{0}</math> ermittelt, der sich aus der Beziehung <math>-c = \frac{p_{c} - \pi_{0}}{\sigma(\widehat{\pi})}</math> zu <math>p_{c} = \pi_{0} - c \cdot \sigma(\widehat{\pi }) = 0,2 - 1,645\left(0,2\cdot \frac{0,8}{350}\right) = 0,1648</math> ergibt.
| |
|
| |
| <math>\beta(\pi)</math> ist somit die [[Wahrscheinlichkeit]], dass die [[Schätzfunktion]] <math>\widehat{\pi }</math> einen Wert im [[Nichtablehnungsbereich der Nullhypothese|Nichtablehnungsbereich der <math>H_{0}</math>]] annimmt, obwohl <math>H_{1}</math> gilt:
| |
|
| |
| <math>\beta \left( \pi =0,15\right) =P\left(\widehat{\pi}\geq p_{c}|\pi =0,15\right)=P\left(\widehat{\pi }\geq 0,1648|\pi =0,15\right)</math>
| |
|
| |
| Um diese [[Wahrscheinlichkeit]] aus der Tabelle der [[Standardnormalverteilung]] entnehmen zu können, muss ebenfalls eine
| |
| [[Standardisierung]] vorgenommen werden, da jedoch <math>H_{1}</math> gilt mit <math>E\left[\widehat{\pi }\right] =\pi =0,15</math> und <math>Var\left(\widehat{\pi }\right) =\frac{\pi\left( 1-\pi \right)}{n}=\frac{0,15\cdot 0,85}{350}</math>:
| |
|
| |
| {|
| |
| |<math>\beta \left( \pi =0,15\right)</math>
| |
| |<math>=P\left( \widehat{\pi }\geq p_{c}|\pi =0,15\right) =P\left( \frac{\widehat{\pi }-\pi_{0}}{\sqrt{\frac{\pi \left( 1-\pi \right) }{n}}}\geq \frac{p_{c}-\pi_{0}}{\sqrt{\frac{\pi\left( 1-\pi \right) }{n}}}|\pi =0,15\right)</math>
| |
| |-
| |
| |
| |
| |<math> =P\left( V\geq \frac{0,1648-0,15}{\sqrt{\frac{0,15\cdot 0,85}{350}}}|\pi =0,15\right)=P\left( V\geq 0,775|\pi =0,15\right)</math>
| |
| |}
| |
|
| |
| Aus der Tabelle der [[Verteilungsfunktion (stochastisch, eindimensional)|Verteilungsfunktion]] der [[Standardnormalverteilung]] findet man <math>P\left( V\leq 0,775\right)=0,7808</math> und somit
| |
|
| |
| <math>\beta\left( \pi=0,15\right)=1-P\left( V\leq 0,775 \right)=1-0,7808=0,2192</math>
| |
|
| |
| Diese [[Wahrscheinlichkeit]] eines [[Fehler 2. Art|Fehlers 2. Art]] <math>\beta\left( \pi=0,15\right)</math> liegt deutlich unter vorheriger Variante mit [[Stichprobenumfang]] n=30. Dies resultiert aus der Erhöhung des [[Stichprobenumfang]]es.
| |
|
| |
| <!--==Interaktives Beispiel==
| |
|
| |
| Vorausgesetzt wird eine dichotome Grundgesamtheit von <math>N = 3250</math> Studenten einer
| |
| Wirtschaftswissenschaftlichen Fakultät, in der ein unbekannter Anteil <math>\pi</math> von Studenten Begeisterung für Statistik aufweist und ein Anteil <math>1 - \pi</math> diese Eigenschaft nicht besitzt. Die zugrundeliegende [[STAT-Glossar#Zufallsvariable|Zufallsvariable]] ist <math>X =\;</math> "Statistikbegeisterung der Studenten", die nur die Werte
| |
| <math>X = 1</math> für "ja" und <math>X = 0</math> für "nein" annehmen kann.
| |
|
| |
| Es wird angenommen, dass die Hälfte der Studenten sich für Statistik begeistert, d.h., der
| |
| hypothetische Wert ist <math>\pi_{0}=0,5</math>
| |
|
| |
| Auf einem [[STAT-Glossar#Signifikanzniveau|Signifikanzniveau]] von <math>\alpha</math> und basierend auf einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n</math> soll getestet werden, ob der wahre Anteilswert <math>\pi</math> der [[STAT-Glossar#Zufallsvariable|Zufallsvariablen]] <math>X\;</math> in der
| |
| Grundgesamtheit dem hypothetischen Wert <math>\pi_{0} = 0,5</math> entspricht, d.h.
