Diskrete Gleichverteilung

Aus MM*Stat

(Weitergeleitet von Gleichverteilung (diskret))
Wechseln zu: Navigation, Suche

Verteilungsmodelle

Diskrete Gleichverteilung • Binomialverteilung • Hypergeometrische Verteilung • Poisson-Verteilung • Stetige Gleichverteilung • Exponentialverteilung • Normalverteilung • Standardnormalverteilung • Schwankungsintervall • Zentraler Grenzwertsatz • Chi-Quadrat-Verteilung • t-Verteilung • F-Verteilung • Approximation von Verteilungen • Multiple Choice • Video • Aufgaben • Lösungen
Approximation • Approximation der Binomialverteilung • Approximation der hypergeometrischen Verteilung • Approximation der Poisson-Verteilung • Bernoulli-Experiment • Endlichkeitskorrektur • Freiheitsgrad • Gauß-Verteilung • Gauß'sche Glockenkurve • Gedächtnislosigkeit der Exponentialverteilung • Gleichverteilung (diskret) • Gleichverteilung (stetig) • Poisson-Prozess • Sicherheitswahrscheinlichkeit • Standardnormalverteilung • Stetigkeitskorrektur • Student'sche t-Verteilung • Überschreitungswahrscheinlichkeit • Zentrales Schwankungsintervall

Grundbegriffe

Diskrete Gleichverteilung

Eine diskrete Zufallsvariable X mit den endlich vielen Realisationen x_{i} \, (i = 1,...,n) heißt gleichverteilt, wenn jeder Wert von X die gleiche Wahrscheinlichkeit der Realisierung hat.

Die diskrete Gleichverteilung weist den Parameter n auf.

Für die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Gleichverteilung gilt:

f(x_{i})=\begin{cases}\frac{1}{n}\quad & \mbox{, wenn } i=1,\dots ,n \\
0\quad & \mbox{, sonst }\end{cases}

Für die Verteilungsfunktion einer diskreten Gleichverteilung gilt:

 F(x) = \begin{cases}0  & \mbox{, wenn } x < x_1 \\
\frac{i}{n} \quad & \mbox{, wenn } x_i \leq x \leq x_{i+1} ; \quad i= 1, \dots n-1 \\
1 \quad & \mbox{, wenn }\ x_n \leq x \end{cases}

Für den Erwartungswert und die Varianz einer diskreten gleichverteilten Zufallsvariablen erhält man:

E[X] = \mu = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n} x_i

Var(X) = \sigma^2 = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n} (x_i -\mu)^2

Beispiele

Würfel

Die grafische Darstellung einer diskreten Gleichverteilung ist bei der Wahrscheinlichkeitsfunktion ein Stab- oder Balkendiagramm und bei der Verteilungsfunktion eine Treppenfunktion.

Ein typisches Beispiel für eine diskrete Gleichverteilung ist das einmalige Werfen eines idealen Würfels.

Die diskrete Zufallsvariable  = \{\mbox{Augenzahl}\} kann nur die ganzzahligen Werte im Intervall \,[1;6] annehmen.

Aufgrund der Voraussetzung eines idealen Würfels hat nach der klassischen Definition der Wahrscheinlichkeit jede Realisation von X die Wahrscheinlichkeit

\,f(x_{i})=\frac{1}{6} für i = 1,\dots,6.