Konfidenzintervall für die Differenz zweier Erwartungswerte

Grundbegriffe

Konfidenzintervall für die Differenz zweier Erwartungswerte

Von den vielen Möglichkeiten, Konfidenzintervalle für die Differenz $\mu _{1}-\mu _{2}$ zweier Erwartungswerte zu konstruieren, wird nur diejenige behandelt, für die nachstehende Voraussetzungen gelten:

• Gegeben sind zwei Grundgesamtheiten, in denen die Zufallsvariablen $X_{1}\;$ und $X_{2}\;$ normalverteilt sind mit $E\left[X_{1}\right]=\mu _{1}$ bzw. $E\left[X_{2}\right]=\mu _{2}$ und $Var(X_{1})=\sigma _{1}^{2}$ bzw. $Var(X_{2})=\sigma _{2}^{2}$, d.h. $X_{1}\sim N\left(\mu _{1};\sigma _{1}^{2}\right)$ und $X_{2}\sim N\left(\mu _{2};\sigma _{2}^{2}\right)$.

• Aus jeder Grundgesamtheit wird eine einfache Zufallsstichprobe gezogen bzw. es wird unterstellt, dass die Umfänge der beiden Grundgesamtheiten $N_{1}$ und $N_{2}$ genügend groß sind, dass von der Realisierung einfacher Zufallsstichproben ausgegangen werden kann. Die Stichprobenumfänge sind $n_{1}$ und $n_{2}$.

• Die beiden Zufallsstichproben sind unabhängig voneinander.

Von besonderem Interesse bei der praktischen Anwendung von Konfidenzintervallen für die Differenz $\mu _{1}-\mu _{2}$ zweier Erwartungswerte ist es, ob der Wert 0 dabei überdeckt wird oder nicht.

Sobald das aus den Stichproben resultierende Schätzintervall den Wert $\mu _{1}-\mu _{2}=0$ nicht einschließt, ist ein Unterschied zwischen $\mu _{1}$ und $\mu _{2}$ auf dem verwendeten Konfidenzniveau bedeutsam.

Da die Zufallsvariablen $X_{1}\;$ und $X_{2}\;$ normalverteilt sind, gilt dies auch für die Stichprobenmittelwerte ${\bar {X_{1}}}$ und ${\bar {X_{2}}}$ (vgl. Abschnitt "Verteilung des Stichprobenmittelwertes").

Weiterhin sind:

$E\left[{\bar {X_{1}}}\right]=\mu _{1}$

$Var({\bar {X_{1}}})=\sigma ^{2}({\bar {X_{1}}})={\frac {\sigma _{1}^{2}}{n_{1}}}$

$E\left[{\bar {X_{2}}}\right]=\mu _{2}$

$Var({\bar {X_{2}}})=\sigma ^{2}({\bar {X_{2}}})={\frac {\sigma _{2}^{2}}{n_{2}}}$

Zusammenfassend kann geschrieben werden:

${\bar {X_{1}}}\ \sim N\left(\mu _{1};{\frac {\sigma _{1}^{2}}{n_{1}}}\right)\qquad {\bar {X_{2}}}\sim N\left(\mu _{2};{\frac {\sigma _{2}^{2}}{n_{2}}}\right)$

Aufgrund der Reproduktivitätseigenschaft der Normalverteilung folgt, dass die Differenz der beiden Stichprobenmittelwerte

$D={\bar {X_{1}}}-{\bar {X_{2}}}$

ebenfalls normalverteilt ist mit dem Erwartungswert

$E[D]=E\left[{\bar {X_{1}}}-{\bar {X_{2}}}\right]=E\left[{\bar {X_{1}}}\right]-E\left[{\bar {X_{2}}}\right]=\mu _{1}-\mu _{2}$

und der Varianz

$Var(D)=\sigma _{D}^{2}=Var({\bar {X_{1}}}-{\bar {X_{2}}})=Var({\bar {X_{1}}})+Var({\bar {X_{2}}})={\frac {\sigma _{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {\sigma _{2}^{2}}{n_{2}}}$

Die standardisierte Zufallsvariable

$Z={\frac {D-E[D]}{\sigma _{D}}}={\frac {\left({\bar {X_{1}}}-{\bar {X_{2}}}\right)-\left(\mu _{1}-\mu _{2}\right)}{\sqrt {{\frac {\sigma _{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {\sigma _{2}^{2}}{n_{2}}}}}}$

ist demzufolge standardnormalverteilt $Z\sim N(0;1)\;$.