| |
|
| |
| <math>H_{0}:\;\pi =\pi_{0}=0,5\quad H_{1}:\;\pi \neq \pi_{0}=0,5</math>
| |
|
| |
| Mit diesem Beispiel haben Sie die Möglichkeit, den Test wiederholt durchzuführen, wobei
| |
| '''für jede Testdurchführung erneut eine Zufallsstichprobe aus der Grundgesamtheit gezogen
| |
| wird.''' Dabei können Sie
| |
|
| |
| * das [[STAT-Glossar#Signifikanzniveau|Signifikanzniveau]] <math>\alpha</math> und den [[STAT-Glossar#Stichprobenumfang|Stichprobenumfang]] <math>n</math> konstant halten;
| |
| * das [[STAT-Glossar#Signifikanzniveau|Signifikanzniveau]] <math>\alpha</math> verändern und den [[STAT-Glossar#Stichprobenumfang|Stichprobenumfang]] <math>n</math> konstant halten;
| |
| * das [[STAT-Glossar#Signifikanzniveau|Signifikanzniveau]] <math>\alpha</math> konstant halten und den [[STAT-Glossar#Stichprobenumfang|Stichprobenumfang]] <math>n</math> verändern;
| |
| * das [[STAT-Glossar#Signifikanzniveau|Signifikanzniveau]] <math>\alpha</math> und den [[STAT-Glossar#Stichprobenumfang|Stichprobenumfang]] <math>n</math> verändern.
| |
| -->
| |
Grundbegriffe
Test auf Anteilswert
Vorausgesetzt wird eine dichotome Grundgesamtheit, in der ein unbekannter Anteil
von
Elementen eine interessierende Eigenschaft aufweist und ein Anteil
diese Eigenschaft nicht besitzt.
Über
existiert eine Annahme (hypothetischer Wert)
. Diese Annahme soll mittels eines statistischen Tests geprüft werden, wobei es sich um einen Parametertest handelt.
Es wird im Weiteren vorausgesetzt, dass der Test auf einer einfachen Zufallsstichprobe vom vorgegebenen Umfang
basiert, womit die Stichprobenvariablen
, die nur die Werte 0 oder 1 annehmen können, unabhängig und identisch Bernoulli-verteilt sind.
Geprüft wird auf dem Signifikanzniveau
.
Je nach Problemstellung können die Tests als zwei- oder einseitige Tests formuliert werden.
![{\displaystyle H_{0}:\;\pi =\pi _{0},\quad H_{1}:\;\pi \neq \pi _{0}}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=ca0a842e00e6e814d17f9fbdf4c3fb73&mode=mathml)
![{\displaystyle H_{0}:\;\pi \leq \pi _{0},\quad H_{1}:\pi >\pi _{0}}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=16afc135b6f5db4bd105a10bf8d318a6&mode=mathml)
![{\displaystyle H_{0}:\pi \geq \pi _{0},\quad H_{1}:\pi <\pi _{0}}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=a836aeb1d9b56b901e1c2f917a42dac6&mode=mathml)
Für die Wahl der Hypothesenformulierung gelten die Ausführungen zum "Test auf Mittelwert" in analoger Weise.
Teststatistik des Tests auf Anteilswert
Der Stichprobenanteilswert
ist eine geeignete Schätzfunktion für
.
Eine gleichwertige Stichprobenfunktion ist die Zufallsvariable
als Anzahl der Elemente mit der interessierenden Eigenschaft in der Zufallsstichprobe, denn sie unterscheidet sich nur durch den konstanten Faktor
vom Stichprobenanteilswert.
Wie bereits gezeigt (siehe Abschnitt "Verteilung des Stichprobenanteilswertes" und "Binomialverteilung"), ist
binomialverteilt mit den Parametern
und
.
Da der Stichprobenumfang
vorgegeben ist, muss zur konkreten Angabe der Binomialverteilung noch
festgelegt werden.
Die einzige verfügbare Information über
ist der hypothetische Wert
.
Es wird nun unterstellt, dass
der wahre Anteilswert in der Grundgesamtheit ist, d.h.
gilt.
