Stetige Gleichverteilung

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Grundbegriffe

Stetige Gleichverteilung

Eine stetige Zufallsvariable X, die nur Werte im Intervall [a,b] annehmen kann, heißt gleichverteilt, wenn ihre Dichte die folgende Form hat:

f(x)=\begin{cases}\frac{1}{b-a}\quad & \mbox{, wenn } a\leq x\leq b \\
0\quad & \mbox{, sonst}
\end{cases}

Für die Verteilungsfunktion einer stetigen Gleichverteilung gilt:

F(x) = \begin{cases}
0 \quad & \mbox{, wenn } x < a \\
\frac{x - a}{b - a} \quad & \mbox{, wenn }a \leq x \leq b \\
1 \quad & \mbox{, wenn } b \leq x\end{cases}

Für den Erwartungswert und die Varianz einer stetigen Gleichverteilung gilt

 E[X] = \frac{b + a}{2}

Var(X) = \frac{(b - a)^2}{12}

Die stetige Gleichverteilung hängt von den Parametern a und b ab.

Zusatzinformationen

Erklärungen zur stetigen Gleichverteilung

Es ist zu prüfen, ob die Funktion

f(x)=\begin{cases}\frac{1}{b-a}\quad & \mbox{, wenn } a\leq x\leq b \\
0\quad & \mbox{, sonst}
\end{cases}

eine Dichtefunktion ist:

Da b > a ist, folgt f(x) \geq  0 für alle x, d.h. die Funktion verläuft in jedem Bereich der reellen Zahlen auf oder oberhalb der Abszisse.

Weiterhin gilt

\int\limits_{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\int\limits_{a}^{b}\frac{1}{b-a}\,dx=\left[ \frac{x}{b-a}\right] _{a}^{b}=\frac{b-a}{b-a}=1.

Mit obiger Funktion f(x) ist somit eine Dichtefunktion gegeben.

Man erhält den Wert der Verteilungsfunktion F(x) wie folgt:

F(x) = \int\limits_a^x\cdot \frac{1}{b - a}\,dv = \left[ \frac{v}{b - a} \right]_a^x = \frac{x - a}{b - a}

Erwartungswert und Varianz ergeben sich zu:

E(X) = \int\limits_a^b x\cdot \frac{1}{b - a}\,dx = \left[ \frac{x^2}{2\cdot (b - a)}\right]_a^b = \frac{b^2 - a^2}{2\cdot (b - a)} = \frac{(b - a)\cdot (b + a)}{2\cdot (b - a)} =\frac{b + a}{2}

Var(X) = \int\limits_a^b x^2\cdot  \frac{1}{b - a}\,dx - \left( \frac{b + a}{2}
\right)^2 = \left[ \frac{x^3}{3\cdot (b - a)} \right]_a^b - \left( \frac{b + a}{2} \right)^2 = \frac{b^3 - a^3}{3\cdot (b - a)} - \frac{b + a}{4} = \frac{(b - a)^2}{12}

Die allgemeine Form der Dichte- und der Verteilungsfunktion einer stetigen Gleichverteilung zeigen die nachfolgenden Graphiken.

Beispiele

Straßenbahn

Eine Person kommt, ohne auf die Uhr zu sehen, zur Straßenbahn, welche im 20-Minuten-Takt fährt.

Die Zufallsvariable X\;: "Wartezeit auf die nächste Straßenbahn in Minuten" kann dann jeden Wert aus dem Intervall [0, 20] annehmen, Pünktlichkeit der Straßenbahn vorausgesetzt.

Damit folgt

P(0\leq X \leq 20) = 1 mit a = 0 und b = 20.

Da die Person rein zufällig in einem hinreichend kleinen, gleichmöglichen Zeitintervall konstanter Länge (etwa von der Länge 30 Sekunden) an der Haltestelle eintrifft, kann die stetige Zufallsvariable X = \{\mbox{Wartezeit}\} als gleichverteilt angesehen werden.

Damit ist die Dichtefunktion von X\;:

f(x)=\begin{cases}\frac{1}{20}\quad & \mbox{, wenn }\ 0<x\leq b \\
0\quad & \mbox{, sonst}\end{cases}

Die Verteilungsfunktion lautet:

F(x)=\begin{cases}0\quad & \mbox{, wenn } x<0 \\
\frac{1}{20}\cdot x\quad & \mbox{, wenn } 0\leq x\leq 20 \\
1\quad & \mbox{, sonst}\end{cases}

Der Erwartungswert von X\; ist

\,E[X]  = \int\nolimits_{-\infty}^{\infty} x\cdot f(x)\,dx = \int\nolimits_0^{20} x\cdot \frac{1}{20}\,dx
=\frac{1}{20}\cdot \left[ \frac{1}{2}\cdot x^2 \right]_{0}^{20} =\frac{1}{20}\cdot \left[\frac{1}{2}\cdot 20^2 - \frac{1}{2}\cdot 0^2 \right] = 10

Falls sich die Person nicht besser orientiert, muss sie im Mittel mit einer Wartezeit von 10 Minuten rechnen.

Die Varianz ist

\,Var(X) = \int\nolimits_{-\infty}^{\infty} (x - \mu)^2\cdot f(x)\,dx =\int\nolimits_0^{20} (x - 10)^2 \cdot \frac{1}{20}\,dx
= \frac{1}{20}\cdot  \int\nolimits_0^{20} (x^2 - 20x + 100)\,dx
= \frac{1}{20}\cdot \left[ \frac{1}{3}\cdot x^3 - \frac{1}{2}\cdot 20\cdot x^2 + 100x \right]_{0}^{20}
= \frac{1}{20}\cdot \left[ \frac{1}{3}\cdot 20^3 - \frac{1}{2}\cdot 20^3 + 100 \cdot 20\right] = 33,33

Die Standardabweichung ist somit \sigma = 5,77.

Die Dichtefunktion und die Verteilungsfunktion sehen wie folgt aus: