Verteilung der Grundgesamtheit

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Stichprobentheorie

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Grundbegriffe

Verteilung der Grundgesamtheit

Wird ein Element der Grundgesamtheit mittels einer uneingeschränkten Zufallsauswahl ausgewählt und seine Ausprägung bezüglich eines Merkmals festgestellt, dann erhält man eine Realisation einer Zufallsvariablen.

Diese Zufallsvariable wird ebenfalls mit bezeichnet.

Die Verteilungsfunktion dieser Zufallsvariablen gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass an einem zufällig ausgewählten Element eine Merkmalsausprägung beobachtet wird, die höchstens gleich ist.

Die durch festgelegte Verteilung wird daher als Verteilung der Zufallsvariablen in der Grundgesamtheit bzw. als Verteilung der Grundgesamtheit bezüglich des Merkmals oder kurz als Verteilung der Grundgesamtheit bezeichnet.

Merkmal und Zufallsvariable werden daher synonym verwendet.

Damit sind die Begriffe, die in der Wahrscheinlichkeitsrechnung für Verteilungen eingeführt wurden, auf Grundgesamtheiten übertragbar, z.B. der Erwartungswert und die Varianz einer Grundgesamtheit.

Parameter der Grundgesamtheit

Die Merkmalsausprägungen des Merkmals treten in der Grundgesamtheit mit bestimmten absoluten Häufigkeiten bzw. relativen Häufigkeiten auf. ist hierbei die Anzahl der verschiedenartigen Merkmalsausprägungen.

Die Merkmalsausprägungen zusammen mit den Häufigkeiten bilden die Verteilung des Merkmals in der Grundgesamtheit.

Für diese Verteilung lassen sich bestimmte Parameter berechnen, die für Grundgesamtheiten mit griechischen Buchstaben bezeichnet werden, z.B.

Erwartungswert oder Mittelwert der Grundgesamtheit

Varianz der Grundgesamtheit

Anteilswert der Grundgesamtheit

(in einer dichotomen Grundgesamtheit mit den Merkmalswerten bzw. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_{j} = 1 } )

Varianzhomogenität und Varianzheterogenität

Gegeben seien zwei Grundgesamtheiten, in denen die Zufallsvariablen und normalverteilt sind mit

bzw. und

bzw. , d.h.

und .

Sind die Varianzen der beiden Grundgesamtheiten gleich, gilt also , dann bezeichnet man dies als Varianzhomogenität.

Gilt Ungleichheit der Varianzen der beiden Grundgesamtheiten, also , so bezeichnet man dies als Varianzheterogenität.