Standardnormalverteilung

Grundbegriffe

Standardnormalverteilung

Sei $Z$ eine standardisierte Zufallsvariable mit

$Z={\frac {X-\mu }{\sigma }}$

Die Zufallsvariable $Z$ gibt die Werte der Zufallsvariablen $X$ als Abweichungen von ihrem Erwartungswert in Einheiten der Standardabweichung an.

Wenn $X\,$ normalverteilt ist, dann ist auch $Z\,$ normalverteilt. Die Normalverteilung von $Z\,$ wird dann als Standardnormalverteilung $N(0;1)$ bezeichnet.

Dichtefunktion der Standardnormalverteilung:

$\varphi (z)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {z^{2}}{2}}}$

Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung:

$\Phi (z)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{z}e^{-v^{2}/2}\;dv$

Erwartungswert und Varianz der Standardnormalverteilung:

$E[Z]=0\quad Var(Z)=1$

Für die Standardnormalverteilung ist die Verteilungsfunktion tabelliert.

Die Dichtefunktion bzw. Verteilungsfunktion geben die nachfolgenden Grafiken wieder.

<R output="display"> pdf(rpdf,width=7,height=7) curve(from=-4, to=4, dnorm(x, mean=0, sd=1), ylab="f(z)", main="Dichtefunktion der N(0;1)", xlab="z", col="red", ylim=c(0.00,0.4), lty=1, lwd=4, font.lab=2, "xaxs"="i" ,"yaxs"="i", bty="l") </R>

<R output="display"> pdf(rpdf,width=7,height=7) curve(from=-4, to=4, pnorm(x, mean=0, sd=1), main="Verteilungsfunktion der N(0;1)", ylab="F(z)", xlab="z", col="red", ylim=c(0.00,1.0), lty=1, lwd=4, font.lab=2, "xaxs"="i" ,"yaxs"="i", bty="l") </R>

Zusatzinformationen

Standardisierte Normalverteilung und Standardnormalverteilung

Eine Tabellierung der Verteilungsfunktion der Normalverteilung für alle praktisch relevanten Werte von $\mu$ und $\sigma$ ist nicht möglich.

Man kann jede gegebene Normalverteilung in eine spezielle Normalverteilung transformieren und diese dann tabellieren.

Es bietet sich an, als spezielle Verteilung diejenige Normalverteilung zu wählen, die den Erwartungswert $E(X)=\mu =0$, und die Standardabweichung $\sigma =1$ besitzt, also die Standardnormalverteilung.

Beziehung zwischen $N(\mu ,\sigma )$ Verteilung und standardisierter Normalverteilung:

Aus

$x=\mu +z\cdot \sigma$ bzw. $z={\frac {x-\mu }{\sigma }}$

folgt:

$F_{NV}(x;\mu ,\sigma )=P(X\leq x)=P\left({\frac {X-\mu }{\sigma }}\leq {\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)=P(Z\leq z)=\Phi (z)$

Die Bedeutung der standardisierten Normalverteilung liegt darin, dass es zu jeder normalverteilten Zufallsvariablen $X\,$ eine linear transformierte Zufallsvariable $Z\,$ gibt, die der Standardnormalverteilung folgt.

Bei Verwendung der Tabelle der Dichtefunktion und der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung ist zu beachten, dass zumeist nur die positiven Werte von $Z\,$ tabelliert sind.

Die Tabellierung der Standardnormalverteilung für negative $Z\,$-Werte ist aufgrund der Symmetrie der Normalverteilung nicht erforderlich, da

$\Phi (-z)=P(Z\leq -z)=1-P(Z\leq z)=1-\Phi (z)$

gilt.

Beispiele

Standardisierte Normalverteilung

Gegeben sei eine Zufallsvariable $X\,$, die $N(100;10)$-verteilt ist.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit P(X ≤ x) mit x = 125

$z={\frac {x-\mu }{\sigma }}={\frac {125-100}{10}}=2,5$

$\,P(X\leq 125)$	$=F(125)\,$
	$=\Phi ({\frac {125-100}{10}})$
	$=\Phi (2,5)\,$
	$=0,99379\,$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 99,38% nimmt die Zufallsvariable $X\,$ Werte von höchstens 125 an.

