Konfidenzintervall für die Differenz zweier Erwartungswerte

Unterseiten Beispiel: Benzinverbrauch

Grundbegriffe

Konfidenzintervall für die Differenz zweier Erwartungswerte

Von den vielen Möglichkeiten, Konfidenzintervalle für die Differenz $\mu _{1}-\mu _{2}$ zweier Erwartungswerte zu konstruieren, wird nur diejenige behandelt, für die nachstehende Voraussetzungen gelten:

• Gegeben sind zwei Grundgesamtheiten, in denen die Zufallsvariablen $X_{1}\;$ und $X_{2}\;$ normalverteilt sind mit $E\left[X_{1}\right]=\mu _{1}$ bzw. $E\left[X_{2}\right]=\mu _{2}$ und $Var(X_{1})=\sigma _{1}^{2}$ bzw. $Var(X_{2})=\sigma _{2}^{2}$, d.h. $X_{1}\sim N\left(\mu _{1};\sigma _{1}^{2}\right)$ und $X_{2}\sim N\left(\mu _{2};\sigma _{2}^{2}\right)$.

• Aus jeder Grundgesamtheit wird eine einfache Zufallsstichprobe gezogen bzw. es wird unterstellt, dass die Umfänge der beiden Grundgesamtheiten $N_{1}$ und $N_{2}$ genügend groß sind, dass von der Realisierung einfacher Zufallsstichproben ausgegangen werden kann. Die Stichprobenumfänge sind $n_{1}$ und $n_{2}$.

• Die beiden Zufallsstichproben sind unabhängig voneinander.

Von besonderem Interesse bei der praktischen Anwendung von Konfidenzintervallen für die Differenz $\mu _{1}-\mu _{2}$ zweier Erwartungswerte ist es, ob der Wert 0 dabei überdeckt wird oder nicht.

Sobald das aus den Stichproben resultierende Schätzintervall den Wert $\mu _{1}-\mu _{2}=0$ nicht einschließt, ist ein Unterschied zwischen $\mu _{1}$ und $\mu _{2}$ auf dem verwendeten Konfidenzniveau bedeutsam.

Da die Zufallsvariablen $X_{1}\;$ und $X_{2}\;$ normalverteilt sind, gilt dies auch für die Stichprobenmittelwerte ${\bar {X_{1}}}$ und ${\bar {X_{2}}}$ (vgl. Abschnitt "Verteilung des Stichprobenmittelwertes").

Weiterhin sind:

$E\left[{\bar {X_{1}}}\right]=\mu _{1}$

$Var({\bar {X_{1}}})=\sigma ^{2}({\bar {X_{1}}})={\frac {\sigma _{1}^{2}}{n_{1}}}$

$E\left[{\bar {X_{2}}}\right]=\mu _{2}$

$Var({\bar {X_{2}}})=\sigma ^{2}({\bar {X_{2}}})={\frac {\sigma _{2}^{2}}{n_{2}}}$

Zusammenfassend kann geschrieben werden:

${\bar {X_{1}}}\ \sim N\left(\mu _{1};{\frac {\sigma _{1}^{2}}{n_{1}}}\right)\qquad {\bar {X_{2}}}\sim N\left(\mu _{2};{\frac {\sigma _{2}^{2}}{n_{2}}}\right)$

Aufgrund der Reproduktivitätseigenschaft der Normalverteilung folgt, dass die Differenz der beiden Stichprobenmittelwerte

$D={\bar {X_{1}}}-{\bar {X_{2}}}$

ebenfalls normalverteilt ist mit dem Erwartungswert

$E[D]=E\left[{\bar {X_{1}}}-{\bar {X_{2}}}\right]=E\left[{\bar {X_{1}}}\right]-E\left[{\bar {X_{2}}}\right]=\mu _{1}-\mu _{2}$

und der Varianz

$Var(D)=\sigma _{D}^{2}=Var({\bar {X_{1}}}-{\bar {X_{2}}})=Var({\bar {X_{1}}})+Var({\bar {X_{2}}})={\frac {\sigma _{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {\sigma _{2}^{2}}{n_{2}}}$

Die standardisierte Zufallsvariable

$Z={\frac {D-E[D]}{\sigma _{D}}}={\frac {\left({\bar {X_{1}}}-{\bar {X_{2}}}\right)-\left(\mu _{1}-\mu _{2}\right)}{\sqrt {{\frac {\sigma _{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {\sigma _{2}^{2}}{n_{2}}}}}}$

ist demzufolge standardnormalverteilt $Z\sim N(0;1)\;$.

Anhand des Nenners von $Z\;$ wird deutlich, dass für die Konstruktion von Konfidenzintervallen für $\mu _{1}-\mu _{2}$ unterschieden werden muss nach:

• Die Varianzen der beiden Grundgesamtheiten $\sigma _{1}^{2}$ und $\sigma _{2}^{2}$ sind bekannt.

• Die Varianzen der beiden Grundgesamtheiten $\sigma _{1}^{2}$ und $\sigma _{2}^{2}$ sind unbekannt.