Anhand des Nenners von $Z\;$ wird deutlich, dass für die Konstruktion von Konfidenzintervallen für $\mu _{1}-\mu _{2}$ unterschieden werden muss nach:

• Die Varianzen der beiden Grundgesamtheiten $\sigma _{1}^{2}$ und $\sigma _{2}^{2}$ sind bekannt.

• Die Varianzen der beiden Grundgesamtheiten $\sigma _{1}^{2}$ und $\sigma _{2}^{2}$ sind unbekannt.

Konfidenzintervall für die Differenz zweier Erwartungswerte bei bekannten Varianzen

Bei Gültigkeit der eingangs genannten Voraussetzungen und bekannten Varianzen $\sigma _{1}^{2}$ und $\sigma _{2}^{2}$ ist

$\left[\left({\bar {X_{1}}}-{\bar {X_{2}}}\right)-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\sqrt {{\frac {\sigma _{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {\sigma _{2}^{2}}{n_{2}}}}},\;\left({\bar {X_{1}}}-{\bar {X_{2}}}\right)+z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\sqrt {{\frac {\sigma _{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {\sigma _{2}^{2}}{n_{2}}}}}\right]$

ein Konfidenzintervall für die Differenz $\mu _{1}-\mu _{2}$ zweier Erwartungswerte zum Konfidenzniveau

$P\left(\left({\bar {X_{1}}}-{\bar {X_{2}}}\right)-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\sqrt {{\frac {\sigma _{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {\sigma _{2}^{2}}{n_{2}}}}}\leq \mu _{1}-\mu _{2}\leq \left({\bar {X_{1}}}-{\bar {X_{2}}}\right)+z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\sqrt {{\frac {\sigma _{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {\sigma _{2}^{2}}{n_{2}}}}}\right)=1-\alpha$

Für die vorgegebene Wahrscheinlichkeit $1-\alpha$ findet man $z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}$ aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung.

Wurden die beiden Stichproben gezogen, erhält man ein entsprechendes Schätzintervall.

• Approximation:

Sofern keine Normalverteilung in den beiden Grundgesamtheiten unterstellt werden kann, die beiden Stichprobenumfänge jedoch $n_{1}\geq 30$ und $n_{2}\geq 30$ sind, kann wegen des zentralen Grenzwertsatzes das Konfidenzintervall ebenfalls verwendet werden. Das Konfidenzniveau ist dann approximativ $1-\alpha$.

Konfidenzintervall für die Differenz zweier Erwartungswerte bei unbekannten Varianzen

In diesem Fall werden $\sigma _{1}^{2}$ und $\sigma _{2}^{2}$ mittels der erwartungstreuen und konsistenten Schätzfunktionen

$S_{1}^{2}={\frac {1}{n_{1}-1}}\cdot \sum \limits _{i=1}^{n_{1}}(X_{1i}-{\bar {X_{1}}})^{2}\qquad S_{2}^{2}={\frac {1}{n_{2}-1}}\cdot \sum \limits _{i=1}^{n_{2}}(X_{2i}-{\bar {X_{2}}})^{2}$

aus den Stichproben geschätzt.

Annahme der Varianzhomogenität

Unter der Annahme der Varianzhomogenität, d.h. beide Grundgesamtheiten haben gleiche Varianz $\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}$, ergibt sich eine Schätzung $S^{2}\,$ für die gemeinsame Varianz $\sigma ^{2}$ als gewogenes arithmetisches Mittel aus den beiden Stichprobenvarianzen:

$S^{2}={\frac {(n_{1}-1)\cdot S_{1}^{2}+(n_{2}-1)\cdot S_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}}$

$S^{2}\;$ wird auch als pooled variance bezeichnet.

