Einstichproben-t-Test

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Grundbegriffe

Einstichproben-t-Test

Der Einstichproben-t-Test ist ein Test auf Mittelwert, wobei die Standardabweichung $\sigma$ des Stichprobenmittelwertes ${\bar {X}}$ als unbekannt vorrausgesetzt wird.

Im Folgenden gelten alle Voraussetzungen wie unter "Test auf Mittelwert" diskutiert.

Teststatistik des Einstichproben-t-Tests

In der standardisierten Zufallsvariablen

$V={\frac {{\bar {X}}-\mu _{0}}{\sigma }}\cdot {\sqrt {n}}$

ist nunmehr $\sigma$ unbekannt und muss durch eine Schätzung aus der Stichprobe ersetzt werden.

Eine erwartungstreue Schätzfunktion für die Varianz $\sigma ^{2}$ der Grundgesamtheit ist

$S^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\bar {X}}\right)^{2}}{n-1}}$

Als Teststatistik wird somit

$V={\frac {{\bar {X}}-\mu _{0}}{S}}\cdot {\sqrt {n}}$

verwendet.

Bei Gültigkeit der Nullhypothese $H_{0}$ ist $V\;$ (zumindest approximativ) t-verteilt mit $f=n-1$ Freiheitsgraden (vgl. dazu den Abschnitt "Verteilung des Stichprobenmittelwertes").

Für das vorgegebene Signifikanzniveau $\alpha$ und die Anzahl der Freiheitsgrade $f=n-1$ können die kritischen Werte aus der Tabelle der t-Verteilung entnommen werden.

Entscheidungsbereiche des Einstichproben-t-Tests

Für die einzelnen Testmöglichkeiten erhält man die nachstehenden Entscheidungsbereiche bei Gültigkeit der Nullhypothese $H_{0}$

Zweiseitiger Test

Ablehnungsbereich der $H_{0}$:

$\left\{v|v<-t_{1-{\frac {\alpha }{2}};n-1}{\mbox{ oder }}v>t_{1-{\frac {\alpha }{2}};n-1}\right\}$

Nichtablehnungsbereich der $H_{0}$:

$\left\{v|-t_{1-{\frac {\alpha }{2}};n-1}\leq v\leq t_{1-{\frac {\alpha }{2}};n-1}\right\}$

Rechtsseitiger Test

Ablehnungsbereich der $H_{0}$:

$\left\{v|v>t_{1-\alpha ;n-1}\right\}$

Nichtablehnungsbereich der $H_{0}$:

$\left\{v|v\leq t_{1-\alpha ;n-1}\right\}$

Linksseitiger Test

Ablehnungsbereich der $H_{0}$:

$\left\{v|v<-t_{1-\alpha ;n-1}\right\}$

Nichtablehnungsbereich der $H_{0}$:

$\left\{v|v\geq -t_{1-\alpha ;n-1}\right\}$

Prüfwert des Einstichproben-t-Tests

Wenn die Zufallsstichprobe vom Umfang $n$ gezogen wurde, liegen die konkreten Stichprobenwerte $x_{1},\ldots ,x_{n}$ vor und der Schätzwert ${\bar {x}}$ für den Stichprobenmittelwert und der Schätzwert $s$ für die Standardabweichung können berechnet werden:

${\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\;x_{i}$

$s={\sqrt {\frac {\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}{n-1}}}$

Einsetzen in die Teststatistik führt zu einem Prüfwert:

$v={\frac {{\bar {x}}-\mu _{0}}{s}}\cdot {\sqrt {n}}$

Entscheidungssituationen des Einstichproben-t-Tests

• Wenn $v$ in den Ablehnungsbereich der $H_{0}$ fällt, wird die Nullhypothese auf dem Signifikanzniveau $\alpha$ und basierend auf der Zufallsstichprobe vom Umfang $n$ abgelehnt $({\mbox{''}}H_{1}{\mbox{''}})$:

Es konnte statistisch gezeigt werden, dass der wahre Erwartungswert $E[X]=\mu$ in der Grundgesamtheit nicht gleich dem hypothetischen Wert $\mu _{0}$ ist.

Bei dieser Entscheidung besteht die Möglichkeit, einen Fehler 1. Art $({\mbox{''}}H_{1}{\mbox{''}}|H_{0})$ zu begehen, wenn in Wirklichkeit die Nullhypothese richtig ist.

Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art entspricht dem vorgegebenen Signifikanzniveau $\alpha$.

• Wenn $v$ in den Nichtablehnungsbereich der $H_{0}$ fällt, wird die Nullhypothese basierend auf der Zufallsstichprobe vom Umfang $n$ nicht abgelehnt $({\mbox{''}}H_{0}{\mbox{''}})$.

Das Stichprobenergebnis gibt keine Veranlassung, $H_{0}$ zu verwerfen:

Es konnte statistisch nicht gezeigt werden, dass der wahre Erwartungswert $E[X]=\mu$ in der Grundgesamtheit vom hypothetischen Wert $\mu _{0}$ abweicht.

Bei dieser Entscheidung besteht die Möglichkeit, einen Fehler 2. Art $({\mbox{''}}H_{0}{\mbox{''}}|H_{1})$ zu begehen, wenn in Wirklichkeit die Alternativhypothese richtig ist.

Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art ist im Allgemeinen nicht bekannt und kann nur für konkrete Alternativwerte $\mu _{1}$ berechnet werden.

Zusatzinformationen

Approximation durch Gauß-Test

Bei genügend großem Stichprobenumfang $n\;(n\geq 30)$ ist aufgrund der Wirksamkeit des Zentralen Grenzwertsatzes die Teststatistik $V\;$ unter $H_{0}$ approximativ $N(0;1)$ - verteilt.

Es können dann näherungsweise die kritischen Werte aus der $N(0;1)$ entnommen und die entsprechenden Entscheidungsbereiche des Gauß-Tests ($\sigma$ ist bekannt) verwendet werden.