Konfidenzintervall für die Differenz zweier Erwartungswerte bei bekannten Varianzen

Bei Gültigkeit der eingangs genannten Voraussetzungen und bekannten Varianzen $\sigma _{1}^{2}$ und $\sigma _{2}^{2}$ ist

$\left[\left({\bar {X_{1}}}-{\bar {X_{2}}}\right)-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\sqrt {{\frac {\sigma _{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {\sigma _{2}^{2}}{n_{2}}}}},\;\left({\bar {X_{1}}}-{\bar {X_{2}}}\right)+z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\sqrt {{\frac {\sigma _{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {\sigma _{2}^{2}}{n_{2}}}}}\right]$

ein Konfidenzintervall für die Differenz $\mu _{1}-\mu _{2}$ zweier Erwartungswerte zum Konfidenzniveau

$P\left(\left({\bar {X_{1}}}-{\bar {X_{2}}}\right)-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\sqrt {{\frac {\sigma _{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {\sigma _{2}^{2}}{n_{2}}}}}\leq \mu _{1}-\mu _{2}\leq \left({\bar {X_{1}}}-{\bar {X_{2}}}\right)+z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\sqrt {{\frac {\sigma _{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {\sigma _{2}^{2}}{n_{2}}}}}\right)=1-\alpha$

Für die vorgegebene Wahrscheinlichkeit $1-\alpha$ findet man $z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}$ aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung.

Wurden die beiden Stichproben gezogen, erhält man ein entsprechendes Schätzintervall.

• Approximation:

Sofern keine Normalverteilung in den beiden Grundgesamtheiten unterstellt werden kann, die beiden Stichprobenumfänge jedoch $n_{1}\geq 30$ und $n_{2}\geq 30$ sind, kann wegen des zentralen Grenzwertsatzes das Konfidenzintervall ebenfalls verwendet werden. Das Konfidenzniveau ist dann approximativ $1-\alpha$.

Konfidenzintervall für die Differenz zweier Erwartungswerte bei unbekannten Varianzen

In diesem Fall werden $\sigma _{1}^{2}$ und $\sigma _{2}^{2}$ mittels der erwartungstreuen und konsistenten Schätzfunktionen

$S_{1}^{2}={\frac {1}{n_{1}-1}}\cdot \sum \limits _{i=1}^{n_{1}}(X_{1i}-{\bar {X_{1}}})^{2}\qquad S_{2}^{2}={\frac {1}{n_{2}-1}}\cdot \sum \limits _{i=1}^{n_{2}}(X_{2i}-{\bar {X_{2}}})^{2}$

aus den Stichproben geschätzt.

Annahme der Varianzhomogenität

Unter der Annahme der Varianzhomogenität, d.h. beide Grundgesamtheiten haben gleiche Varianz $\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}$, ergibt sich eine Schätzung $S^{2}\,$ für die gemeinsame Varianz $\sigma ^{2}$ als gewogenes arithmetisches Mittel aus den beiden Stichprobenvarianzen:

$S^{2}={\frac {(n_{1}-1)\cdot S_{1}^{2}+(n_{2}-1)\cdot S_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}}$

$S^{2}\;$ wird auch als pooled variance bezeichnet.

Als Schätzfunktion $S_{D}^{2}$ für $\sigma _{D}^{2}$ folgt:

$S_{D}^{2}=S^{2}\cdot \left({\frac {1}{n_{1}}}+{\frac {1}{n_{2}}}\right)={\frac {n_{1}+n_{2}}{n_{1}n_{2}}}\cdot {\frac {(n_{1}-1)\cdot S_{1}^{2}+(n_{2}-1)\cdot S_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}}$

Die Standardabweichung $S_{D}\;$ als Wurzel aus $S_{D}^{2}$ wird für die Standardisierung verwendet, so dass die sich ergebende Zufallsvariable

$T={\cfrac {D-E(D)}{S_{D}}}={\cfrac {({\bar {x}}_{1}-{\bar {x}}_{2})-(\mu _{1}-\mu _{2})}{\sqrt {{\cfrac {n_{1}+n_{2}}{n_{1}n_{2}}}\cdot {\cfrac {(n_{1}-1)\cdot s_{1}^{2}+(n_{2}-1)\cdot s_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}}}}}$

einer t-Verteilung mit der Anzahl der Freiheitsgrade $n_{1}+n_{2}-2$ folgt.