Als Schätzfunktion $S_{D}^{2}$ für $\sigma _{D}^{2}$ folgt:

$S_{D}^{2}=S^{2}\cdot \left({\frac {1}{n_{1}}}+{\frac {1}{n_{2}}}\right)={\frac {n_{1}+n_{2}}{n_{1}n_{2}}}\cdot {\frac {(n_{1}-1)\cdot S_{1}^{2}+(n_{2}-1)\cdot S_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}}$

Die Standardabweichung $S_{D}\;$ als Wurzel aus $S_{D}^{2}$ wird für die Standardisierung verwendet, so dass die sich ergebende Zufallsvariable

$T={\cfrac {D-E(D)}{S_{D}}}={\cfrac {({\bar {x}}_{1}-{\bar {x}}_{2})-(\mu _{1}-\mu _{2})}{\sqrt {{\cfrac {n_{1}+n_{2}}{n_{1}n_{2}}}\cdot {\cfrac {(n_{1}-1)\cdot s_{1}^{2}+(n_{2}-1)\cdot s_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}}}}}$

einer t-Verteilung mit der Anzahl der Freiheitsgrade $n_{1}+n_{2}-2$ folgt.

Mit diesen Ergebnissen lässt sich ein Konfidenzintervall angeben:

Bei Gültigkeit der eingangs genannten Voraussetzungen und unbekannten gleichen Varianzen $\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}$ ist:

$\left[\left({\bar {X}}_{1}-{\bar {X}}_{2}\right)-t_{n_{1}+n_{2}-2;1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot S_{D};\;\left({\bar {X}}_{1}-{\bar {X}}_{2}\right)+t_{n_{1}+n_{2}-2;1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot S_{D}\right]$

ein Konfidenzintervall für die Differenz $\mu _{1}-\mu _{2}$ zweier Erwartungswerte zum Konfidenzniveau

$P\left(\left({\bar {X}}_{1}-{\bar {X}}_{2}\right)-t_{n_{1}+n_{2}-2;1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot S_{D}\leq \mu _{1}-\mu _{2}\leq \left({\bar {X}}_{1}-{\bar {X}}_{2}\right)+t_{n_{1}+n_{2}-2;1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot S_{D}\right)\approx 1-\alpha$

Für die vorgegebene Wahrscheinlichkeit $1-\alpha$ findet man $t_{n_{1}+n_{2}-2;1-{\frac {\alpha }{2}}}$ in der Tabelle der Verteilungsfunktion der t-Verteilung.

• Approximation:

Sofern die beiden Stichprobenumfänge genügend groß sind (Faustregel: $n_{1}\geq 30$ und $n_{2}\geq 30$) kann $t_{f,1-{\frac {\alpha }{2}}}$ durch $z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}$ aus der Standardnormalverteilung ersetzt werden. Das Konfidenzniveau ist dann approximativ $1-\alpha$.

Annahme der Varianzheterogenität

Unter der Annahme der Varianzheterogenität, d.h. beide Grundgesamtheiten haben ungleiche Varianz $\sigma _{1}^{2}\neq \sigma _{2}^{2}$ ergibt sich als Schätzfunktion $S_{D}^{2}$ für $\sigma _{D}^{2}$

$S_{D}^{2}={\frac {S_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {S_{2}^{2}}{n_{2}}}$

Wenn die beiden Stichprobenumfänge genügend groß sind ($n_{1}\geq 30$ und $n_{2}\geq 30$), lässt sich folgende Aussage treffen:

Bei Gültigkeit der eingangs genannten Voraussetzungen und unbekannten ungleichen Varianzen $\sigma _{1}^{2}$ und $\sigma _{2}^{2}$ ist

$\left[({\bar {X}}_{1}-{\bar {X}}_{2})-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\sqrt {{\frac {S_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {S_{2}^{2}}{n_{2}}}}},\;({\bar {X}}_{1}-{\bar {X}}_{2})+z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\sqrt {{\frac {S_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {S_{2}^{2}}{n_{2}}}}}\right]$

ein approximatives Konfidenzintervall für die Differenz $\mu _{1}-\mu _{2}$ zweier Erwartungswerte zum näherungsweisen Konfidenzniveau

$P\left(({\bar {X}}_{1}-{\bar {X}}_{2})-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\sqrt {{\frac {S_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {S_{2}^{2}}{n_{2}}}}}\;\leq \;\mu _{1}-\mu _{2}\;\leq \;({\bar {X}}_{1}-{\bar {X}}_{2})+z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\sqrt {{\frac {S_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {S_{2}^{2}}{n_{2}}}}}\right)=1-\alpha$

Für die vorgegebene Wahrscheinlichkeit $1-\alpha$ findet man $z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}$ aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung.

