Standardnormalverteilung

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Verteilungsmodelle

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Grundbegriffe

Standardnormalverteilung

Sei eine standardisierte Zufallsvariable mit

Die Zufallsvariable gibt die Werte der Zufallsvariablen als Abweichungen von ihrem Erwartungswert in Einheiten der Standardabweichung an.

Wenn normalverteilt ist, dann ist auch normalverteilt. Die Normalverteilung von wird dann als Standardnormalverteilung bezeichnet.

Dichtefunktion der Standardnormalverteilung:

Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung:

Erwartungswert und Varianz der Standardnormalverteilung:

Für die Standardnormalverteilung ist die Verteilungsfunktion tabelliert.

Die Dichtefunktion bzw. Verteilungsfunktion geben die nachfolgenden Grafiken wieder.

Zusatzinformationen

Standardisierte Normalverteilung und Standardnormalverteilung

Eine Tabellierung der Verteilungsfunktion der Normalverteilung für alle praktisch relevanten Werte von und ist nicht möglich.

Man kann jede gegebene Normalverteilung in eine spezielle Normalverteilung transformieren und diese dann tabellieren.

Es bietet sich an, als spezielle Verteilung diejenige Normalverteilung zu wählen, die den Erwartungswert , und die Standardabweichung besitzt, also die Standardnormalverteilung.

Beziehung zwischen Verteilung und standardisierter Normalverteilung:

Aus

bzw.

folgt:

Die Bedeutung der standardisierten Normalverteilung liegt darin, dass es zu jeder normalverteilten Zufallsvariablen eine linear transformierte Zufallsvariable gibt, die der Standardnormalverteilung folgt.

Bei Verwendung der Tabelle der Dichtefunktion und der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung ist zu beachten, dass zumeist nur die positiven Werte von tabelliert sind.

Die Tabellierung der Standardnormalverteilung für negative -Werte ist aufgrund der Symmetrie der Normalverteilung nicht erforderlich, da

gilt.

Beispiele

Standardisierte Normalverteilung

Gegeben sei eine Zufallsvariable , die -verteilt ist.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit P(X ≤ x) mit x = 125

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 99,38% nimmt die Zufallsvariable Werte von höchstens 125 an.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit P(X ≥ x) mit x = 115,6

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 5,94% nimmt die Zufallsvariable Werte von mindestens 115,6 an.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit P(X ≤ x) mit x = 80

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 2,275% nimmt die Zufallsvariable Werte von höchstens 80 an.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit P(X ≥ x) mit x = 94,8

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 69,85% nimmt die Zufallsvariable Werte von mindestens 94,8 an.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit P(x_u ≤ X ≤ x_o) mit x_u = 88,8 und x_o = 132

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 86,8% nimmt die Zufallsvariable Werte im Intervall an.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit P(x_u ≤ X ≤ x_o) mit x_u = 80,4 und x_o = 119,6

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% nimmt die Zufallsvariable Werte im Intervall an.

Gesucht ist der Wert x der Zufallsvariablen X, so dass 76,11% der Realisationen von X höchstens gleich x sind

Für die Wahrscheinlichkeit von 0,7611 findet man aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung den Wert .

Damit ist und somit .

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 76,11% nimmt die Zufallsvariable Werte von höchstens 107,1 an.

Gesucht ist der Wert x der Zufallsvariablen X, so dass 3,6% der Realisationen von X mindestens gleich x sind

Wegen findet man für die Wahrscheinlichkeit von 0,964 aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung den Wert .

Damit ist und somit .

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 3,6% nimmt die Zufallsvariable Werte von mindestens 118 an.