F-Verteilung

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Verteilungsmodelle

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Grundbegriffe

F-Verteilung

Gegeben seien zwei unabhängige Zufallsvariablen Y_{1}\mbox{ und }Y_{2} , die beide Chi-Quadrat-verteilt sind mit f_{1}\mbox{ bzw. }f_{2} Freiheitsgraden.

Dann heißt die Verteilung der Zufallsvariablen

X = \cfrac{\cfrac{Y_1}{f_1}}{\cfrac{Y_2}{f_2}}

F-Verteilung mit den Parametern f_{1} und f_{2} oder kurz F(f_{1},f_{2}).

Die Parameter sind die Anzahl der Freiheitsgrade f_{1} der Chi-Quadrat-verteilten Zufallsvariable des Zählers und die Anzahl der Freiheitsgrade f_{2} der Chi-Quadrat-verteilten Zufallsvariable des Nenners.

Der Wertebereich ist X >0.

Für eine Zufallsvariable X, die F-verteilt mit den Parametern f_{1} und f_{2} ist, gilt:

E[X]=\frac{f_{2}}{f_{2}-2}, \mbox{für} \ f_{2}>2
Var(X)=\frac{2\cdot f_{2}^{2}\cdot(f_{1}+f_{2}-2)}{f_{1}\cdot(f_{2}-2)^{2}\cdot(f_{2}-4)}, \mbox{für} \ f_{2}>4

Die Verteilungsfunktion der F-Verteilung liegt für ausgewählte Wahrscheinlichkeiten und ausgewählte Werte der Parameter f_{1} und f_{2} tabelliert vor.

Zusatzinformationen

Graphische Darstellung der F-Verteilung

Die Dichtefunktion der F-Verteilung ist rechtsschief. Für wachsende Werte von f_{1} und f_{2} nimmt die Schiefe jedoch ab.

Für f_{1}\rightarrow \infty und f_{2}\rightarrow \infty strebt die Dichte der F-Verteilung gegen die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung.

Die folgende Abbildung zeigt die Dichtefunktionen der F-Verteilung für ausgewählte Freiheitsgrade f_{1} \mbox{ und }f_{2}.