Effizienz

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Schätztheorie

Grundbegriffe der Schätztheorie • Gütekriterien einer Schätzfunktion • Mittlere quadratische Abweichung (stochastisch) • Erwartungstreue • Effizienz • Konsistenz • Maximum-Likelihood-Methode • Kleinste-Quadrate-Methode • Intervallschätzung • Konfidenzintervall für den Erwartungswert • Konfidenzintervall für den Erwartungswert bei bekannter Varianz • Konfidenzintervall für den Erwartungswert bei unbekannter Varianz • Konfidenzintervall für den Anteilswert • Konfidenzintervall für die Varianz • Konfidenzintervall für die Differenz zweier Erwartungswerte • Bestimmung des Stichprobenumfangs • Multiple Choice • Video • Aufgaben • Lösungen
Absolute Effizienz • Asymptotische Erwartungstreue • Bias • Breite des Konfidenzintervalls • Einseitiges Konfidenzintervall • Grenzen des Konfidenzintervalls • Grenzen des Schätzintervalls • Irrtumswahrscheinlichkeit • Kleinste-Quadrate-Schätzer • Konfidenzintervall • Konfidenzniveau • Konfidenzwahrscheinlichkeit • KQ-Methode • KQ-Schätzer • Länge des Konfidenzintervalls • Likelihood-Funktion • Log-Likelihood-Funktion • Maximum-Likelihood-Schätzer • Maximum-Likelihood-Schätzung • Mean Square Error • Methode der kleinsten Quadrate • ML-Schätzer • ML-Schätzung • Parameterschätzung • Punktschätzung • Realisiertes Konfidenzintervall • Relative Effizienz • Schätzer • Schätzfehler • Schätzfunktion • Schätzintervall • Schätzung • Schätzverfahren • Schätzwert • Symmetrisches Konfidenzintervall • Unbiasedness • Unverzerrtheit • Vertrauenswahrscheinlichkeit • Verzerrung • Zentrales Konfidenzintervall • Zufallsintervall • Zweiseitiges Konfidenzintervall

Grundbegriffe

Effizienz

Gegeben seien zwei erwartungstreue Schätzfunktionen \hat{\theta}_{n}^{(1)} und \hat{\theta}_{n}^{(2)} mit gleichem Stichprobenumfang n zur Schätzung des unbekannten Parameters \vartheta.

Somit gilt:

E\left[\hat{\theta}_{n}^{(1)}\right]=\vartheta und E\left[\hat{\theta}_{n}^{(2)}\right]=\vartheta

Relative Effizienz

Die Schätzfunktion \hat{\theta}_{n}^{(1)} heißt relativ effizient zu \hat{\theta}_{n}^{(2)}, wenn die Varianz von \hat{\theta}_{n}^{(1)} kleiner ist als die Varianz von \hat{\theta}_{n}^{(2)}, also

Var\left(\hat{\theta}_{n}^{(1)}\right) \leq Var\left(\hat{\theta}_{n}^{(2)}\right)

Absolute Effizienz

Die Schätzfunktion \hat{\theta}_{n}^{(1)} heißt absolut effizient für \vartheta, wenn sie im Vergleich zu jeder anderen erwartungstreuen Schätzfunktion für \vartheta die kleinste Varianz aufweist.

Zusatzinformationen

Effizienz wichtiger Schätzfunktionen

Stichprobenmittelwert

Für einfache Zufallsstichproben gilt:
{\sigma^{2}\left(\bar{X}\right)=\frac{\sigma^{2}}{n}}
Weiterhin lässt sich zeigen, dass
\sigma^{2}\left(\bar{X_{z}}\right)=\frac{\pi}{2}\cdot\frac{\sigma^{2}}{n}=1,571\;\sigma^{2}\cdot\left(\bar{X}\right)
und damit
\sigma^{2}(\bar{X})<\sigma^{2}(\bar{X_{z}})
ist.
Der Stichprobenmittelwert \bar{X} ist relativ effizient gegenüber dem Stichprobenmedian \bar{X_{z}}.

Stichprobenanteilswert

Der Stichprobenanteilswert \widehat{\pi} ist eine absolut effiziente Schätzfunktion für den unbekannten Anteilswert \pi einer dichotomen Grundgesamtheit, d.h. für alle Bernoulli-Verteilungen.