<R output="display"> pdf(rpdf,width=7,height=7) curve(from=60, to=140, dnorm(x, mean=100, sd=10), xaxt="n", ylab="f(x)", xlab="x", col="blue", ylim=c(0.0,0.04), lty=1, lwd=4, font.lab=2, "xaxs"="i" ,"yaxs"="i", bty="l") axis( side=1, at=c(60, 125), tick=FALSE) par(new=TRUE) xx <-c(60:125, 125:60) yy <-c(c(dnorm(c(60:125), mean=100, sd=10)),c(rep(0,66))) polygon(xx, yy, col="grey", border=NA) par(new=TRUE) curve(from=60, to=140, dnorm(x, mean=100, sd=10), xaxt="n", ylab="f(x)", xlab="x", col="blue", ylim=c(0.0,0.04), lty=1, lwd=4, font.lab=2, "xaxs"="i" ,"yaxs"="i", bty="l") abline(v=125, col="black", lwd=2) </R>

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit P(X ≥ x) mit x = 115,6

$z={\frac {x-\mu }{\sigma }}={\frac {115,6-100}{10}}=1,56$

$\,P(X\geq 115,6)$	$=1-P(X\leq 115,6)\,$
	$=1-F(115,6)\,$
	$=1-\Phi ({\frac {115,6-100}{10}})\,$
	$=1-\Phi (1,56)\,$
	$=1-0,94062\,$
	$=0,05938\,$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 5,94% nimmt die Zufallsvariable $X\,$ Werte von mindestens 115,6 an.

<R output="display"> pdf(rpdf,width=7,height=7) curve(from=60, to=140, dnorm(x, mean=100, sd=10), xaxt="n", ylab="f(x)", xlab="x", col="blue", ylim=c(0.0,0.04), lty=1, lwd=4, font.lab=2, "xaxs"="i" ,"yaxs"="i", bty="l") axis( side=1, at=c(60, 115.6), labels=c("60", "115,6"), tick=FALSE) par(new=TRUE) xx <-c(115.6:140.6, 140.6:115.6) yy <-c(c(dnorm(c(115.6:140.6), mean=100, sd=10)),c(rep(0,26))) polygon(xx, yy, col="grey", border=NA) par(new=TRUE) curve(from=60, to=140, dnorm(x, mean=100, sd=10), xaxt="n", ylab="f(x)", xlab="x", col="blue", ylim=c(0.0,0.04), lty=1, lwd=4, font.lab=2, "xaxs"="i" ,"yaxs"="i", bty="l") abline(v=115.6, col="black", lwd=2) </R>

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit P(X ≤ x) mit x = 80

$z={\frac {x-\mu }{\sigma }}={\frac {80-100}{10}}=-2$

$\,P(X\leq 80)$	$=F(80)\,$
	$=\Phi ({\frac {80-100}{10}})\,$
	$=\Phi (-2)\,$
	$=1-\Phi (2)\,$
	$=1-0,97725\,$
	$=0,02275\,$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 2,275% nimmt die Zufallsvariable $X\,$ Werte von höchstens 80 an.

<R output="display"> pdf(rpdf,width=7,height=7) curve(from=60, to=140, dnorm(x, mean=100, sd=10), xaxt="n", ylab="f(x)", xlab="x", col="blue", ylim=c(0.0,0.04), lty=1, lwd=4, font.lab=2, "xaxs"="i" ,"yaxs"="i", bty="l") axis( side=1, at=c(60, 80), labels=c("60", "80"), tick=FALSE) par(new=TRUE) xx <-c(60:80, 80:60) yy <-c(c(dnorm(c(60:80), mean=100, sd=10)),c(rep(0,21))) polygon(xx, yy, col="grey", border=NA) par(new=TRUE) curve(from=60, to=140, dnorm(x, mean=100, sd=10), xaxt="n", ylab="f(x)", xlab="x", col="blue", ylim=c(0.0,0.04), lty=1, lwd=4, font.lab=2, "xaxs"="i" ,"yaxs"="i", bty="l") abline(v=80, col="black", lwd=2) </R>

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit P(X ≥ x) mit x = 94,8

$z={\frac {x-\mu }{\sigma }}={\frac {94,8-100}{10}}=-0,52$

$\,P(X\geq 94,8)$	$=1-P(X\leq 94,8)\,$
	$=1-F(94,8)\,$
	$=1-\Phi ({\frac {94,8-100}{10}})\,$
	$=1-\Phi (-0,52)\,$
	$=1-(1-\Phi (0,52))\,$
	$=\Phi (0,52)\,$
	$=0,698468\,$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 69,85% nimmt die Zufallsvariable $X\,$ Werte von mindestens 94,8 an.

