T-Verteilung

Grundbegriffe

Student'sche t-Verteilung

Ist $Z\,$ eine standardnormalverteilte Zufallsvariable, $Z\sim N(0,1)\,$ und $Y\,$ eine von $Z\,$ unabhängige Chi-Quadrat-verteilte Zufallsvariable $Y\sim \chi ^{2}(f)\,$ mit dem Parameter $f$, dann heißt die Verteilung der Zufallsvariablen

$T={\cfrac {Z}{\sqrt {\cfrac {Y}{f}}}}$

Student'sche t-Verteilung oder t-Verteilung mit dem Parameter $f$, oder kurz $t(f)\,$.

Der Parameter $f$ ist die Anzahl der Freiheitsgrade der Chi-Quadrat-verteilten Zufallsvariable $Y\,$.

Die Zufallsvariable $T$ hat den Wertebereich: $-\infty \leq T\leq +\infty$.

Für Erwartungswert und Varianz gilt:

$E[T]=0\;{\mbox{, wenn }}f>1$

$Var(T)=f/(f-2)\;{\mbox{, wenn }}f>2$

Die Verteilungsfunktion der t-Verteilung liegt für ausgewählte Werte des Parameters $f$ und ausgewählte Wahrscheinlichkeiten tabelliert vor.

Zusatzinformationen

Graphische Darstellung der t-Verteilung

Die folgende Abbildung zeigt die Dichtefunktionen der t-Verteilung für verschiedene Freiheitsgrade $f$.

<R output="display"> pdf(rpdf,width=7,height=7) curve(from=-3, to=3, dt(x, df=1), ylab="f(x)", col="red", ylim=c(0.0,0.45), lty=1, lwd=4, font.lab=2, xaxp = c(-3, 3, 6), yaxp=c(0.0, 0.4, 4), "yaxs"="i") par(new=TRUE) curve(from=-3, to=3, dt(x, df=5), ylab="f(x)", col="blue", ylim=c(0.0,0.45), lty=1, lwd=4, font.lab=2, xaxp = c(-3, 3, 6), yaxp=c(0.0, 0.4, 4), "yaxs"="i") par(new=TRUE) curve(from=-3, to=3, dt(x, df=99999999), ylab="f(x)", col="green", ylim=c(0.0,0.45), lty=1, lwd=4, font.lab=2, xaxp = c(-3, 3, 6), yaxp=c(0.0, 0.4, 4), "yaxs"="i") text(0, 0.29, "t=1", col="red", cex=1.5) text(0, 0.34, "t=5", col="blue", cex=1.5) text(0.12, 0.42, labels=expression(infinity), col="green", cex=1.5) text(-0.12, 0.42, labels="t=", col="green", cex=1.5) title(main="Dichtefunktion (t-Verteilung)") box(which="outer") </R>

Beziehung zur Standardnormalverteilung

Die Dichtefunktion der t-Verteilung ist eine symmetrische Glockenkurve zum Erwartungswert $E(T)=0$ (wie die Standardnormalverteilung).

Jedoch ist die Dichtefunktion der t-Verteilung flacher als die der Standardnormalverteilung.

Mit anderen Worten: Die Kurve der t-Verteilung weist eine geringere Höhe und eine größere Streuung auf.

Die Varianz der Standardnormalverteilung ist 1, während die Varianz der t-Verteilung $Var(T)={\frac {f}{f-2}}$ größer als Eins ist (für $f\geq 3$).

Für $f\rightarrow \infty$ konvergiert die Dichtefunktion der t-Verteilung gegen die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung.

Ab $f\geq 30$ kann die t-Verteilung in guter Näherung durch die Standardnormalverteilung approximiert werden.