Stichprobentheorie

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Grundbegriffe

Statistisches Element

Als statistische Elemente $x_{i}$ mit $i=1,\dots ,N$ , werden die statistischen Einheiten oder Merkmalsträger bezeichnet, welche hinsichtlich (mindestens) eines festgelegten Merkmals untersucht werden sollen. $N$ bezeichne hierbei den Umfang der Grundgesamtheit.

Zusatzinformationen

Vollerhebung vs. Stichprobenerhebung

Die Parameter haben in der Grundgesamtheit konstante, feststehende Werte.

Die Verteilung und die Parameterwerte des Merkmals $X\;$ in der Grundgesamtheit sind im Allgemeinen ganz oder teilweise unbekannt.

Um Informationen über die unbekannte Verteilung und/oder die Parameterwerte eines Merkmals $X\;$ in der Grundgesamtheit zu erhalten, kann eine Vollerhebung durchgeführt werden.

Bei einer Vollerhebung werden sämtliche Elemente der Grundgesamtheit und die zugehörigen Ausprägungen bezüglich eines Merkmals (oder mehrerer Merkmale) erfasst.

Nur durch eine Vollerhebung können die exakte Verteilung des Merkmals $X\;$ und die exakten Parameterwerte in der Grundgesamtheit ermittelt werden.

Eine andere Möglichkeit zur Informationsgewinnung über die Grundgesamtheit besteht in einer Stichprobenerhebung.

Gründe für Stichprobenerhebungen

Obwohl nur eine Vollerhebung exakte Informationen über die Verteilung der Zufallsvariablen $X\;$ in der Grundgesamtheit liefern kann, gibt es wichtige Gründe für eine Teil- oder Stichprobenerhebung.

Eine Vollerhebung ist nicht möglich.
- Mit der Erfassung der Elemente der Grundgesamtheit ist ihre Zerstörung verbunden. Beispiel: Die Zufallsvariable $X\;$ ist die Lebensdauer von Batterien, die Brenndauer von Glühlampen oder die Belastbarkeit von Bauelementen. In diesen Fällen müssten alle Elemente der Grundgesamtheit bis zu ihrem Ausfall geprüft werden.
- Die Grundgesamtheit ist sehr groß. Beispiel: Für die Erstellung des Waldschadensberichtes der Bundesregierung kann nicht jeder Baum auf dem Territorium der Bundesrepublik Deutschland überprüft werden.
- Die nur theoretisch existierende Grundgesamtheit ist unendlich groß. Beispiel: Die Grundgesamtheit ist die Menge aller möglichen Ziehungen der Lottozahlen "6 aus 49".
- Die Grundgesamtheit umfasst Elemente, die erst in der Zukunft auftreten. Beispiel: Die Grundgesamtheit ist die Gesamtproduktion, die auf einer Maschine hergestellt werden kann. Zum Zeitpunkt der Erhebung existieren noch nicht alle Elemente der Gesamtproduktion, da auch weiterhin auf dieser Maschine produziert wird.
Eine Vollerhebung ist mit zu hohen Kosten verbunden. Beispiel: Um Informationen über das veränderte Einkommen und die Verbrauchsgewohnheiten der privaten Haushalte zu erhalten, können nicht in bestimmten periodischen Abständen alle 37,5 Millionen Haushalte in der Bundesrepublik Deutschland (Stand April 1997)

erfasst werden. Die Kosten wären viel zu hoch. Man zieht deshalb die sogenannte Einkommens- und Verbrauchsstichprobe.

Eine Vollerhebung und deren Auswertung ist zeitlich zu langwierig. Zum Beispiel müssen für wirtschaftspolitische Entscheidungen Informationen über die Grundgesamtheit relativ kurzfristig vorliegen, damit sie aktuell sind.