• Approximation:

Für kleine Stichprobenumfänge $n_{1}$ und $n_{2}$ gibt es die Möglichkeit, unter Verwendung der t-Verteilung Konfidenzintervalle für $\mu _{1}-\mu _{2}$ anzugeben.

Zusatzinformationen

Charakteristika des Konfidenzintervalls bei bekannten Varianzen

• Das angegebene Konfidenzintervall ist ein bezüglich der Wahrscheinlichkeit symmetrisches Konfidenzintervall, denn es gilt:

$P\left(\mu _{1}-\mu _{2}<D-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot \sigma _{D}\right)={\frac {\alpha }{2}}=P\left(D+z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot \sigma _{D}<\mu _{1}-\mu _{2}\right)$

• Das Konfidenzintervall ist symmetrisch bezüglich der Punktschätzung. Die Grenzen des Intervalls haben zu $D\;$ den gleichen Abstand.

• Die Länge des Konfidenzintervalls und der Schätzfehler hängen nicht von den Stichprobenergebnissen, jedoch von den Stichprobenumfängen $n_{1}$ und $n_{2}$, den Varianzen $\sigma _{1}^{2}$ und $\sigma _{2}^{2}$ der beiden Grundgesamtheiten und vom vorgegebenen Konfidenzniveau $1-\alpha$ ab.

Charakteristika des Konfidenzintervalls bei unbekannten Varianzen

• die angegebenen Konfidenzintervalle sind bezüglich der Wahrscheinlichkeit symmetrische Konfidenzintervalle.

• Die Konfidenzintervalle sind symmetrisch bezüglich der Punktschätzung. Die Grenzen der Intervalle haben zu $D\;$ den gleichen Abstand.

• Die Länge der Konfidenzintervalle und die Schätzfehler sind Zufallsvariablen, da sie über $S_{1}^{2}$ und $S_{2}^{2}$ von den Stichprobenergebnissen abhängen.

• Die Konfidenzintervalle sind außerdem von den Stichprobenumfängen $n_{1}$ und $n_{2}$ und vom vorgegebenen Konfidenzniveau $1-\alpha$ abhängig.

Beispiele

Benzinverbrauch

Der Automobilclub ADAC will eine Aussage über die Differenz des mittleren Benzinverbrauchs pro 100 km bei Fahrten auf Autobahnen für zwei vergleichbare Typen von Personenkraftwagen der Hersteller $A$ und $B$ treffen.

Zu diesem Zweck soll ein Konfidenzintervall für die Differenz der beiden Erwartungswerte $\mu _{1}-\mu _{2}$ zum Konfidenzniveau $1-\alpha =0,95$ bestimmt werden.

Bevor die Stichproben gezogen werden können, sind einige statistische Überlegungen notwendig.

• Es sei bekannt, dass die Zufallsvariablen
  • $X_{1}=\;$ Benzinverbrauch pro 100 km des Autos vom Hersteller $A$
  • $X_{2}=\;$ Benzinverbrauch pro 100 km des Autos vom Hersteller $B$

normalverteilt sind mit den unbekannten Erwartungswerten $E[X_{1}]=\mu _{1}$ bzw. $E[X_{2}]=\mu _{2}$ und den unbekannten Varianzen $Var(X_{1})=\sigma _{1}^{2}$ bzw. $Var(X_{2})=\sigma _{2}^{2}$.

• Des weiteren kann nicht von einer Gleichheit der Varianzen in den beiden Grundgesamtheiten ausgegangen werden. Um jedoch für das Konfidenzintervall mit der Normalverteilung arbeiten zu können, müssen die Stichprobenumfänge $n_{1}\geq 30$ und $n_{2}\geq 30$ sein.

• Da die Gesamtproduktion des jeweiligen Autotyps bei beiden Herstellern (Grundgesamtheiten) sehr groß ist, spielt es keine entscheidende Rolle, ob das Zufallsauswahlmodell mit oder ohne Zurücklegen angewandt wird, so dass von der Realisierung einfacher Zufallsstichproben ausgegangen werden kann.

