Test auf Anteilswert/Beispiel: Kreditwürdigkeit

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Beispiele

Kreditwürdigkeit

Zu den wichtigsten Aufgaben einer Bank gehört die Bewertung der Kreditwürdigkeit potentieller Kreditnehmer, um Kreditverluste niedrig zu halten.

Die ABC-Bank will eine Verschärfung der Bewertungsrichtlinien der Kreditwürdigkeit vornehmen, wenn der Anteil von gewährten Krediten mit Schwierigkeiten bei der Rückzahlung nicht unter 20% liegt.

Sie lässt deshalb von ihrer Statistik-Abteilung einen Test durchführen. Dabei will die Bank das Risiko, keine Veränderung in den Bewertungsrichtlinien vorzunehmen, obwohl der Anteil 20% und mehr beträgt, gering halten.

Die Zufallsvariable X\;: "Schwierigkeiten bei der Kreditrückzahlung" weist nur die Werte 0 (nein) oder 1 (ja) auf. Der Anteil \pi der Kreditnehmer mit Schwierigkeiten bei der Rückzahlung ist unbekannt.

Die Überprüfung läuft auf einen Test des Anteilswertes einer dichotomen Grundgesamtheit hinaus, wobei der hypothetische Wert \pi_{0} = 0,2 ist.

Es sind nur Abweichungen vom hypothetischen Wert nach einer Seite von Bedeutung, so dass ein einseitiger Test durchgeführt wird.

Da die ABC-Bank nachweisen will, dass ihre derzeitigen Bewertungskriterien ausreichend sind, d.h. der Anteil der Kreditnehmer mit Rückzahlungsschwierigkeiten kleiner als 20% ist, wird diese Annahme als Alternativhypothese formuliert, woraus ein linksseitiger Test resultiert:

H_{0}:\;\pi \geq \pi_{0}=0,2\quad H_{1}:\;\pi<\pi_{0}=0,2

Über eine Fehlerbetrachtung ist zu prüfen, ob bei dieser Hypothesenformulierung die Vorgabe der Bank eingehalten wird.

Der bei der Ablehnung der H_{0} mögliche Fehler 1. Art hat folgenden Inhalt:

\mbox{''}H_{1}\mbox{''}|H_{0}= "Anteil mit Rückzahlungsschwierigkeiten  <20%; Veränderungen in den Bewertungsrichtlinien werden nicht vorgenommen" | in Wirklichkeit ist der Anteil mit Rückzahlungsschwierigkeiten \geq 20%; Veränderungen in den Bewertungsrichtlinien müssten erfolgen.

Wird im Ergebnis des Tests die Nullhypothese nicht abgelehnt, ist der Inhalt des möglichen Fehlers 2. Art:

\mbox{''}H_{0}\mbox{''}|H_{1} = "Anteil mit Rückzahlungsschwierigkeiten \geq 20%; Veränderungen in den Bewertungsrichtlinien sind vorzunehmen"| in Wirklichkeit ist der Anteil mit Rückzahlungsschwierigkeiten \leq 20%; Veränderungen in den Bewertungsrichtlinien sind nicht notwendig.

Der Fehler 1. Art entspricht der Risikovorgabe der ABC-Bank. Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art P(\mbox{''}H_{1}\mbox{''}|H_{0}) kann über die Festlegung des Signifikanzniveaus gesteuert werden. Die Bank will dieses Risiko klein halten und gibt deshalb \alpha = 0,05 vor.

Der Fehler 2. Art hat für die Bank keine schwerwiegenden Folgen, denn eine Verschärfung der Bewertungsrichtlinien, obwohl es aufgrund des gesetzten Kriteriums nicht notwendig gewesen wäre, ist nicht nachteilig.

Von dieser Hypothesenformulierung und dem vorgegebenen Signifikanzniveau \alpha = 0,05 wird bei den beiden folgenden Testvarianten ausgegangen.

Für die Durchführung des Tests soll eine einfache Zufallsstichprobe vom Umfang n aus den mehr als 10000 Kreditnehmern gezogen werden.

Bei der gegebenen Problemstellung ist es nicht sinnvoll, das Zufallsauswahlmodell mit Zurücklegen anzuwenden. Bei Einhaltung eines Auswahlsatzes von \frac{n}{N} \leq 0,05 kann jedoch eine Zufallsauswahl ohne Zurücklegen näherungsweise als eine einfache Zufallsstichprobe angesehen werden.

Stichprobenumfang n=30

Um die Kosten für die Überprüfung niedrig zu halten, wird der Stichprobenumfang auf n = 30 festgelegt. Die Forderung \frac{n}{N}\leq 0,05 wird eingehalten.