<R output="display"> pdf(rpdf,width=7,height=7) curve(from=60, to=140, dnorm(x, mean=100, sd=10), xaxt="n", ylab="f(x)", xlab="x", col="blue", ylim=c(0.0,0.04), lty=1, lwd=4, font.lab=2, "xaxs"="i" ,"yaxs"="i", bty="l") axis( side=1, at=c(60, 94.8), labels=c("60", "94,8"), tick=FALSE) par(new=TRUE) xx <-c(94.8:140.8, 140.8:94.8) yy <-c(c(dnorm(c(94.8:140.8), mean=100, sd=10)),c(rep(0,47))) polygon(xx, yy, col="grey", border=NA) par(new=TRUE) curve(from=60, to=140, dnorm(x, mean=100, sd=10), xaxt="n", ylab="f(x)", xlab="x", col="blue", ylim=c(0.0,0.04), lty=1, lwd=4, font.lab=2, "xaxs"="i" ,"yaxs"="i", bty="l") abline(v=94.8, col="black", lwd=2) </R>

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit P(x_u ≤ X ≤ x_o) mit x_u = 88,8 und x_o = 132

$z_{u}={\frac {x_{u}-\mu }{\sigma }}={\frac {88,8-100}{10}}=-1,12$

$z_{o}={\frac {x_{o}-\mu }{\sigma }}={\frac {132-100}{10}}=3,2$

$\,P(88,8\leq X\leq 132)$	$=P(X\leq 132)-P(X\leq 88,8)\,$
	$=F(132)-F(88,8)\,$
	$=\Phi (3,2)-\Phi (-1,12)\,$
	$=\Phi (3,2)-(1-\Phi (1,12))\,$
	$=0,999313+0,868643-1\,$
	$=0,867956\,$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 86,8% nimmt die Zufallsvariable $X\,$ Werte im Intervall $\left[88,8;132\right]$ an.

<R output="display"> pdf(rpdf,width=7,height=7) curve(from=60, to=140, dnorm(x, mean=100, sd=10), xaxt="n", ylab="f(x)", xlab="x", col="blue", ylim=c(0.0,0.04), lty=1, lwd=4, font.lab=2, "xaxs"="i" ,"yaxs"="i", bty="l") axis( side=1, at=c(60, 88.8, 132), labels=c("60", "88,8", "132"), tick=FALSE) par(new=TRUE) xx <-c(88.8:131.8, 131.8:88.8) yy <-c(c(dnorm(c(88.8:131.8), mean=100, sd=10)),c(rep(0,44))) polygon(xx, yy, col="grey", border=NA) par(new=TRUE) curve(from=60, to=140, dnorm(x, mean=100, sd=10), xaxt="n", ylab="f(x)", xlab="x", col="blue", ylim=c(0.0,0.04), lty=1, lwd=4, font.lab=2, "xaxs"="i" ,"yaxs"="i", bty="l") abline(v=88.8, col="black", lwd=2) abline(v=132, col="black", lwd=2) </R>

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit P(x_u ≤ X ≤ x_o) mit x_u = 80,4 und x_o = 119,6

$z_{u}={\frac {x_{u}-\mu }{\sigma }}={\frac {80,4-100}{10}}=-1,96$

$z_{o}={\frac {x_{o}-\mu }{\sigma }}={\frac {119,6-100}{10}}=1,96$

$\,P(80,4\leq X\leq 119,6)$	$=P(X\leq 119,6)-P(X\leq 80,4)\,$
	$=F(119,6)-F(80,4)\,$
	$=\Phi (1,96)-\Phi (-1,96)\,$
	$=\Phi (1,96)-(1-\Phi (1,96))\,$
	$=2\cdot \Phi (1,96)-1\,$
	$=2\cdot 0,975-1\,$
	$=0,95\,$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% nimmt die Zufallsvariable $X\,$ Werte im Intervall $[80,4;119,6]$ an.