Stichprobenvarianz

Bei bekanntem Erwartungswert E[X] = \mu einer normalverteilten Grundgesamtheit können für die Schätzung der unbekannten Varianz \sigma^{2} der Grundgesamtheit die Schätzfunktionen

S^{*2}=\frac{1}{n}\cdot\sum\limits_{i=1}^{n} (X_{i}- \mu)^{2}

S^{2}=\frac{1}{n-1}\cdot\sum\limits_{i=1}^{n} (X_{i}- \bar{X})^{2}

verwendet werden. Wie bereits gezeigt, sind beide Schätzfunktionen erwartungstreu:

\,E\left[ S^{*2}\right]= \sigma^{2} und E\left[S^{2}\right]= \sigma^{2}\;

mit den Varianzen

\,Var\left( S^{*2}\right)= 2\cdot\frac{\sigma^{4}}{n} bzw. \,Var\left( S^{2}\right)=2\cdot\frac{\sigma^{4}}{n-1}.

\,S^{ *2} ist relativ effizient gegenüber S^{2}\;.

Die Beispiele zeigen, dass der Vergleich von Schätzfunktionen jeweils für eine Klasse von zugelassenen Verteilungen erfolgt.

Beispiele

Beste Schätzfunktion

Eine Grundgesamtheit habe den Mittelwert \mu und die Varianz \sigma^{2}. Es sei (X_{1},X_{2},X_{3}) eine einfache (theoretische) Zufallsstichprobe aus dieser Grundgesamtheit.

Jede der Stichprobenvariablen X_{i}\; (i = 1,2,3) hat E\left[X_{i}\right]=\mu und Var(X_{i})=\sigma^{2}. Folgende drei Schätzfunktionen sind gegeben:

  1. \hat{\Theta}_{1}=\frac{1}{3}(X_{1}+X_{2}+X_{3})
  2. \hat{\Theta}_{2}=\frac{1}{4}(2X_{1}+2X_{3})
  3. \hat{\Theta}_{3}=\frac{1}{3}(2X_{1}+X_{2})

Welche dieser Schätzfunktionen sind erwartungstreu? Welche Schätzfunktion erhält nach dem Kriterium der Effizienz den Vorzug?

Alle drei Schätzfunktionen sind erwartungstreu, wobei E\left[X_{i}\right]=\mu berücksichtigt wurde:

E\left[\hat{\Theta}_{1}\right]=E\left[\frac{1}{3}\left(X_{1}+X_{2}+X_{3}\right)\right]=\frac{1}{3}\left(E\left[X_{1}\right]+E\left[X_{2}\right]+E\left[X_{3}\right]\right)=\frac{1}{3}(\mu+\mu+\mu) \,=\mu
E\left[\hat{\Theta}_{2}\right]=E\left[\frac{1}{4}\left(2X_{1}+2X_{3}\right)\right]=\frac{1}{4}\left(2E\left[X_{1}\right]+2E\left[X_{3}\right]\right)=\frac{1}{4}(2\mu+2\mu) \,=\mu
E\left[\hat{\Theta}_{3}\right]=E\left[\frac{1}{3}\left(2X_{1}+X_{2}\right)\right]=\frac{1}{3}\left(2E\left[X_{1}\right]+E\left[X_{2}\right]\right)=\frac{1}{3}\left(2\mu+\mu\right) \, =\mu

Betrachtung der Varianz der Schätzfunktionen:

Var\left(\hat{\Theta}_{1}\right) =Var\left[\frac{1}{3}\left(X_{1}+X_{2}+X_{3}\right)\right]=\frac{1}{9}Var\left(X_{1}+X_{2}+X_{3}\right)=\frac{1}{9}\left[Var\left(X_{1}\right)+Var\left(X_{2}\right)+Var\left(X_{3}\right)\right]=\frac{1}{9}\left(\sigma^{2}+\sigma^{2}+\sigma^{2}\right)=\frac{1}{3}\sigma^{2}
Var\left(\hat{\Theta}_{2}\right) =Var\left[\frac{1}{4}\left(2X_{1}+2X_{3}\right)\right]=\frac{1}{16}Var\left(2X_{1}+2X_{3}\right)=\frac{1}{16}\left[4Var\left(X_{1}\right)+4Var\left(X_{3}\right)\right]=\frac{1}{16}\left(4\sigma^{2}+4\sigma^{2}\right)=\frac{1}{2}\sigma^{2}
Var\left(\hat{\Theta}_{3}\right) =Var\left[\frac{1}{3}\left(2X_{1}+X_{2}\right)\right]=\frac{1}{9}Var\left(2X_{1}+X_{2}\right)=\frac{1}{9}\left[4Var\left(X_{1}\right)+Var\left(X_{2}\right)\right]=\frac{1}{9}\left(4\sigma^{2}+\sigma^{2}\right)=\frac{5}{9}\sigma^{2}

Nach dem Kriterium der Effizienz erhält die erste Schätzfunktion den Vorzug, da sie die geringste Varianz aufweist.

Die erste Schätzfunktion ist relativ effizient gegenüber der zweiten und dritten Schätzfunktion.

Da sie den Stichprobenmittelwert beinhaltet, ist sie auch absolut effizient.