Teststatistik und Entscheidungsbereiche

Die Schätzfunktion X=\; "Anzahl der Kreditnehmer mit Rückzahlungsschwierigkeiten in einer Zufallsstichprobe von Umfang n = 30" kann unmittelbar als Teststatistik V\; verwendet werden.

V = X\; ist unter H_{0}\sim B(30; 0,2)-verteilt.

Eine kleine Anzahl von Kreditnehmern mit Rückzahlungsschwierigkeiten in der Stichprobe spricht dabei gegen die Nullhypothese.

Der kritische Wert x_{c} ist diejenige Realisation von X\;, für die F_{B}(x) den Wert \alpha = 0,05 gerade überschreitet, so dass gilt:

F_{B}(x_{c} - 1) \leq 0,05 und F_{B}(x_{c}) > 0,05.

In der Tabelle der Verteilungsfunktion der B(30; 0,2) findet man x_{c} = 3.

Damit folgt:

Ablehnungsbereich der H_{0}: \left\{v|v<3\right\}=\left\{0,1,2\right\}, mit P\left(V<3|0,2\right) =0,0442.

Nichtablehnungsbereich der H_{0}: \left\{v|v\geq 3\right\}=\left\{3,4,\ldots,30\right\}, mit P\left(V\geq 3|0,02\right) =0,9558.

Da V = X\; eine diskrete Zufallsvariable ist, wird das vorgegebene Signifikanzniveau von \alpha = 0,05 nicht voll ausgeschöpft. Es ist nur \alpha_{exakt}=0,0442.

Prüfwert und Testentscheidung

Aus den Kreditnehmern werden 30 zufällig ausgewählt und festgestellt, ob es Schwierigkeiten bei der Rückzahlung gab oder nicht.

Es habe sich x = 5 als Anzahl der Kreditnehmer mit Rückzahlungsschwierigkeiten in der Zufallsstichprobe ergeben, was gleichzeitig der Prüfwert v ist.

Da v = x = 5 in den Nichtablehnungsbereich der H_{0} fällt, wird die Nullhypothese nicht abgelehnt.

Der in der Stichprobe beobachtete Anteil \frac{5}{30} = 0,167 ist zwar kleiner als der hypothetische Wert \pi_{0}= 0,20, die Differenz zwischen beiden wird jedoch auf einem Signifikanzniveau von \alpha = 0,05 noch nicht als wesentlich angesehen.

Man beachte, dass bei Tests auf einem vorgegebenen Signifikanzniveau \alpha stets Entscheidungsbereiche (Nichtablehnungsbereich bzw. Ablehnungsbereich der H_{0}) der Testentscheidung zugrunde liegen und nicht nur die Punktschätzung.

Basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang n = 30 konnte statistisch nicht bewiesen werden, dass der Anteil der Kreditnehmer mit Rückzahlungsschwierigkeiten kleiner als 20% ist. Die ABC-Bank wird ihre Bewertungskriterien überarbeiten.

Gütefunktion

Mit der Beibehaltung der Nullhypothese kann ein Fehler 2. Art (\mbox{''}H_{0}\mbox{''}|H_{1}) unterlaufen, wenn in Wirklichkeit die Alternativhypothese richtig ist.

Wie groß wäre die Wahrscheinlichkeit, dass bei diesem linksseitigen Test (mit \pi_{0}=0,2,\; n = 30,\; \alpha = 0,05 und x_{c} = 3) die Nullhypothese nicht verworfen würde, wenn der wahre Anteil der Kreditnehmer mit Rückzahlungsschwierigkeiten \pi = 0,15 beträgt?

Für \pi = 0,15 gilt in Wirklichkeit die Alternativhypothese, so dass die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art gesucht wird:

\beta \left( \pi =0,15\right) =P\left(\mbox{''}H_{0}\mbox{''}|H_{1}\right) =P\left(V=X\in\mbox{ Nichtablehnungsbereich der }H_{0}|\pi =0,15\right)=P\left(V\geq 3|\pi=0,15\right)

Es ist

P\left( V\geq 3|\pi=0,15\right)=1-P\left(V<3|\pi=0,15\right)=1-P\left(V\leq 2|\pi=0,15\right)=1-0,1514=0,8486

wobei man P\left(V\leq 2|\pi=0,15\right) in der Tabelle der Verteilungsfunktion der B\left(30;\; 0,15\right) findet.

Im Fall eines wahren Anteils von \pi =0,15 wird in 84,86% aller Stichproben vom Umfang n = 30 die Abweichung vom hypothetischen Wert \pi_{0}=0,20, durch den Test nicht aufgedeckt.

