Konfidenzintervall für die Varianz

Grundbegriffe

Konfidenzintervall für die Varianz

Es wird ein Konfidenzintervall für die unbekannte Varianz $\sigma ^{2}$ einer Grundgesamtheit unter folgenden Annahmen hergeleitet:

• Die Grundgesamtheit ist normalverteilt: $X\sim N(\mu ;\sigma ^{2})\;$.

• Der Erwartungswert $E[X]=\mu$ der Grundgesamtheit ist ebenfalls unbekannt.

• Aus dieser Grundgesamtheit wird eine einfache Zufallsstichprobe vom Umfang $n$ gezogen, womit die Stichprobenvariablen $X_{1},\ldots ,X_{n}$ unabhängig und identisch normalverteilt sind.

Eine erwartungstreue Schätzfunktion für die unbekannte Varianz $\sigma ^{2}$ ist (vgl. Eigenschaften von Schätzfunktionen)

$S^{2}={\frac {1}{n-1}}\cdot \sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}$

Es wurde bereits gezeigt (siehe Abschnitt Verteilung der Stichprobenvarianz), dass die normierte Form von $S^{2}$

${\frac {(n-1)\cdot S^{2}}{\sigma ^{2}}}={\frac {1}{\sigma ^{2}}}\cdot \sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}=\sum \limits _{i=1}^{n}\left({\frac {X_{i}-{\bar {X}}}{\sigma }}\right)^{2}$

einer Chi-Quadrat-Verteilung mit der Anzahl der Freiheitsgrade $f=n-1$ folgt.

Mit Hilfe der Verteilung von $(n-1)\cdot {\frac {S^{2}}{\sigma ^{2}}}$ können Wahrscheinlichkeitsaussagen über die Stichprobenfunktion $S^{2}\;$ getroffen werden.

Speziell kann ein zentrales Schwankungsintervall für $S^{2}\;$ mit der Sicherheitswahrscheinlichkeit

$P\left({\frac {\sigma ^{2}\cdot \chi _{{\frac {\alpha }{2}};n-1}^{2}}{n-1}}\leq S^{2}\leq {\frac {\sigma ^{2}\cdot \chi _{1-{\frac {\alpha }{2}};n-1}^{2}}{n-1}}\right)=1-\alpha$

angegeben werden.

Dabei ist $\chi _{{\frac {\alpha }{2}};n-1}^{2}$ das ${\frac {\alpha }{2}}$-Quantil und $\chi _{1-{\frac {\alpha }{2}};n-1}^{2}$ das $\left(1-{\frac {\alpha }{2}}\right)$-Quantil der Chi-Quadrat-Verteilung mit $f=n-1$ Freiheitsgraden

Durch einfache Umformungen der Ungleichung lässt sich daraus das Konfidenzniveau gewinnen:

$P\left({\frac {(n-1)\cdot S^{2}}{\chi _{1-{\frac {\alpha }{2}};n-1}^{2}}}\leq \sigma ^{2}\leq {\frac {(n-1)\cdot S^{2}}{\chi _{{\frac {\alpha }{2}};n-1}^{2}}}\right)=1-\alpha$

Das zugehörige Konfidenzintervall ist

$\left[{\frac {(n-1)\cdot S^{2}}{\chi _{1-{\frac {\alpha }{2}};n-1}^{2}}},\;{\frac {(n-1)\cdot S^{2}}{\chi _{{\frac {\alpha }{2}};n-1}^{2}}}\right]$

Für eine konkrete Stichprobe mit den Stichprobenwerten $x_{1},\ldots ,x_{n}$ und dem Punktschätzwert ${\bar {x}}$ erhält man einen Schätzwert für die unbekannte Varianz $\sigma ^{2}$ der Grundgesamtheit.

$s^{2}={\frac {1}{n-1}}\cdot \sum \limits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}$

und das Schätzintervall

$\left[{\frac {(n-1)\cdot S^{2}}{\chi _{1-{\frac {\alpha }{2}};n-1}^{2}}},\;{\frac {(n-1)\cdot S^{2}}{\chi _{{\frac {\alpha }{2}};n-1}^{2}}}\right]$

Die Interpretation ist analoger Weise wie für die anderen Konfidenzintervalle zu führen.