<R output="display"> pdf(rpdf,width=7,height=7) curve(from=60, to=140, dnorm(x, mean=100, sd=10), xaxt="n", ylab="f(x)", xlab="x", col="blue", ylim=c(0.0,0.04), lty=1, lwd=4, font.lab=2, "xaxs"="i" ,"yaxs"="i", bty="l") axis( side=1, at=c(60, 80.4, 119.6), labels=c("60", "80,4", "119,6"), tick=FALSE) par(new=TRUE) xx <-c(80.4:119.6, 119.6:80.4) yy <-c(c(dnorm(c(80.4:119.6), mean=100, sd=10)),c(rep(0,40))) polygon(xx, yy, col="grey", border=NA) par(new=TRUE) curve(from=60, to=140, dnorm(x, mean=100, sd=10), xaxt="n", ylab="f(x)", xlab="x", col="blue", ylim=c(0.0,0.04), lty=1, lwd=4, font.lab=2, "xaxs"="i" ,"yaxs"="i", bty="l") abline(v=80.4, col="black", lwd=2) abline(v=119.6, col="black", lwd=2) </R>

Gesucht ist der Wert x der Zufallsvariablen X, so dass 76,11% der Realisationen von X höchstens gleich x sind

$0,7611\,$	$=P(X\leq x)$
	$=P(Z\leq {\frac {x-100}{10}})$
	$=P(Z\leq z)$
	$=\Phi (z)\,$

Für die Wahrscheinlichkeit von 0,7611 findet man aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung den Wert $z=0,71$.

Damit ist $x=\mu +z\cdot \sigma =100+0,71\cdot 10=107,1$ und somit $P(X\leq 107,1)=0,7611$.

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 76,11% nimmt die Zufallsvariable $X\,$ Werte von höchstens 107,1 an.

<R output="display"> pdf(rpdf,width=7,height=7) curve(from=60, to=140, dnorm(x, mean=100, sd=10), xaxt="n", ylab="f(x)", xlab="x", col="blue", ylim=c(0.0,0.04), lty=1, lwd=4, font.lab=2, "xaxs"="i" ,"yaxs"="i", bty="l") axis( side=1, at=c(60, 107.1), labels=c("60", "107,1"), tick=FALSE) par(new=TRUE) xx <-c(60.1:107.1, 107.1:60.1) yy <-c(c(dnorm(c(60.1:107.1), mean=100, sd=10)),c(rep(0,48))) polygon(xx, yy, col="grey", border=NA) par(new=TRUE) curve(from=60, to=140, dnorm(x, mean=100, sd=10), xaxt="n", ylab="f(x)", xlab="x", col="blue", ylim=c(0.0,0.04), lty=1, lwd=4, font.lab=2, "xaxs"="i" ,"yaxs"="i", bty="l") abline(v=107.1, col="black", lwd=2) </R>

Gesucht ist der Wert x der Zufallsvariablen X, so dass 3,6% der Realisationen von X mindestens gleich x sind

$0,036\,$	$=P(X\geq x)$
	$=P(Z\geq {\frac {x-100}{10}})$
	$=P(Z\geq z)$
	$=1-P(Z\leq z)$

Wegen $P(Z\leq z)=0,964$ findet man für die Wahrscheinlichkeit von 0,964 aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung den Wert $z=1,8$.

Damit ist $x=\mu -z\cdot \sigma =100-1,8\cdot 10=118$ und somit $P(X\geq 118)=0,036$.

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 3,6% nimmt die Zufallsvariable $X\,$ Werte von mindestens 118 an.

<R output="display"> pdf(rpdf,width=7,height=7) curve(from=60, to=140, dnorm(x, mean=100, sd=10), xaxt="n", ylab="f(x)", xlab="x", col="blue", ylim=c(0.0,0.04), lty=1, lwd=4, font.lab=2, "xaxs"="i" ,"yaxs"="i", bty="l") axis( side=1, at=c(60, 118), labels=c("60", "118"), tick=FALSE) par(new=TRUE) xx <-c(118:140, 140:118) yy <-c(c(dnorm(c(118:140), mean=100, sd=10)),c(rep(0,23))) polygon(xx, yy, col="grey", border=NA) par(new=TRUE) curve(from=60, to=140, dnorm(x, mean=100, sd=10), xaxt="n", ylab="f(x)", xlab="x", col="blue", ylim=c(0.0,0.04), lty=1, lwd=4, font.lab=2, "xaxs"="i" ,"yaxs"="i", bty="l") abline(v=118, col="black", lwd=2) </R>