Die Beibehaltung der Nullhypothese (\mbox{''}H_{0}\mbox{''}) im Ergebnis des Tests auf der Basis der konkreten Stichprobe veranlasst die Bank zur Verschärfung der Bewertungsrichtlinien; da jedoch mit \pi = 0,15 in Wirklichkeit die Alternativhypothese wahr ist, wäre die Veränderung der Bewertungsrichtlinien nicht notwendig.

\beta(\pi = 0,15) = 0,8496 ist somit die Wahrscheinlichkeit für eine nicht notwendige Veränderung der Richtlinien.

Obwohl sie recht hoch ist, stellt sie aber für die Bank bei der Testdurchführung nicht das entscheidende Problem dar (im Vergleich zur Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art).

Mit der Beibehaltung der Nullhypothese kann aber auch eine richtige Entscheidung getroffen werden, wenn in Wirklichkeit die Nullhypothese richtig ist (\mbox{''}H_{0}\mbox{''}|H_{0}).

Wie groß wäre die Wahrscheinlichkeit, dass bei diesem linksseitigen Test (mit \pi_{0}=0,2,\; n = 30,\;\alpha = 0,05 und x_{c} = 3) die Nullhypothese nicht verworfen würde, wenn der wahre Anteil der Kreditnehmer mit Rückzahlungsschwierigkeiten \pi = 0,25 beträgt?

Für \pi = 0,25 gilt in Wirklichkeit die Nullhypothese, so dass folgende Wahrscheinlichkeit gesucht wird:

P\left( V=X \in \mbox{Nichtablehnungsbereich der }H_{0}|\pi=0,25\right) =P\left( V\geq 3|\pi =0,25\right) =P\left(\mbox{''}H_{0}\mbox{''}|H_{0}\right)=1-\alpha^{*}

Es ist

P\left(V\geq 3|\pi=0,25\right)=1-P\left(V\leq 2|\pi=0,25\right)=1-P\left(V\leq 2|\pi=0,25\right)=1-0,0106=0,9894

mit P\left( V\leq 2|\pi=0,25\right) aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der B\left(30;\; 0,25\right)

Beide Wahrscheinlichkeitsberechnungen können für verschiedene zulässige Werte von \pi durchgeführt werden.

Eine geeignete Berechnungs- und Darstellungsweise ist die Gütefunktion G(\pi) bzw. 1 - G(\pi).

\pi Gültigkeit von G\left(\pi\right) 1-G\left(\pi\right)
0 H_{1} 1=1-\beta 0=\beta
0,05 H_{1} 0,8122=1-\beta 0,1878=\beta
0,10 H_{1} 0,4114=1-\beta 0,5886=\beta
0,15 H_{1} 0,1514=1-\beta 0,8486=\beta
0,20 H_{0} 0,0442=\alpha_{a} 0,9558=1-\alpha_{a}
0,25 H_{0} 0,0106=\alpha 0,9894=1-\alpha
0,30 H_{0} 0,0021=\alpha 0,9979=1-\alpha
0,35 H_{0} 0,0003=\alpha 0,9997=1-\alpha
0,40 H_{0} 0=\alpha 1=1-\alpha

Die nachstehende Abbildung zeigt die Gütefunktion für den linksseitigen Test mit \pi_{0}=0,20,\; n = 30,\; \alpha = 0,05 und x_{c} = 3.

Stichprobenumfang n=350

Die Statistik-Abteilung will nicht nur die Wahrscheinlichkeit des für die Bank schwerwiegenden Fehlers 1. Art durch die Vorgabe von \alpha = 0,05 niedrig halten, sondern auch erreichen, dass das Risiko für einen Fehler 2. Art nicht zu hoch ausfällt.

Da bekannt ist, dass bei festgelegtem Signifikanzniveau \alpha die Wahrscheinlichkeit \beta für einen Fehler 2. Art über die Erhöhung des Stichprobenumfangs verringert werden kann, entscheidet sich die Statistik-Abteilung gleich für einen großen Stichprobenumfang: n = 350. Die Forderung \frac{n}{N}\leq 0,05 wird eingehalten.

Teststatistik und Entscheidungsbereiche

Es wird die Teststatistik

V=\frac{\widehat{\pi }-\pi_{0}}{\sigma_{0}\left( \widehat{\pi }\right) }=
\frac{\widehat{\pi }-\pi_{0}}{\sqrt{\cfrac{\pi_{0}\left( 1-\pi_{0}\right) }{n}}}

verwendet, die bei Gültigkeit der Nullhypothese approximativ standardnormalverteilt ist, da aufgrund des sehr großen Stichprobenumfanges die Approximationsbedingungen erfüllt sind.

