Zweiseitiger Test

Grundbegriffe

Zweiseitiger Test

• Null- und Alternativhypothese:

$H_{0}:\theta =\theta _{0}\qquad H_{1}:\theta \neq \theta _{0}$

• Ablehnungsbereich der $H_{0}$:

Bei einem zweiseitigen Test zerfällt der Ablehnungsbereich in zwei Teile, da zu große Abweichungen der Teststatistik $V\;$ vom hypothetischen Wert $\vartheta _{0}$ in beide Richtungen gegen die Nullhypothese sprechen.

Es gibt somit zwei kritische Werte, die mit $c_{u}$ und $c_{o}$ symbolisiert werden.

Der Ablehnungsbereich der $H_{0}$ besteht aus allen Realisationen $v$ der Teststatistik $V\;$, die kleiner als der untere kritische Wert $c_{u}$ oder größer als der obere kritische Wert $c_{o}$ sind:

$\left\{v|v<c_{u}\;{\mbox{oder }}\;v>c_{o}\right\}$

Die Wahrscheinlichkeit, eine Realisation aus dem Ablehnungsbereich zu erhalten, ist gleich dem vorgegebenen Signifikanzniveau $\alpha$:

$P\left(V<c_{u}|\vartheta _{0}\right)+P\left(V>c_{o}|\vartheta _{0}\right)={\frac {\alpha }{2}}+{\frac {\alpha }{2}}=\alpha$

• Nichtablehnungsbereich der $H_{0}$:

Der Nichtablehnungsbereich der $H_{0}$ besteht aus allen Realisationen $v$ der Teststatistik $V\;$, die mindestens dem unteren kritischen Wert $c_{u}$, jedoch höchstens dem oberen kritischen Wert $c_{o}$ sind:

$\left\{v|c_{u}\leq v\leq c_{o}\right\}$

Die Wahrscheinlichkeit, eine Realisation aus dem Nichtablehnungsbereich zu erhalten, ist gleich $1-\alpha$:

$P\left\{c_{u}\leq V\leq c_{o}\;|\;\theta _{0}\right\}=1-\alpha$

Abb. 1: Verteilung der Teststatistik $V$ unter $H_{0}$ und Entscheidungsbereiche (zweiseitiger Test)