Einstichproben-t-Test: Unterschied zwischen den Versionen

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==Grundbegriffe==
 
==Grundbegriffe==

Version vom 3. Dezember 2018, 16:27 Uhr

Testtheorie

Grundbegriffe der Testtheorie • Entscheidungsbereiche • Entscheidungssituationen • Zweiseitiger Test • Einseitiger Test • Gütefunktion • Test auf Mittelwert • Gauß-Test • Gütefunktion des Gauß-Tests • Einstichproben-t-Test • Test auf Anteilswert • Test auf Differenz zweier Mittelwerte • Zweistichproben-Gauß-Test • Zweistichproben-t-Test • Chi-Quadrat-Anpassungstest • Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest • Multiple Choice • Video • Aufgaben • Lösungen
Ablehnungsbereich der Nullhypothese • alpha-Fehler • Alternativhypothese • Anpassungstest • beta-Fehler • Entscheidungsbereiche (Chi-Quadrat-Anpassungstest) • Entscheidungsbereiche (Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest) • Entscheidungsbereiche (Einstichproben-t-Test) • Entscheidungsbereiche (Gauß-Test) • Entscheidungsbereiche (Test auf Anteilswert) • Entscheidungsbereiche (Zweistichproben-Gauß-Test) • Entscheidungsbereiche (Zweistichproben-t-Test) • Entscheidungssituationen (Chi-Quadrat-Anpassungstest) • Entscheidungssituationen (Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest) • Entscheidungssituationen (Einstichproben-t-Test) • Entscheidungssituationen (Gauß-Test) • Entscheidungssituationen (Test auf Anteilswert) • Entscheidungssituationen (Zweistichproben-Gauß-Test) • Entscheidungssituationen (Zweistichproben-t-Test) • Fehler 1. Art • Fehler 2. Art • Goodness-of-fit-Test • Gütefunktion des Tests auf Anteilswert • Hypothese • Kritischer Wert • Linksseitiger Test • Macht eines Tests • Nichtablehnungsbereich der Nullhypothese • Nullhypothese • OC-Kurve • Operationscharakteristik • Parametertest • Prüfgröße • Prüfwert • Prüfwert (Chi-Quadrat-Anpassungstest) • Prüfwert (Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest) • Prüfwert (Einstichproben-t-Test) • Prüfwert (Gauß-Test) • Prüfwert (Test auf Anteilswert) • Prüfwert (Zweistichproben-Gauß-Test) • Prüfwert (Zweistichproben-t-Test) • Rechtsseitiger Test • Signifikanzniveau • Statistischer Test • Testgröße • Teststatistik • Teststatistik (Chi-Quadrat-Anpassungstest) • Teststatistik (Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest) • Teststatistik (Einstichproben-t-Test) • Teststatistik (Gauß-Test) • Teststatistik (Test auf Anteilswert) • Teststatistik (Zweistichproben-Gauß-Test) • Teststatistik (Zweistichproben-t-Test) • Verteilungstest • Zweistichprobentest

Grundbegriffe

Einstichproben-t-Test

Der Einstichproben-t-Test ist ein Test auf Mittelwert, wobei die Standardabweichung des Stichprobenmittelwertes als unbekannt vorrausgesetzt wird.

Im Folgenden gelten alle Voraussetzungen wie unter "Test auf Mittelwert" diskutiert.

Teststatistik des Einstichproben-t-Tests

In der standardisierten Zufallsvariablen

ist nunmehr unbekannt und muss durch eine Schätzung aus der Stichprobe ersetzt werden.

Eine erwartungstreue Schätzfunktion für die Varianz der Grundgesamtheit ist

Als Teststatistik wird somit

verwendet.

Bei Gültigkeit der Nullhypothese ist (zumindest approximativ) t-verteilt mit Freiheitsgraden (vgl. dazu den Abschnitt "Verteilung des Stichprobenmittelwertes").

Für das vorgegebene Signifikanzniveau und die Anzahl der Freiheitsgrade können die kritischen Werte aus der Tabelle der t-Verteilung entnommen werden.

Entscheidungsbereiche des Einstichproben-t-Tests

Für die einzelnen Testmöglichkeiten erhält man die nachstehenden Entscheidungsbereiche bei Gültigkeit der Nullhypothese

Zweiseitiger Test

Ablehnungsbereich der :

Nichtablehnungsbereich der :

Rechtsseitiger Test

Ablehnungsbereich der :

Nichtablehnungsbereich der :

Linksseitiger Test

Ablehnungsbereich der :

Nichtablehnungsbereich der :

Prüfwert des Einstichproben-t-Tests

Wenn die Zufallsstichprobe vom Umfang gezogen wurde, liegen die konkreten Stichprobenwerte vor und der Schätzwert für den Stichprobenmittelwert und der Schätzwert für die Standardabweichung können berechnet werden:

Einsetzen in die Teststatistik führt zu einem Prüfwert:

Entscheidungssituationen des Einstichproben-t-Tests

Es konnte statistisch gezeigt werden, dass der wahre Erwartungswert in der Grundgesamtheit nicht gleich dem hypothetischen Wert ist.
Bei dieser Entscheidung besteht die Möglichkeit, einen Fehler 1. Art zu begehen, wenn in Wirklichkeit die Nullhypothese richtig ist.
Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art entspricht dem vorgegebenen Signifikanzniveau .
Das Stichprobenergebnis gibt keine Veranlassung, zu verwerfen:
Es konnte statistisch nicht gezeigt werden, dass der wahre Erwartungswert in der Grundgesamtheit vom hypothetischen Wert abweicht.
Bei dieser Entscheidung besteht die Möglichkeit, einen Fehler 2. Art zu begehen, wenn in Wirklichkeit die Alternativhypothese richtig ist.
Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art ist im Allgemeinen nicht bekannt und kann nur für konkrete Alternativwerte berechnet werden.

Zusatzinformationen

Approximation durch Gauß-Test

Bei genügend großem Stichprobenumfang ist aufgrund der Wirksamkeit des Zentralen Grenzwertsatzes die Teststatistik unter approximativ - verteilt.

Es können dann näherungsweise die kritischen Werte aus der entnommen und die entsprechenden Entscheidungsbereiche des Gauß-Tests ( ist bekannt) verwendet werden.