Stichprobentheorie/Video

Finanzamt

Otto N. wartet auf dem Finanzamt. Er weiß, dass die Zeit T, die ein Klient im Zimmer der Beamten verbringt, exponentialverteilt ist: $f(t)=\lambda \cdot e^{-\lambda t}$ Wenn Frau Hurtig Dienst hat, beträgt die durchschnittliche Zeit für die Abfertigung einer Person 3 Minuten, falls Herr Lasch Dienst hat, beträgt die durchschnittliche Zeit für die Abfertigung einer Person 5 Minuten.

Otto N. registriert, dass die drei vor ihm wartenden Personen nach 1 Minute, 5 Minuten und 3 Minuten das Zimmer der Beamten wieder verlassen.

• Stellen Sie die Likelihoodfunktion $L(\lambda )$ für dieses Stichprobenergebnis auf!
• Ermitteln Sie den Maximum-Likelihood-Schätzwert $\lambda$! Wer hat Ihrer Meinung nach Dienst?

Mittelwert und Varianz

Eine einfache Zufallsstichprobe vom Umfang $n=10$ aus einer Grundgesamtheit ergab folgende Werte:

 2; 4; 3; 5; 1; 4; 5; 1; 2; 3 

Schätzen Sie “möglichst gut” aus diesen Daten den Mittelwert und die Varianz der Grundgesamtheit.

Unfallhäufigkeit

Sie interessieren sich für die Unfallhäufigkeit an einem Verkehrsknotenpunkt. Sowohl die Polizei als auch die Versicherungsgesellschaften haben diesen Sachverhalt bereits in der Vergangenheit untersucht, so dass Sie auf diese Unterlagen zurückgreifen können:

Versicherungsgesellschaft:

$x$	0	1	2	$x\neq 0,1,2$
$P(X=x)$	0,7	0,1	0,2	0

Polizei:

$x$	0	1	2	$x\neq 0,1,2$
$P(X=x)$	0,1	0,4	0,5	0

Leider unterscheiden sich beide Wahrscheinlichkeitsverteilungen doch recht erheblich voneinander. Um zwischen beiden Verteilungen entscheiden zu können, stellen Sie sich selbst an 5 zufällig ausgewählten Stichtagen an diese Straßenkreuzung und registrieren die Unfälle. Die Stichprobe ergab folgendes Ergebnis: (0, 2, 0, 2, 1)

• Für welche der beiden Verteilungen entscheiden Sie sich nach dem Maximum-Likelihood-Prinzip?
• Für welche der beiden Verteilungen entscheiden Sie sich nach der Methode der kleinsten Quadrate?

Ausschussanteil

In einem Produktionsprozeß wurde in der Vergangenheit ein Ausschussanteil von 2% beobachtet. Die Einhaltung dieser Qualitätsnorm soll durch laufende Stichproben vom Umfang
$n=50$ überwacht werden.

• Welche Verteilung wäre theoretisch exakt zu verwenden und welche Verteilung kann approximativ verwendet werden?
• Bestimmen Sie unter Verwendung der approximativen Verteilung die Wahrscheinlichkeit dafür, 0, 1, 2, 3, 4 bzw. 5 defekte Stücke in der Stichprobe zu finden.
• Bestimmen Sie eine natürliche Zahl $k$, die mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% die obere Grenze für die Anzahl defekter Stücke in der Stichprobe bildet.

Tippfehler

Der Schriftsteller J. Kimmel hat gerade das Manuskript zu seinem neuesten Buchknüller “Zusammen sind wir nicht allein” auf seiner Schreibmaschine vollendet. Aus Erfahrung weiß er, dass auf jeder Seite mit Sicherheit mindestens ein Tippfehler steckt, ihm mehr als drei Tippfehler pro Seite jedoch noch nie unterlaufen sind und die Wahrscheinlichkeit für zwei bzw. drei Tippfehler pro Seite mit 20% bzw. 10% anzusetzen sind.

Da sich die Tippfehler völlig unsystematisch und voneinander unabhängig über das ganze Manuskript verteilen, wird der Korrektor, der das Manuskript vor Drucklegung lesen muss, seine liebe Not haben, sich durch den 1100 Seiten starken Wälzer durchzukämpfen.

$Y$ sei die Zufallsgröß e: “Anzahl der Tippfehler im ganzen Manuskript”.

• Nennen Sie Verteilungstyp (approximativ) und Verteilungsparameter $E(Y)$ und $Var(Y)$ der Zufallsvariablen $Y$.
• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
  • mindestens 1600 Tippfehler im Manuskript stecken?
  • zwischen 1500 und 1650 Tippfehler im Manuskript sind?
  • genau 1540 Tippfehler unterlaufen sind?
  • höchsten 1540 Tippfehler unterlaufen sind?