• Aufgrund der Problemstellung kann die Unabhängigkeit der beiden Zufallsstichproben unterstellt werden.

Daraus folgt, dass das Konfidenzintervall für die Differenz $\mu _{1}-\mu _{2}$ gemäß

$\left[({\bar {X}}_{1}-{\bar {X}}_{2})-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\sqrt {{\frac {S_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {S_{2}^{2}}{n_{2}}}}},\;({\bar {X}}_{1}-{\bar {X}}_{2})+z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\sqrt {{\frac {S_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {S_{2}^{2}}{n_{2}}}}}\right]$

bestimmt werden kann mit näherungsweisem Konfidenzniveau

$P\left(({\bar {X}}_{1}-{\bar {X}}_{2})-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\sqrt {{\frac {S_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {S_{2}^{2}}{n_{2}}}}}\,\;\leq \;\mu _{1}-\mu _{2}\;\leq \;({\bar {X}}_{1}-{\bar {X}}_{2})+z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\sqrt {{\frac {S_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {S_{2}^{2}}{n_{2}}}}}\right)=0,95$

Aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der N(0;1)-Verteilung findet man $z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}=1,96$.

Es werden vom ADAC 36 Autos des Herstellers $A$ und 40 Autos des Herstellers $B$ unter gleichen Bedingungen getestet, die zu folgenden Stichprobenergebnissen führten:

${\bar {X}}_{1}={\frac {9,2{\mbox{ l}}}{100{\mbox{ km}}}},\;s_{1}={\frac {0,6{\mbox{ l}}}{100{\mbox{ km}}}}$

${\bar {X}}_{2}={\frac {8,4{\mbox{ l}}}{100{\mbox{ km}}}},\;s_{2}={\frac {0,4{\mbox{ l}}}{100{\mbox{ km}}}}$

Als Schätzintervall resultiert:

$\left[(9,2-8,4)-1,96\cdot {\sqrt {{\frac {0,6^{2}}{36}}+{\frac {0,4^{2}}{40}}}};\;(9,2-8,4)+1,96\cdot {\sqrt {{\frac {0,6^{2}}{36}}+{\frac {0,4^{2}}{40}}}}\right]=[0,586;\;1,032]$

Da ein hohes Konfidenzniveau vorgegeben wurde, wird unterstellt, eines der Schätzintervalle erhalten zu haben, dass die wahre Differenz $\mu _{1}-\mu _{2}$ enthält.

Dieses Schätzintervall überdeckt nicht den Wert 0, so dass von einem statistisch bedeutsamen (signifikanten) Unterschied zwischen $\mu _{1}$ und $\mu _{2}$ auf dem verwendeten Konfidenzniveau ausgegangen werden kann.

Kassakurs

Die X-AG will den Kurs ihrer Aktien an zwei deutschen Wertpapierbörsen (Frankfurt und Berlin) analysieren.

In den Vergleich wird u.a. der Kassakurs, der einmal täglich um 12.00 Uhr an beiden Börsen ermittelt wird, einbezogen. Hierbei interessiert insbesondere eine Aussage über die Differenz der mittleren Kassakurse beider Börsen.

Neben einer Punktschätzung für die unbekannte Differenz der mittleren Kassakurse soll ein Konfidenzintervall zum Konfidenzniveau $1-\alpha =0,95$ angegeben werden.

Die Zufallsvariablen der beiden Grundgesamtheiten sind:

$X_{1}=\;$ Kassakurs an der Frankfurter Wertpapierbörse

$X_{2}=\;$ Kassakurs an der Berliner Wertpapierbörse,

mit den unbekannten Erwartungswerten $E[X_{1}]=\mu _{1}$ bzw. $E[X_{2}]=\mu _{2}$ und den unbekannten Varianzen $Var(X_{1})=\sigma _{1}^{2}$ bzw. $Var(X_{2})=\sigma _{2}^{2}$.

Zu Demonstrationszwecken sei angenommen, dass

• die Kursfestsetzung an beiden Börsenplätzen unabhängig voneinander erfolgt,
• die Varianzen in beiden Grundgesamtheiten gleich sind (Varianzhomogenität).

Aus jeder Grundgesamtheit wird eine Zufallsstichprobe gezogen, mit dem Umfang $n_{1}$ in Frankfurt und mit dem Umfang $n_{2}$ in Berlin.

