Stetige Gleichverteilung

Grundbegriffe

Stetige Gleichverteilung

Eine stetige Zufallsvariable $X$, die nur Werte im Intervall $[a,b]$ annehmen kann, heißt gleichverteilt, wenn ihre Dichte die folgende Form hat:

$f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}\quad &{\mbox{, wenn }}a\leq x\leq b\\0\quad &{\mbox{, sonst}}\end{cases}}$

Für die Verteilungsfunktion einer stetigen Gleichverteilung gilt:

$F(x)={\begin{cases}0\quad &{\mbox{, wenn }}x<a\\{\frac {x-a}{b-a}}\quad &{\mbox{, wenn }}a\leq x\leq b\\1\quad &{\mbox{, wenn }}b\leq x\end{cases}}$

Für den Erwartungswert und die Varianz einer stetigen Gleichverteilung gilt

$E[X]={\frac {b+a}{2}}$

$Var(X)={\frac {(b-a)^{2}}{12}}$

Die stetige Gleichverteilung hängt von den Parametern $a$ und $b$ ab.

Zusatzinformationen

Erklärungen zur stetigen Gleichverteilung

Es ist zu prüfen, ob die Funktion

$f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}\quad &{\mbox{, wenn }}a\leq x\leq b\\0\quad &{\mbox{, sonst}}\end{cases}}$

eine Dichtefunktion ist:

Da $b>a$ ist, folgt $f(x)\geq 0$ für alle $x$, d.h. die Funktion verläuft in jedem Bereich der reellen Zahlen auf oder oberhalb der Abszisse.

Weiterhin gilt

$\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\int \limits _{a}^{b}{\frac {1}{b-a}}\,dx=\left[{\frac {x}{b-a}}\right]_{a}^{b}={\frac {b-a}{b-a}}=1$.

Mit obiger Funktion $f(x)$ ist somit eine Dichtefunktion gegeben.

Man erhält den Wert der Verteilungsfunktion $F(x)$ wie folgt:

$F(x)=\int \limits _{a}^{x}\cdot {\frac {1}{b-a}}\,dv=\left[{\frac {v}{b-a}}\right]_{a}^{x}={\frac {x-a}{b-a}}$

Erwartungswert und Varianz ergeben sich zu:

$E(X)=\int \limits _{a}^{b}x\cdot {\frac {1}{b-a}}\,dx=\left[{\frac {x^{2}}{2\cdot (b-a)}}\right]_{a}^{b}={\frac {b^{2}-a^{2}}{2\cdot (b-a)}}={\frac {(b-a)\cdot (b+a)}{2\cdot (b-a)}}={\frac {b+a}{2}}$

$Var(X)=\int \limits _{a}^{b}x^{2}\cdot {\frac {1}{b-a}}\,dx-\left({\frac {b+a}{2}}\right)^{2}=\left[{\frac {x^{3}}{3\cdot (b-a)}}\right]_{a}^{b}-\left({\frac {b+a}{2}}\right)^{2}={\frac {b^{3}-a^{3}}{3\cdot (b-a)}}-{\frac {b+a}{4}}={\frac {(b-a)^{2}}{12}}$

Die allgemeine Form der Dichte- und der Verteilungsfunktion einer stetigen Gleichverteilung zeigen die nachfolgenden Graphiken.

<R output="display"> pdf(rpdf, width=7, height=7) x <- c(0.5, 2) y <- c(0.2, 0.2) plot(x, y, type="l", xaxt="n", yaxt="n", xlab="X", ylab="f(X)", col="blue", lwd=3, ylim = c(0, 0.24), xlim= c(0, 2.5)) axis (side=1, at=c(0.5,2), labels=c("a","b")) axis (side=2, at=c(0.00, 0.08, 0.16, 0.24)) </R>

<R output="display"> pdf(rpdf, width=7, height=7) x <- c(0, 5, 25, 30) y <- c(0, 0, 1, 1) plot(x, y, type="l", lwd=3, col="red", xaxt="n", xlab="X", ylab="F(X)", ylim = c(0, 1.2), xlim= c(0, 30), xaxp=c(0, 30, 5)) axis (side=1, at=c(5, 25), labels=c("a", "b")) </R>

Beispiele

Straßenbahn

Eine Person kommt, ohne auf die Uhr zu sehen, zur Straßenbahn, welche im 20-Minuten-Takt fährt.