Damit folgt:
Die Schätzfunktion
kann unmittelbar als Teststatistik verwendet werden, die bei Gültigkeit der Nullhypothese
binomialverteilt ist mit den Parametern
und
.
Entscheidungsbereiche des Tests auf Anteilswert
Der Ablehnungsbereich der Nullhypothese beinhaltet alle Realisationen der Teststatistik
, deren aufsummierte Wahrscheinlichkeiten maximal
betragen.
Die kritischen Werte findet man aus der Tabelle der Verteilungsfunktion
der
wie folgt:
Zweiseitiger Test
Der untere kritische Wert
ist diejenige Realisation von
, für die
den Wert
gerade überschreitet, so dass gilt:
und
.
Der obere kritische Wert
ist diejenige Realisation von
, für die
den Wert
gerade erreicht oder überschreitet, so dass gilt:
und
.
Der Ablehnungsbereich der
ist gegeben durch
mit
.
Für den Nichtablehnungsbereich der
erhält man:
mit
.
Rechtsseitiger Test
Der kritische Wert
ist diejenige Realisation von
, für die
den Wert
gerade erreicht oder überschreitet, so dass gilt:
und
.
Der Ablehnungsbereich der
ist gegeben durch
mit
.
Für den Nichtablehnungsbereich der
erhält man:
mit
.
Linksseitiger Test
Der kritische Wert
ist diejenige Realisation von
, für die
den Wert
gerade überschreitet, so dass gilt:
und
.
Der Ablehnungsbereich der
ist gegeben durch
mit
.
Für den Nichtablehnungsbereich der
erhält man:
mit
.
Prüfwert des Tests auf Anteilswert
Wenn die einfache Zufallsstichprobe vom Umfang
gezogen wurde, liegen die konkreten Stichprobenwerte
vor und der Prüfwert
der entsprechenden Teststatistik
kann ermittelt werden.
Entscheidungssituationen des Tests auf Anteilswert
Testentscheidung und Interpretation erfolgen in gleicher Weise wie beim "Test auf Mittelwert".
Gütefunktion des Tests auf Anteilswert
Für die Teststatistik
bei genügend großem Stichprobenumfang (Approximation durch die Normalverteilung - siehe unten)
lassen sich für die verschiedenen Testvarianten die Formeln für die Berechnung der Gütefunktion in ähnlicher Weise wie beim Test auf Mittelwert herleiten, worauf an dieser Stelle verzichtet wird.
Wenn
die Teststatistik ist, muss auch zur Berechnung der Gütefunktion
die Binomialverteilung verwendet werden, d.h.
für alle zulässigen Werte
und festes
.
Für
folgt
![{\displaystyle G\left(\pi \right)=P\left(V<x_{u}|\pi \right)+P\left(V>x_{o}|\pi \right)=P\left(V\leq x_{u}-1|\pi \right)+\left[1-P\left(V\leq x_{o}|\pi \right)\right]}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=3bb5e171f1a245577468cc83bed49861&mode=mathml)
,
.
Die Wahrscheinlichkeiten sind aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der
zu entnehmen.
Die Gütefunktion an der Stelle
entspricht stets dem exakten Signifikanzniveau
.
Zusatzinformationen
Approximation durch die Normalverteilung
Da
eine diskrete Zufallsvariable ist, gilt für alle Testvarianten, dass das vorgegebene Signifikanzniveau
nicht notwendig ausgeschöpft und somit nur mit dem sich ergebenden exakten Signifikanzniveau
getestet wird.
Für genügend großen Stichprobenumfang
wird, ausgehend von der Schätzfunktion
die standardisierte Zufallsvariable
als Teststatistik verwendet, wobei
die Standardabweichung der Schätzfunktion
unter
bezeichnet.
ist bei Gültigkeit der Nullhypothese approximativ standardnormalverteilt (siehe Abschnitt Verteilung des Stichprobenanteilswertes). Für das vorgegebene Signifikanzniveau
können die kritischen Werte aus der Tabelle der Standardnormalverteilung entnommen werden.
Für die einzelnen Testmöglichkeiten ergeben sich die Entscheidungsbereiche analog zum approximativen Einstichproben-t-Test. Da
gilt, wird deutlich, dass eine Hypothese über den Anteilswert
einer Hypothese über den Erwartungswert entspricht.