Für P(V \leq c) = 1 - \alpha = 0,95 findet man aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der N(0; 1):\; c = z_{0,95} = 1,645, so dass wegen der Symmetrie der Normalverteilung der kritische Wert -c = - 1,645 ist.

Der approximative Ablehnungsbereich der H_{0} ist gegeben durch \left\{v|v<-1,645\right\}

Für den approximativen Nichtablehnungsbereich der H_{0} erhält man \left\{ v|v\geq -1,645\right\}

Prüfwert und Testentscheidung

Aus den Kreditnehmern werden 350 zufällig ausgewählt und festgestellt, ob es Schwierigkeiten bei der Rückzahlung gab oder nicht.

Es habe sich x = 63 als Anzahl der Kreditnehmer mit Rückzahlungsschwierigkeiten in der Zufallsstichprobe ergeben, womit der Anteil in der Stichprobe 0,18 beträgt.

Einsetzen in die Teststatistik führt zu dem Prüfwert:

v=\frac{0,18-0,2}{\sqrt{\cfrac{0,2\cdot 0,8}{350}}}=-0,935

Da v = - 0,935 in den Nichtablehnungsbereich der H_{0} fällt, wird die Nullhypothese nicht abgelehnt.

Basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang n = 350 konnte statistisch nicht bewiesen werden, dass der Anteil der Kreditnehmer mit Rückzahlungsschwierigkeiten kleiner als 20% ist.

Die ABC-Bank wird ihre Bewertungskriterien überarbeiten.

Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 2. Art

Auch bei dieser Testvariante kann mit der Beibehaltung der Nullhypothese ein Fehler 2. Art (\mbox{''}H_{0}\mbox{''}|H_{1}) unterlaufen, wenn in Wirklichkeit die Alternativhypothese richtig ist.

Analog soll die Frage gestellt werden:

Wie groß wäre die Wahrscheinlichkeit, dass bei diesem linksseitigen Test (mit \pi_{0} = 0,2,\; n = 350,\; \alpha = 0,05) die Nullhypothese nicht verworfen würde, wenn der wahre Anteil der Kreditnehmer mit Rückzahlungsschwierigkeiten \pi = 0,15 beträgt?

Für \pi = 0,15 gilt in Wirklichkeit die Alternativhypothese, so dass die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art gesucht wird: \beta(\pi = 0,15)=P(\mbox{''}H_{0}\mbox{''}|H_{1}).

Zunächst wird der kritische Anteilswert p_{c} bei Gültigkeit der H_{0} ermittelt, der sich aus der Beziehung -c = \frac{p_{c} - \pi_{0}}{\sigma(\widehat{\pi})} zu p_{c} = \pi_{0} - c \cdot \sigma(\widehat{\pi }) = 0,2 - 1,645\left(0,2\cdot \frac{0,8}{350}\right) = 0,1648 ergibt.

\beta(\pi) ist somit die Wahrscheinlichkeit, dass die Schätzfunktion \widehat{\pi } einen Wert im Nichtablehnungsbereich der H_{0} annimmt, obwohl H_{1} gilt:

\beta \left( \pi =0,15\right) =P\left(\widehat{\pi}\geq p_{c}|\pi =0,15\right)=P\left(\widehat{\pi }\geq 0,1648|\pi =0,15\right)

Um diese Wahrscheinlichkeit aus der Tabelle der Standardnormalverteilung entnehmen zu können, muss ebenfalls eine Standardisierung vorgenommen werden, da jedoch H_{1} gilt mit E\left[\widehat{\pi }\right] =\pi =0,15 und Var\left(\widehat{\pi }\right) =\frac{\pi\left( 1-\pi \right)}{n}=\frac{0,15\cdot 0,85}{350}:

\beta \left( \pi =0,15\right) =P\left( \widehat{\pi }\geq p_{c}|\pi =0,15\right) =P\left( \frac{\widehat{\pi }-\pi_{0}}{\sqrt{\frac{\pi \left( 1-\pi \right) }{n}}}\geq \frac{p_{c}-\pi_{0}}{\sqrt{\frac{\pi\left( 1-\pi \right) }{n}}}|\pi =0,15\right)
 =P\left( V\geq \frac{0,1648-0,15}{\sqrt{\frac{0,15\cdot 0,85}{350}}}|\pi =0,15\right)=P\left( V\geq 0,775|\pi =0,15\right)

Aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung findet man P\left( V\leq 0,775\right)=0,7808 und somit

\beta\left( \pi=0,15\right)=1-P\left( V\leq 0,775 \right)=1-0,7808=0,2192

Diese Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 2. Art \beta\left( \pi=0,15\right) liegt deutlich unter vorheriger Variante mit Stichprobenumfang n=30. Dies resultiert aus der Erhöhung des Stichprobenumfanges.