Konfidenzintervall für den Erwartungswert

Grundbegriffe

Konfidenzintervall für den Erwartungswert

Die Zufallsvariable $X\;$ in der Grundgesamtheit habe den unbekannten Erwartungswert $E[X]=\mu$, für den eine Intervallschätzung erfolgen soll.

$X_{1},\ldots ,X_{n}$ seien die Stichprobenvariablen einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang $n$ aus dieser Grundgesamtheit.

Es wurde bereits gezeigt, dass der Stichprobenmittelwert

${\bar {X}}={\frac {1}{n}}\cdot \sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}$

ein geeigneter Punktschätzer für den unbekannten Erwartungswert $E[X]=\mu$ der Grundgesamtheit ist, da der Schätzer erwartungstreu und konsistent ist.

Die Varianz und die Standardabweichung von ${\bar {X}}$ sind im Falle einer einfachen Zufallsstichprobe (siehe Abschnitt Stichprobenverteilungen) gegeben mit

$Var({\bar {X}})=\sigma ^{2}({\bar {X}})={\frac {\sigma ^{2}}{n}}$

$\sigma ({\bar {X}})={\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}$

Für die Konstruktion eines symmetrischen Konfidenzintervalls für $\mu$ wird

• von der Schätzfunktion ${\bar {X}}$ ausgegangen,
• die Standardabweichung $\sigma ({\bar {X}})$ als Präzisionsmaß verwendet und
• ein Faktor $c$ als Vielfaches der Standardabweichung von ${\bar {X}}$ berücksichtigt, über den das vorgegebene Konfidenzniveau $1-\alpha$ einbezogen wird.

Damit das Intervall

$\left[V_{u};V_{o}\right]=\left[{\bar {X}}-c\cdot \sigma \left({\bar {X}}\right);\;{\bar {X}}+c\cdot \sigma \left({\bar {X}}\right)\right]$

bzw. nach Einsetzen von $\sigma ({\bar {X}})$

$\lbrack V_{u};V_{o}]=\left[{\bar {X}}-c\cdot {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}};\;{\bar {X}}+c\cdot {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\right]$

ein Konfidenzintervall zum Konfidenzniveau

$P\left({\bar {X}}-c\cdot {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\leq \mu \leq {\bar {X}}+c\cdot {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\right)=1-\alpha$

sein kann, müssen die beiden Bedingungen für ein Konfidenzintervall erfüllt sein.

Die erste Bedingung $V_{u}\leq V_{o}$ für alle möglichen realisierbaren Stichproben $X_{1},\ldots ,X_{n}$

ist erfüllt.

Die Erfüllung der zweiten Bedingung

$P\left(V_{u}\leq \mu \leq V_{o}\right)=1-\alpha$, wobei die Wahrscheinlichkeit tatsächlich (bzw. approximativ) und ohne Kenntnis des wahren Wertes des Parameters $\mu$ bestimmbar sein muss, setzt jedoch die Kenntnis der Verteilung der Schätzfunktion ${\bar {X}}$ und damit der Verteilung der Zufallsvariablen $X\;$ in der Grundgesamtheit voraus.

Das bereitet oftmals erhebliche praktische Schwierigkeiten, da im Allgemeinen die Verteilung von $X\;$ unbekannt ist.

Es werden hier die Fälle betrachtet, dass

• $X\;$ in der Grundgesamtheit normalverteilt ist, bzw.

• die Verteilung von $X\;$ in der Grundgesamtheit beliebig ist, jedoch Stichproben großen Umfangs gezogen werden können.

Ein weiteres Problem liegt darin, dass in den Intervallgrenzen die Standardabweichung $\sigma$ der Zufallsvariablen $X\;$ in der Grundgesamtheit enthalten ist, so dass nach den beiden Möglichkeiten

• $\sigma$ ist bekannt und

• $\sigma$ ist unbekannt

unterschieden werden muss.

In den Unterkapiteln

• Konfidenzintervall für den Erwartungswert bei bekannter Varianz

• Konfidenzintervall für den Erwartungswert bei unbekannter Varianz

werden diese Fälle gesondert betrachtet.