Schwaches Gesetz der großen Zahlen

Es seien $X_{1},\ldots ,X_{n}$ unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen mit Erwartungswert $E\left[X_{i}\right]=\mu$ und Varianz $Var(X_{i})=\sigma ^{2}$ .

Sei $\epsilon >0\;$ . Dann gilt:

$\lim _{n\rightarrow \infty }P(|{\bar {x}}_{n}-\mu |<\epsilon )=1$

Dies lässt sich wie folgt zeigen:

$P(|{\bar {x}}_{n}-\mu |<\epsilon )\geq 1-{\frac {\sigma ^{2}({\bar {x}})}{\epsilon ^{2}}}$

bzw. nach Einsetzen von $\sigma ^{2}({\bar {x}})={\frac {\sigma ^{2}}{n}}$ :

$P(|{\bar {x}}_{n}-\mu |<\epsilon )\geq 1-{\frac {\sigma ^{2}}{n\cdot \epsilon ^{2}}}$

Für $n$ gegen unendlich geht der zweite Term auf der rechten Seite gegen Null.

Dieses Gesetz besagt:

Mit steigendem Stichprobenumfang $n$ konvergiert die Wahrscheinlichkeit, dass der Stichprobenmittelwert ${\bar {x}}$ um weniger als $\epsilon >0$ vom Erwartungswert $\mu$ abweicht, gegen Eins.

Wenn der Stichprobenumfang genügend groß gewählt wird, nimmt der Stichprobenmittelwert ${\bar {x}}$ mit hoher Wahrscheinlichkeit Werte in einem vorgegebenen Intervall $[\mu -\epsilon ;\;\mu +\epsilon ]$ an, und zwar für jede beliebige Verteilung von $X\;$ in der Grundgesamtheit.

Grundbegriffe