Verteilungsmodelle/Video

Bogenschütze

Bogenschütze A. Mor will seine Freunde mit seiner Kunst beeindrucken. Er weiß, dass er im Durchschnitt 3 Treffer bei 5 Schüssen erzielt. Um sein Können unter Beweis zu stellen, schießt er 8 mal auf eine Scheibe.

• Wie ist die Zufallsvariable $X_{i}$: Treffer beim i–ten Schuß und die Zufallsvariable Y: Treffersumme bei 8 Schüssen verteilt? Begründen Sie Ihre Antwort.
• Geben Sie die zu erwartende Treffersumme allgemein und konkret für das Beispiel an.
• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass A. Mor genau dreimal trifft?

Eier

Von einer Eiersorte sei bekannt, dass von einer Packung mit 6 Eiern 2 Eier faul sind. Aus dieser Packung werden zufällig 3 Eier ausgewählt und auf ihre Güte "uberprüft, d.h. in die Pfanne geschlagen.

• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau ein Ei faul ist?
• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens ein Ei faul ist?
• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau drei Eier faul sind?
• Wie viele faule Eier kann man bei der Prüfung von 3 Eiern erwarten?

Auf einer kleinen Hühnerfarm werden in einem langen Zeitraum mehr als 500 Eier produziert. Man weiß, das mit 80%iger Wahrscheinlichkeit ein solches Ei gut, d.h. nicht faul ist. Es wird eine Lieferung von 20 dieser Eier bestellt bei Zufallsauswahl der Eier.

• Wie groß ist approximativ die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 2 faule Eier in der Lieferung sind?
• Berechnen Sie den Erwartungswert der Zufallsgröße “Anzahl der guten Eier in der Lieferung”.
• Berechnen Sie approximativ die Wahrscheinlichkeit, dass genau 16 faule Eier in der Lieferung sind.

Formfehler

In einem Unternehmen haben 10% der in großer Zahl vorhandenen Belege einen Formfehler. Ein Wirtschaftsprüfer wählt zufällig 10 Belege aus.

• Wie ist die Anzahl der fehlerhaften Belege verteilt?
• Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er mehr als einen fehlerhaften Beleg findet.

Prüfungsfragen

Einem Prüfling A wird ein Gesamtkatalog mit 10 Zetteln vorgelegt, auf denen je eine Prüfungsfrage steht. Der Prüfling weiß, dass der zuständige Prüfer von diesen 10 Fragen 6 Fragen so schwer gemacht hat, dass kein Prüfling sie beantworten könnte. Von den 10 Fragen darf der Prüfling nun selbst 3 Fragen für seine Prüfung zufällig auswählen.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Prüfling

• genau drei beantwortbare Fragen zieht?
• mindestens eine beantwortbare Frage zieht?

Straßenmusikant

Der Straßenmusikant Johann hat beobachtet, dass er im Durchschnitt alle 5 Minuten ein Geldstück für seine Darbietung erhält.

• Wie ist die Zufallsvariable X: Anzahl der erhaltenen Geldstücke je Zeiteinheit verteilt? Begründen Sie Ihre Antwort.
• Welchen Verdienst kann Johann in 4 Stunden erwarten, wenn man annimmt, dass 5 Geldstücke 3 EUR entsprechen?
• Johann ist schon ziemlich müde. Dennoch will er erst nach Hause gehen, wenn er noch ein weiteres Geldstück erhält. Wie lange muß er im Durchschnitt noch spielen, bevor er gehen kann, wenn er soeben eine Münze erhalten hat? Geben Sie dafür auch die Zufallsvariable und deren Verteilung an.
• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er mindestens 3 Minuten auf das nächste Geldstück warten muß?

Telefongespräche

Zwischen 14 und 16 Uhr ist die durchschnittliche Anzahl der Telefongespräche, die die Vermittlung einer Firma pro Minute empfängt, gleich 2,5.

• Wie ist die Zufallsvariable $X$: “Anzahl der in dieser Zeit empfangenen Telefonate pro Minute” verteilt?

• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass während einer bestimmten Minute in dieser Zeit

  • kein,

  • weniger als drei,

  • vier oder mehr,

  Telefonate empfangen werden?

Telefonzentrale

Die Telefonzentrale einer Feuerwache empfängt in einer Stunde durchschnittlich 0,5 Alarmmeldungen.

• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass während der 6–stündigen Dienstzeit einer Feuerwehrmannschaft

  • kein Alarm,

  • mindestens dreimal Alarm,

  • höchstens siebenmal Alarm

  gegeben wird?

• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Feuerwehrmannschaft

  • innerhalb der ersten Dienststunde den ersten Alarm bekommt?

  • länger als 2 Stunden auf den ersten Alarm warten muss?

  • ausgerechnet in der letzten Dienststunde zum ersten Alarm “ausrücken” muss, nachdem in der gesamten 5-stündigen Dienstzeit zuvor kein Alarm gekommen ist?

• Der Oberbrandmeister erklärt seiner Feuerwehrmannschaft, dass mit 95%iger Wahrscheinlichkeit der erste Alarm noch in die Dienstzeit dieser Mannschaft fallen wird. Hat er recht?
  Muss die Mannschaft also tatsächlich weniger als 6 Stunden warten, um mit 95%iger Wahrscheinlichkeit den ersten Alarm zu bekommen?

Tulpenzwiebeln

In einem Gartenmarkt werden Tulpenzwiebeln in 10–er Packungen verkauft. Es ist bekannt, dass 5% der Tulpen nicht blühen werden. Um die Tulpen trotzdem loszuwerden, garantiert der Gartenmarkt, dass mindestens 9 der 10 Tulpen einer Packung blühen werden.
An einem bestimmten Tag liegen 50 dieser 10–er Packungen im Regal des Gartenmarktes. Bestimmen Sie für eine zufällig herausgegriffene Packung die Wahrscheinlichkeit, dass das Garantieversprechen nicht erfüllt ist.

Vier Kinder

Es werden Familien mit vier Kindern betrachtet. Es wird angenommen, dass Jungen- und Mädchengeburten unabhängig voneinander und gleichwahrscheinlich sind. Mit $X$ wird die (zufällige) Anzahl der Jungen in einer Familie mit 4 Kindern bezeichnet.

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass

• zwei Jungen und zwei Mädchen,
• drei Jungen und ein Mädchen
• vier Jungen

geboren werden, indem man die entsprechenden Ereignisse mittels der Zufallsvariablen $X$ formuliert und deren Verteilung verwendet.