Damit eine tägliche Notierung nicht wiederholt in die Stichprobe gelangt, wird das Zufallsauswahlmodell ohne Zurücklegen angewandt.

Da die X-AG bereits seit längerer Zeit an beiden Börsen gehandelt wird, können die Grundgesamtheiten als sehr groß angesehen werden.

Es spielt deshalb keine entscheidende Rolle, ob das Zufallsauswahlmodell mit oder ohne Zurücklegen angewandt wird, so dass von der Realisierung einfacher Zufallsstichproben ausgegangen werden kann.

Aufgrund obiger Annahmen kann außerdem die Unabhängigkeit der beiden Zufallsstichproben unterstellt werden.

Um in diesem Beispiel verschiedene Möglichkeiten der Konstruktion von Konfidenzintervallen für die Differenz $\mu _{1}-\mu _{2}$ zweier Erwartungswerte demonstrieren zu können, wird die Annahme über die Verteilung der Zufallsvariablen $X_{1}\;$ und $X_{2}\;$ in folgender Weise variiert:

• $X_{1}\;$ und $X_{2}\;$ sind normalverteilt (was zugestandenermaßen nicht sehr realitätsnah ist),
• die Verteilungen von $X_{1}\;$ und $X_{2}\;$ sind unbekannt.

Normalverteilte Zufallsvariablen

Aufgrund der Voraussetzungen gilt:

$X_{1}\sim N(\mu _{1};\sigma ^{2})\;$ und $X_{2}\sim N(\mu _{2};\sigma ^{2})\;$.

Als standardisierte Zufallsvariable wird

$T={\cfrac {D-E(D)}{S_{D}}}={\cfrac {({\bar {X}}_{1}-{\bar {X}}_{2})-(\mu _{1}-\mu _{2})}{\sqrt {{\cfrac {n_{1}+n_{2}}{n_{1}n_{2}}}\cdot {\cfrac {(n_{1}-1)\cdot S_{1}^{2}+(n_{2}-1)\cdot S_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}}}}}$

verwendet, die einer t-Verteilung mit der Anzahl der Freiheitsgrade $f=n_{1}+n_{2}-2$ folgt.

Bei Gültigkeit der genannten Voraussetzungen und unbekannten gleichen Varianzen $\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}$ ist

$\left[({\bar {X}}_{1}-{\bar {X}}_{2})-t_{n_{1}+n_{2}-2;1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot S_{D},\;({\bar {X}}_{1}-{\bar {X}}_{2})+t_{n_{1}+n_{2}-2;1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot S_{D}\right]$

ein Konfidenzintervall für die Differenz $\mu _{1}-\mu _{2}$ der Erwartungswerte der beiden Kassakurse zum Konfidenzniveau

$P\left(({\bar {X}}_{1}-{\bar {X}}_{2})-t_{n_{1}+n_{2}-2;1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot S_{D}\;\leq \quad \mu _{1}-\mu _{2}\quad \leq \;({\bar {X}}_{1}-{\bar {X}}_{2})+t_{n_{1}+n_{2}-2;1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot S_{D}\right)=1-\alpha =0.95$

Für das vorgegebene Konfidenzniveau $1-\alpha =0.95$, findet man $t_{f,1-{\frac {\alpha }{2}}}$ aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der t-Verteilung.

Aus beiden Grundgesamtheiten wird an gleichen Tagen eine uneingeschränkte Zufallsstichprobe vom Umfang $n=10$ täglichen Kassakursen (in DM) gezogen, die zu folgenden Stichprobenwerten (Spalten 2 und 3 der nachstehenden Tabelle) führten.