Die Zufallsvariable $X\;$: "Wartezeit auf die nächste Straßenbahn in Minuten" kann dann jeden Wert aus dem Intervall $[0,20]$ annehmen, Pünktlichkeit der Straßenbahn vorausgesetzt.

Damit folgt

$P(0\leq X\leq 20)=1$ mit $a=0$ und $b=20$.

Da die Person rein zufällig in einem hinreichend kleinen, gleichmöglichen Zeitintervall konstanter Länge (etwa von der Länge 30 Sekunden) an der Haltestelle eintrifft, kann die stetige Zufallsvariable $X=\{{\mbox{Wartezeit}}\}$ als gleichverteilt angesehen werden.

Damit ist die Dichtefunktion von $X\;$:

$f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{20}}\quad &{\mbox{, wenn }}\ 0<x\leq b\\0\quad &{\mbox{, sonst}}\end{cases}}$

Die Verteilungsfunktion lautet:

$F(x)={\begin{cases}0\quad &{\mbox{, wenn }}x<0\\{\frac {1}{20}}\cdot x\quad &{\mbox{, wenn }}0\leq x\leq 20\\1\quad &{\mbox{, sonst}}\end{cases}}$

Der Erwartungswert von $X\;$ ist

$\,E[X]$	$=\int \nolimits _{-\infty }^{\infty }x\cdot f(x)\,dx=\int \nolimits _{0}^{20}x\cdot {\frac {1}{20}}\,dx$
	$={\frac {1}{20}}\cdot \left[{\frac {1}{2}}\cdot x^{2}\right]_{0}^{20}={\frac {1}{20}}\cdot \left[{\frac {1}{2}}\cdot 20^{2}-{\frac {1}{2}}\cdot 0^{2}\right]=10$

Falls sich die Person nicht besser orientiert, muss sie im Mittel mit einer Wartezeit von 10 Minuten rechnen.

Die Varianz ist

$\,Var(X)$	$=\int \nolimits _{-\infty }^{\infty }(x-\mu )^{2}\cdot f(x)\,dx=\int \nolimits _{0}^{20}(x-10)^{2}\cdot {\frac {1}{20}}\,dx$
	$={\frac {1}{20}}\cdot \int \nolimits _{0}^{20}(x^{2}-20x+100)\,dx$
	$={\frac {1}{20}}\cdot \left[{\frac {1}{3}}\cdot x^{3}-{\frac {1}{2}}\cdot 20\cdot x^{2}+100x\right]_{0}^{20}$
	$={\frac {1}{20}}\cdot \left[{\frac {1}{3}}\cdot 20^{3}-{\frac {1}{2}}\cdot 20^{3}+100\cdot 20\right]=33,33$

Die Standardabweichung ist somit $\sigma =5,77$.

Die Dichtefunktion und die Verteilungsfunktion sehen wie folgt aus:

<R output="display"> pdf(rpdf, width=7, height=7) x <- c(5, 25) y <- c(0.05, 0.05) plot(x, y, type="l", xaxt="n", yaxt="n", xlab="X", ylab="f(X)", col="blue", lwd=3, ylim = c(0, 0.06), xlim= c(0, 30), xaxp=c(0, 25, 5), main="Dichtefunktion ( Gleichverteilung [0;20] )") axis (side=1, at=c(5, 10, 15, 20, 25), labels=c(0, 5, 10, 15, 20) ) axis (side=2, at=c(0.01, 0.02, 0.03, 0.04, 0.05, 0.06)) lines(x=c(5,5), y=c(0, 0.05), lty=3, lwd=3, col="lightblue") lines(x=c(25,25), y=c(0, 0.05), lty=3, lwd=3, col="lightblue") </R>

<R output="display"> pdf(rpdf, width=7, height=7) x <- c(5, 25) y <- c(0, 1) plot(x, y, type="l", lwd=3, col="blue", xaxt="n", yaxt="n", xlab="X", ylab="F(X)", ylim = c(0, 1.2), xlim= c(0, 30), main="Verteilungsfunktion ( Gleichverteilung [0,20] )") axis (side=1, at=c(5, 10, 15, 20, 25), labels=c(0, 5, 10, 15, 20)) axis (side=2, at=c(0, 0.5, 1.0)) axis (side=4, at=c(0, 0.5, 1.0), labels=c(NA, NA, NA) ) lines(x=c(0, 5), y=c(0, 0), lwd=3, col="lightblue") lines(x=c(25, 30), y=c(1, 1), lwd=3, col="lightblue") </R>