Mit diesen Ergebnissen lässt sich ein Konfidenzintervall angeben:

Bei Gültigkeit der eingangs genannten Voraussetzungen und unbekannten gleichen Varianzen $\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}$ ist:

$\left[\left({\bar {X}}_{1}-{\bar {X}}_{2}\right)-t_{n_{1}+n_{2}-2;1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot S_{D};\;\left({\bar {X}}_{1}-{\bar {X}}_{2}\right)+t_{n_{1}+n_{2}-2;1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot S_{D}\right]$

ein Konfidenzintervall für die Differenz $\mu _{1}-\mu _{2}$ zweier Erwartungswerte zum Konfidenzniveau

$P\left(\left({\bar {X}}_{1}-{\bar {X}}_{2}\right)-t_{n_{1}+n_{2}-2;1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot S_{D}\leq \mu _{1}-\mu _{2}\leq \left({\bar {X}}_{1}-{\bar {X}}_{2}\right)+t_{n_{1}+n_{2}-2;1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot S_{D}\right)\approx 1-\alpha$

Für die vorgegebene Wahrscheinlichkeit $1-\alpha$ findet man $t_{n_{1}+n_{2}-2;1-{\frac {\alpha }{2}}}$ in der Tabelle der Verteilungsfunktion der t-Verteilung.

• Approximation:

Sofern die beiden Stichprobenumfänge genügend groß sind (Faustregel: $n_{1}\geq 30$ und $n_{2}\geq 30$) kann $t_{f,1-{\frac {\alpha }{2}}}$ durch $z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}$ aus der Standardnormalverteilung ersetzt werden. Das Konfidenzniveau ist dann approximativ $1-\alpha$.

Annahme der Varianzheterogenität

Unter der Annahme der Varianzheterogenität, d.h. beide Grundgesamtheiten haben ungleiche Varianz $\sigma _{1}^{2}\neq \sigma _{2}^{2}$ ergibt sich als Schätzfunktion $S_{D}^{2}$ für $\sigma _{D}^{2}$

$S_{D}^{2}={\frac {S_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {S_{2}^{2}}{n_{2}}}$

Wenn die beiden Stichprobenumfänge genügend groß sind ($n_{1}\geq 30$ und $n_{2}\geq 30$), lässt sich folgende Aussage treffen:

Bei Gültigkeit der eingangs genannten Voraussetzungen und unbekannten ungleichen Varianzen $\sigma _{1}^{2}$ und $\sigma _{2}^{2}$ ist

$\left[({\bar {X}}_{1}-{\bar {X}}_{2})-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\sqrt {{\frac {S_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {S_{2}^{2}}{n_{2}}}}},\;({\bar {X}}_{1}-{\bar {X}}_{2})+z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\sqrt {{\frac {S_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {S_{2}^{2}}{n_{2}}}}}\right]$

ein approximatives Konfidenzintervall für die Differenz $\mu _{1}-\mu _{2}$ zweier Erwartungswerte zum näherungsweisen Konfidenzniveau

$P\left(({\bar {X}}_{1}-{\bar {X}}_{2})-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\sqrt {{\frac {S_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {S_{2}^{2}}{n_{2}}}}}\;\leq \;\mu _{1}-\mu _{2}\;\leq \;({\bar {X}}_{1}-{\bar {X}}_{2})+z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\sqrt {{\frac {S_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {S_{2}^{2}}{n_{2}}}}}\right)=1-\alpha$

Für die vorgegebene Wahrscheinlichkeit $1-\alpha$ findet man $z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}$ aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung.

• Approximation:

Für kleine Stichprobenumfänge $n_{1}$ und $n_{2}$ gibt es die Möglichkeit, unter Verwendung der t-Verteilung Konfidenzintervalle für $\mu _{1}-\mu _{2}$ anzugeben.

Zusatzinformationen

Charakteristika des Konfidenzintervalls bei bekannten Varianzen

• Das angegebene Konfidenzintervall ist ein bezüglich der Wahrscheinlichkeit symmetrisches Konfidenzintervall, denn es gilt:

$P\left(\mu _{1}-\mu _{2}<D-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot \sigma _{D}\right)={\frac {\alpha }{2}}=P\left(D+z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot \sigma _{D}<\mu _{1}-\mu _{2}\right)$

• Das Konfidenzintervall ist symmetrisch bezüglich der Punktschätzung. Die Grenzen des Intervalls haben zu $D\;$ den gleichen Abstand.

• Die Länge des Konfidenzintervalls und der Schätzfehler hängen nicht von den Stichprobenergebnissen, jedoch von den Stichprobenumfängen $n_{1}$ und $n_{2}$, den Varianzen $\sigma _{1}^{2}$ und $\sigma _{2}^{2}$ der beiden Grundgesamtheiten und vom vorgegebenen Konfidenzniveau $1-\alpha$ ab.

Charakteristika des Konfidenzintervalls bei unbekannten Varianzen

• die angegebenen Konfidenzintervalle sind bezüglich der Wahrscheinlichkeit symmetrische Konfidenzintervalle.

• Die Konfidenzintervalle sind symmetrisch bezüglich der Punktschätzung. Die Grenzen der Intervalle haben zu $D\;$ den gleichen Abstand.

• Die Länge der Konfidenzintervalle und die Schätzfehler sind Zufallsvariablen, da sie über $S_{1}^{2}$ und $S_{2}^{2}$ von den Stichprobenergebnissen abhängen.

• Die Konfidenzintervalle sind außerdem von den Stichprobenumfängen $n_{1}$ und $n_{2}$ und vom vorgegebenen Konfidenzniveau $1-\alpha$ abhängig.