$i\;$	Kassakurse an der Frankfurter Börse $x_{1i}\;$	Kassakurse an der Frankfurter Börse $x_{2i}\;$	$(x_{1i}-{\bar {x}}_{1})^{2}$	$(x_{2i}-{\bar {x}}_{2})^{2}$
1	18,50	18,45	0,0841	0,1296
2	19,00	18,90	0,0441	0,0081
3	18,70	18,80	0,0081	0,0001
4	19,30	19,50	0,2601	0,4761
5	17,10	17,30	2,8561	2,2801
6	18,30	18,10	0,2401	0,5041
7	18,60	18,80	0,0361	0,0001
8	19,00	18,85	0,0441	0,0016
9	19,40	19,50	0,3721	0,4761
10	20,00	19,90	1,4641	1,1881

Daraus ergeben sich gemäß

${\bar {x}}_{1}={\frac {1}{n_{1}}}\cdot \sum \limits _{i=1}^{n_{1}}x_{1i}\qquad \qquad {\bar {x}}_{2}={\frac {1}{n_{2}}}\cdot \sum \limits _{i=1}^{n_{2}}x_{2i}$

die Punktschätzungen für $\mu _{1}$ und $\mu _{2}$

${\bar {x}}_{1}=18,79{\mbox{ DM}}$

${\bar {x}}_{2}=18,81{\mbox{ DM}}$

und gemäß

$s_{1}^{2}={\frac {1}{n_{1}-1}}\cdot \sum \limits _{i=1}^{n_{1}}(x_{1i}-{\bar {x_{1}}})^{2}\qquad \qquad s_{2}^{2}={\frac {1}{n_{2}-1}}\cdot \sum \limits _{i=1}^{n_{2}}(x_{2i}-{\bar {x_{2}}})^{2}$

die Punktschätzungen für $\sigma _{1}^{2}$ und $\sigma _{2}^{2}$:

$s_{1}^{2}=0,601$

$s_{2}^{2}=0,563$

Wegen der unterstellten Varianzhomogenität in beiden Grundgesamtheiten ergibt sich eine Punktschätzung $s^{2}$ für die gemeinsame Varianz (pooled variance) $\sigma ^{2}$ als gewogenes arithmetisches Mittel aus den beiden Stichprobenvarianzen:

$s^{2}={\frac {(n_{1}-1)\cdot s_{1}^{2}+(n_{2}-1)\cdot s_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}}={\frac {9\cdot 0.601+9\cdot 0.563}{18}}=0.582$

Als Punktschätzung $s_{D}^{2}$ für $\sigma _{D}^{2}$, der Varianz der Differenz der beiden Stichprobenmittelwerte resultiert:

$s_{D}^{2}=s^{2}\cdot \left({\frac {1}{n_{1}}}+{\frac {1}{n_{2}}}\right)=0,582\cdot {\frac {1}{5}}=0,1164$

Die Standardabweichung ist somit $s_{D}={\sqrt {0,1164}}=0,3412$.

Der Freiheitsgrad $f$ beträgt $f=n_{1}+n_{2}-2=10+10-2=18$ und aus der Tabelle der t-Verteilung kann man ablesen, dass $t_{18;0.975}=2.101$.

Mit diesen Ergebnissen kann das Schätzintervall für die Differenz der beiden Erwartungswerte der Kassakurse ermittelt werden:

$\left[\left(18,79-18,81\right)-2,101\cdot 0,3412,\;\left(18,79-18,81\right)+2,101\cdot 0,3412\right]=\left[-0,7369,\;0.6969\right]$

Da ein hohes Konfidenzniveau vorgegeben wurde, kann unterstellt werden, eines der Schätzintervalle erhalten zu haben, dass die wahre Differenz $\mu _{1}$ und $\mu _{2}$ enthält.

Das errechnete Schätzintervall überdeckt den Wert 0, so dass von einem statistisch nicht bedeutsamen Unterschied zwischen dem mittleren Kassakurs der Frankfurter Börse $\mu _{1}$ und dem mittleren Kassakurs der Berliner Börse $\mu _{2}$ auf dem verwendeten Konfidenzniveau ausgegangen werden kann.

Unbekannte Verteilung der Zufallsvariablen

Es wird nun die Voraussetzung der Normalverteilung der beiden Zufallsvariablen $X_{1}\;$ und $X_{2}\;$ fallen gelassen.

Die Konsequenz ist, dass keine Aussage über die Verteilung der beiden Stichprobenmittelwerte ${\bar {X}}_{1}$ und ${\bar {X}}_{2}$ und damit über ihre Differenz ${\bar {X}}_{1}-{\bar {X}}_{2}$ getroffen werden kann.

