Gauß-Test
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Grundbegriffe
Gauß-Test
Der Gauß-Test ist ein Test auf Mittelwert, wobei die Standardabweichung des Stichprobenmittelwertes als bekannt vorrausgesetzt wird.
Im Folgenden gelten alle Voraussetzungen wie unter "Test auf Mittelwert" diskutiert.
Teststatistik des Gauß-Tests
Bei bekanntem ist die Normalverteilung von vollständig spezifiziert, liegt jedoch für und nicht tabelliert vor.
Es wird deshalb standardisiert und
als Teststatistik verwendet.
Bei Gültigkeit der Nullhypothese ist (zumindest approximativ) standardnormalverteilt:
Für das vorgegebene Signifikanzniveau können die kritischen Werte aus der Tabelle der Standardnormalverteilung entnommen werden.
Entscheidungsbereiche des Gauß-Tests
Für die einzelnen Testmöglichkeiten erhält man die nachstehenden Entscheidungsbereiche bei Gültigkeit der Nullhypothese und vorgegebenem Signifikanzniveau .
Zweiseitiger Test
Die Wahrscheinlichkeit, eine Realisation der Teststatistik aus dem Ablehnungsbereich der zu erhalten, entspricht dem vorgegebenen Signifikanzniveau :
.
Für findet man den oberen kritischen Wert aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der .
Wegen der Symmetrie der Normalverteilung gilt .
Der Ablehnungsbereich der ist gegeben durch
.
Für den Nichtablehnungsbereich der erhält man:
.
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Teststatistik eine Realisation aus dem Nichtablehnungsbereich der annimmt, ist
Rechtsseitiger Test
Bei Gültigkeit der Nullhypothese ist und damit .
Zu große Abweichungen nach rechts von sprechen gegen , so dass der Ablehnungsbereich der im positiven Bereich von liegt.
Die Wahrscheinlichkeit, eine Realisation der Teststatistik aus dem Ablehnungsbereich der zu erhalten, entspricht dem vorgegebenen Signifikanzniveau :
.
Für findet man den kritischen Wert aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der .
Der Ablehnungsbereich der ist gegeben durch
.
Für den Nichtablehnungsbereich der erhält man:
.
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Teststatistik eine Realisation aus dem Nichtablehnungsbereich der annimmt, ist
Linksseitiger Test
Zu große Abweichungen nach links von sprechen gegen , so dass der Ablehnungsbereich der im negativen Bereich von liegt und der kritische Wert negativ ist .
Die Wahrscheinlichkeit, eine Realisation der Teststatistik aus dem Ablehnungsbereich der zu erhalten, entspricht dem vorgegebenen Signifikanzniveau :
Wegen der Symmetrie der Normalverteilung findet man für den Wert aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der , so dass der kritische Wert ist.
Der Ablehnungsbereich der ist gegeben durch
,
Für den Nichtablehnungsbereich der erhält man:
.
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Teststatistik eine Realisation aus dem Nichtablehnungsbereich der annimmt, ist
.
Prüfwert des Gauß-Tests
Wenn die Zufallsstichprobe vom Umfang gezogen wurde, liegen die konkreten Stichprobenwerte vor und der Schätzwert für den Stichprobenmittelwert kann berechnet werden:
Einsetzen in die Teststatistik führt zu einem Prüfwert:
Entscheidungssituationen des Gauß-Tests
- Wenn in den Ablehnungsbereich der fällt, wird die Nullhypothese auf dem Signifikanzniveau und basierend auf der Zufallsstichprobe vom Umfang abgelehnt :
- Es konnte statistisch gezeigt werden, dass der wahre Erwartungswert in der Grundgesamtheit nicht gleich dem hypothetischen Wert ist.
- Bei dieser Entscheidung besteht die Möglichkeit, einen Fehler 1. Art zu begehen, wenn in Wirklichkeit die Nullhypothese richtig ist.
- Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art entspricht dem vorgegebenen Signifikanzniveau .
- Wenn in den Nichtablehnungsbereich der fällt, wird die Nullhypothese basierend auf der Zufallsstichprobe vom Umfang nicht abgelehnt .
- Das Stichprobenergebnis gibt keine Veranlassung, zu verwerfen:
- Es konnte statistisch nicht gezeigt werden, dass der wahre Erwartungswert in der Grundgesamtheit vom hypothetischen Wert abweicht.
- Bei dieser Entscheidung besteht die Möglichkeit, einen Fehler 2. Art zu begehen, wenn in Wirklichkeit die Alternativhypothese richtig ist.
- Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art ist im Allgemeinen nicht bekannt und kann nur für konkrete Alternativwerte berechnet werden.
Zusatzinformationen
Länge der Entscheidungsbereiche
Sowohl für den zweiseitigen als auch für die einseitigen Tests auf hängt die Länge der Entscheidungsbereiche ab:
- vom vorgegebenen Signifikanzniveau
- Je größer , desto größer ist unter sonst gleichen Bedingungen der Ablehnungsbereich der und um so kleiner ist der Nichtablehnungsbereich der , und umgekehrt.
- Je größer , desto größer ist unter sonst gleichen Bedingungen der Ablehnungsbereich der und um so kleiner ist der Nichtablehnungsbereich der , und umgekehrt.
- von der Standardabweichung der Grundgesamtheit bzw. der Standardabweichung in der Stichprobe
- Je größer bzw. , desto größer ist unter sonst gleichen Bedingungen der Ablehnungsbereich der und um so kleiner ist der Nichtablehnungsbereich der , und umgekehrt.
Entscheidungsbereiche für die Schätzfunktion
Die kritischen Werte und damit der Ablehnungs- und Nichtablehnungsbereich der Nullhypothese können bei bekanntem auch für die Schätzfunktion angegeben werden, was durch einfache Umformungen erreicht wird. Dies wird für den zweiseitigen Test gezeigt.
Die Teststatistik ergab sich als standardisierte Version der Schätzfunktion :
und damit jede mögliche Realisation von gemäß
Beim zweiseitigen Test besteht der Nichtablehnungsbereich der aus allen Realisationen der Teststatistik , die größer oder gleich jedoch kleiner oder gleich sind:
Aus dieser Formulierung ist ersichtlich, dass die beiden kritischen Werte und mögliche Realisationen der Teststatistik sind.
Für sie gilt ebenfalls die für die Teststatistik vorgenommene Standardisierung:
Da der untere kritische Wert bezüglich ist, wurde mit der untere kritische Wert bezüglich gekennzeichnet. Entsprechendes gilt für den oberen kritischen Wert.
Durch Umformung erhält man:
Damit ergibt sich für den Nichtablehnungsbereich der
und für den Ablehnungsbereich der
Analoge Umrechnungen lassen sich für die einseitigen Tests vornehmen.