Zusatzinformationen

Charakteristika des Konfidenzintervalls

• Das angegebene Konfidenzintervall ist ein bezüglich der Wahrscheinlichkeit symmetrisches Konfidenzintervall, denn es gilt:

$P\left(\sigma ^{2}<{\frac {(n-1)\cdot S^{2}}{\chi _{1-{\frac {\alpha }{2}};n-1}^{2}}}\right)={\frac {\alpha }{2}},\quad P\left({\frac {(n-1)\cdot S^{2}}{\chi _{{\frac {\alpha }{2}};n-1}^{2}}}<\sigma ^{2}\right)={\frac {\alpha }{2}}$

• Das Konfidenzintervall ist jedoch nicht symmetrisch bezüglich der Punktschätzung $S^{2}\;$, da die Chi-Quadrat-Verteilung keine symmetrische Verteilung ist.

• Die Länge $L$ des Konfidenzintervalls

$(n-1)\cdot S^{2}\cdot \left({\frac {1}{\chi _{{\frac {\alpha }{2}};n-1}^{2}}}-{\frac {1}{\chi _{1-{\frac {\alpha }{2}};n-1}^{2}}}\right)$

hängt von den Stichprobenvariablen $X_{1},\ldots ,X_{n}$ ab und ist eine Zufallsvariable.

Die Länge des Intervalls hängt außerdem vom Stichprobenumfang $n$ und vom vorgegebenen Konfidenzniveau $1-\alpha$ ab.

Beispiele

Haushaltsnettoeinkommen

Für eine Grundgesamtheit von $N=2000$ Privathaushalten sei die Zufallsvariable $X\;$ das Haushaltsnettoeinkommen (in €).

Es sei bekannt, dass $X$ normalverteilt ist, jedoch sind die beiden Parameter der Normalverteilung $E[X]=\mu$ und die Varianz $\sigma ^{2}$ der Grundgesamtheit unbekannt.

Somit gilt:

$X\sim N(\mu ;\sigma ^{2})\;$.

Wie für das unbekannte mittlere Haushaltnettoeinkommen $\mu$ der Grundgesamtheit ein Konfidenzintervall bestimmt werden kann, wurde bereits im Abschnitt "Konfidenzintervall für den Erwartungswert" gezeigt.

Hier gilt das Augenmerk der unbekannten Varianz $\sigma ^{2}$, für die ein Konfidenzintervall zum Konfidenzniveau $1-\alpha =0,95$ ermittelt werden soll.

Eine einfache Zufallsstichprobe vom Umfang $n=20$ Privathaushalten aus der oben genannten Grundgesamtheit liefert die folgenden Stichprobenwerte (der Größe nach geordnet):

$i$	Haushaltsnettoeinkommen (€) $x_{i}$	$i$	Haushaltsnettoeinkommen (€) $x_{i}$
1	800	11	2500
2	1200	12	2500
3	1400	13	2500
4	1500	14	2700
5	1500	15	2850
6	1500	16	3300
7	1800	17	3650
8	1800	18	3700
9	2300	19	4100
10	2400	20	4300

Das mittlere Haushaltsnettoeinkommen dieser Stichprobe beträgt:

${\bar {x}}={\frac {48300}{20}}=2415$

und ist ein Schätzwert für das mittlere Haushaltsnettoeinkommen der Grundgesamtheit.

Als Punktschätzwert für die unbekannte Varianz $\sigma ^{2}$ erhält man aus der Stichprobe:

$s^{2}=1002131,58$

Aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der Chi-Quadrat-Verteilung findet man:

$\chi _{{\frac {\alpha }{2}};n-1}^{2}=\chi _{0,025;19}^{2}=8,91$ und $\chi _{1-{\frac {\alpha }{2}};n-1}^{2}=\chi _{0,975;19}^{2}=32,85$

Damit ergibt sich das Schätzintervall zu:

$\left[{\frac {19\cdot 1002131,58}{32,85}},\quad {\frac {19\cdot 1002131,58}{8,91}}\right]=[579619,48,\quad 2136980,92]$

Aufgrund des hohen Konfidenzniveaus vertraut man nun darauf, ein Schätzintervall erhalten zu haben, dass die unbekannte Varianz $\sigma ^{2}$ einschließt.