Um dennoch ein Konfidenzintervall für die Differenz $\mu _{1}-\mu _{2}$ der Erwartungswerte der beiden Kassakurse konstruieren zu können, müssen beide Stichprobenumfänge $n_{1}\geq 30$ und $n_{2}\geq 30$ gewählt werden, damit der Zentrale Grenzwertsatz wirksam wird.

Die standardisierte Zufallsvariable

$T={\cfrac {D-E(D)}{S_{D}}}={\cfrac {({\bar {X}}_{1}-{\bar {X}}_{2})-(\mu _{1}-\mu _{2})}{\sqrt {{\cfrac {n_{1}+n_{2}}{n_{1}n_{2}}}\cdot {\cfrac {(n_{1}-1)\cdot S_{1}^{2}+(n_{2}-1)\cdot S_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}}}}}$

ist dann approximativ standardnormalverteilt. Bei Gültigkeit der genannten Voraussetzungen und unbekannten gleichen Varianzen $\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}$ ist

$\left[({\bar {X}}_{1}-{\bar {X}}_{2})-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot S_{D},\;({\bar {X}}_{1}-{\bar {X}}_{2})+z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot S_{D}\right]$

ein Konfidenzintervall für die Differenz $\mu _{1}-\mu _{2}$ der Erwartungswerte der beiden Kassakurse zum approximativen Konfidenzniveau

$P\left(({\bar {X}}_{1}-{\bar {X}}_{2})-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot S_{D}\;\leq \;\mu _{1}-\mu _{2}\;\leq \;({\bar {X}}_{1}-{\bar {X}}_{2})+z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot S_{D}\right)\approx 1-\alpha =0,95$

Für das vorgegebene Konfidenzniveau $1-\alpha$ findet man $z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}=z_{0,975}=1,96$ aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung

Aus beiden Grundgesamtheiten wird eine uneingeschränkte Zufallsstichprobe vom Umfang $n=50$ täglichen Kassakursen (in DM) gezogen.

Als Punktschätzungen habe sich ergeben:

${\bar {X}}_{1}=18,80\ \qquad \qquad s_{1}^{2}=0,5967$

${\bar {X}}_{2}=18,83\ \qquad \qquad s_{2}^{2}=0,6188$

Wegen der unterstellten Varianzhomogenität in beiden Grundgesamtheiten ergibt sich für die Punktschätzung $s^{2}$ der gemeinsamen Varianz:

$s^{2}={\frac {49\cdot 0,5967+49\cdot 0,6188}{98}}=0,6078$

Als Punktschätzung $s_{D}^{2}$ für $\sigma _{D}^{2}$, der Varianz der Differenz der beiden Stichprobenmittelwerte resultiert:

$s_{D}^{2}=s^{2}\cdot \left({\frac {1}{n_{1}}}+{\frac {1}{n_{2}}}\right)=0,6078\cdot {\frac {1}{25}}=0,0243$

Die Standardabweichung ist somit $s_{D}={\sqrt {0,0243}}=0.1559$.

Für das Schätzintervall der Differenz der beiden Erwartungswerte der Kassakurse resultiert:

$[(18,80-18,83)-1,96\cdot 0,1559;\;(18,80-18,83)+1,96\cdot 0,1559]=[-0,3356;\;0,2756]$

Die Interpretation ist analog zur 1. Version zu führen.

Vergleicht man beide Versionen dieses Beispiels miteinander, so kann folgendes konstatiert werden:

• In der 1. Version liegen mehr Informationen über die Grundgesamtheiten vor als in der 2. Version.

• Die Differenz der beiden Stichprobenmittelwerte und die gemeinsame Varianz $s^{2}$ bewegen sich in beiden Versionen in etwa gleichen Größenordnungen.

• Die Varianz $s_{D}^{2}$ bzw. die Standardabweichung $s_{D}$ der Differenz der Stichprobenmittelwerte ist in der 2. Version deutlich kleiner als in der 1. Version. Dies ist offensichtlich auf die wesentlich größeren Stichprobenumfänge zurückzuführen.

• Die Länge des Schätzintervalls ist in der 2. Version deutlich kleiner als in der 1. Version.

Die fehlende Information über die Grundgesamtheit äußert sich darin, dass das Konfidenzniveau nur approximativ gilt.

In welchem Ausmaß das wirkliche Konfidenzniveau vom approximativen abweicht, kann nicht gesagt werden.