Verteilung der Grundgesamtheit

Grundbegriffe

Verteilung der Grundgesamtheit

Wird ein Element der Grundgesamtheit mittels einer uneingeschränkten Zufallsauswahl ausgewählt und seine Ausprägung bezüglich eines Merkmals $X\;$ festgestellt, dann erhält man eine Realisation einer Zufallsvariablen.

Diese Zufallsvariable wird ebenfalls mit $X\;$ bezeichnet.

Die Verteilungsfunktion $F(x)=P(X\leq x)$ dieser Zufallsvariablen $X\;$ gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass an einem zufällig ausgewählten Element eine Merkmalsausprägung beobachtet wird, die höchstens gleich $x$ ist.

Die durch $F(x)$ festgelegte Verteilung wird daher als Verteilung der Zufallsvariablen $X\;$ in der Grundgesamtheit bzw. als Verteilung der Grundgesamtheit bezüglich des Merkmals $X\;$ oder kurz als Verteilung der Grundgesamtheit bezeichnet.

Merkmal und Zufallsvariable werden daher synonym verwendet.

Damit sind die Begriffe, die in der Wahrscheinlichkeitsrechnung für Verteilungen eingeführt wurden, auf Grundgesamtheiten übertragbar, z.B. der Erwartungswert und die Varianz einer Grundgesamtheit.

Parameter der Grundgesamtheit

Die Merkmalsausprägungen $x_{j}\;(j=1,\ldots ,K)$ des Merkmals $X\;$ treten in der Grundgesamtheit mit bestimmten absoluten Häufigkeiten $h(x_{j})$ bzw. relativen Häufigkeiten $f(x_{j})$ auf. $K$ ist hierbei die Anzahl der verschiedenartigen Merkmalsausprägungen.

Die Merkmalsausprägungen zusammen mit den Häufigkeiten bilden die Verteilung des Merkmals $X\;$ in der Grundgesamtheit.

Für diese Verteilung lassen sich bestimmte Parameter berechnen, die für Grundgesamtheiten mit griechischen Buchstaben bezeichnet werden, z.B.

Erwartungswert oder Mittelwert der Grundgesamtheit

$E[X]=\mu ={\frac {1}{N}}\sum \limits _{i=1}^{N}x_{i}={\frac {1}{N}}\sum \limits _{i=1}^{K}x_{j}\cdot h(x_{j})=\sum \limits _{j=1}^{K}x_{j}\cdot f(x_{j})$

Varianz der Grundgesamtheit

$Var(X)=\sigma ^{2}={\frac {1}{N}}\cdot \sum \limits _{i=1}^{N}(x_{i}-\mu )^{2}\cdot h(x_{j})=\sum \limits _{j=1}^{N}(x_{j}-\mu )^{2}\cdot f(x_{j})$

Anteilswert der Grundgesamtheit

(in einer dichotomen Grundgesamtheit mit den Merkmalswerten $x_{j}=0$ bzw. $x_{j}=1$)

$\pi ={\frac {\sum \limits _{i=1}^{N}x_{i}}{N}}$

Varianzhomogenität und Varianzheterogenität

Gegeben seien zwei Grundgesamtheiten, in denen die Zufallsvariablen $X_{1}\;$ und $X_{2}\;$ normalverteilt sind mit

$E\left[X_{1}\right]=\mu _{1}$ bzw. $E\left[X_{2}\right]=\mu _{2}$ und

$Var(X_{1})=\sigma _{1}^{2}$ bzw. $Var(X_{2})=\sigma _{2}^{2}$, d.h.

$X_{1}\sim N\left(\mu _{1};\sigma _{1}^{2}\right)$ und $X_{2}\sim N\left(\mu _{2};\sigma _{2}^{2}\right)$.

Sind die Varianzen der beiden Grundgesamtheiten gleich, gilt also $\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}$, dann bezeichnet man dies als Varianzhomogenität.

Gilt Ungleichheit der Varianzen der beiden Grundgesamtheiten, also $\sigma _{1}^{2}\neq \sigma _{2}^{2}$, so bezeichnet man dies als Varianzheterogenität.